導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用完全歸納

1、第8講與數(shù)應(yīng)用的題型與方法（4課時(shí)）一、考試內(nèi)容導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，基本導(dǎo)數(shù)公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，函數(shù)的最大值和最小值二、考試要求了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等），掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的概念。熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x m （m為有理數(shù)），sin x, cos x, ex, ax ,lnx, log a x的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo) 法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。了解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，了解可

2、導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件（導(dǎo)數(shù)要極值點(diǎn) 兩側(cè)異號），會求一些實(shí)際問題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。三、復(fù)習(xí)目標(biāo)1. 了解導(dǎo)數(shù)的概念，能利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù).掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，理解導(dǎo)函數(shù)的 概念.了解曲線的切線的概念.在了解瞬時(shí)速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念.2. 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式（c,x m （m為有理數(shù)）,sin x, cos x, ex, ax , Inx, log a x的導(dǎo)數(shù)）。掌握兩個函數(shù)四則運(yùn)算的求 導(dǎo)法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利能夠用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，求一個函數(shù)的最大（小）值的問題, 掌握導(dǎo)數(shù)的基本應(yīng)用.3.

3、了解函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)，掌握兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則。能正確運(yùn)用函數(shù)的和、差、積的求 導(dǎo)法則及已有的導(dǎo)數(shù)公式求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4. 了解復(fù)合函數(shù)的概念。會將一個函數(shù)的復(fù)合過程進(jìn)行分解或?qū)讉€函數(shù)進(jìn)行復(fù)合。掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則， 并會用法則解決一些簡單問題。四、雙基透視導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，是研究函數(shù)，解決實(shí)際問題的有力工具。在高中階段對于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)，主要是以下幾 個方面：1 .導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題：2 1）刻畫函數(shù)（比初等方法精確細(xì)微）；3 2）同幾何中切線聯(lián)系（導(dǎo)數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線）；4 3）應(yīng)用問題（初等方法往往技巧性要求較高，而導(dǎo)數(shù)方法顯得簡便）等關(guān)于n次多項(xiàng)式

4、的導(dǎo)數(shù)問題屬于較難類型。5 .關(guān)于函數(shù)特征，最值問題較多，所以有必要專項(xiàng)討論，導(dǎo)數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。6 .導(dǎo)數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型，也是高考中考察綜合能力的一個方向，應(yīng)引起注意。7 .曲線的切線在初中學(xué)過圓的切線，直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，惟一的公共點(diǎn)叫 做切點(diǎn).圓是一種特殊的曲線，能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線，即直線和曲線有惟一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做曲線過該點(diǎn)的切線，顯然這種推廣是不妥當(dāng)?shù)?如圖31中的曲線C是我們熟知的正弦曲線 y=sinx.直線11與 曲線C有惟一公共點(diǎn)M,但我們不能說直線11與曲線C相切

5、；而直線12盡管與曲線C有不止一個公共點(diǎn)，我們還是說 直線是曲線C在點(diǎn)N處的切線.因此，對于一般的曲線，須重新尋求曲線的切線的定義.所以課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線.8 .瞬時(shí)速度在高一物理學(xué)習(xí)直線運(yùn)動的速度時(shí)，涉及過瞬時(shí)速度的一些知識，物理教科書中首先指出：運(yùn)動物體經(jīng)過某一時(shí) 刻(或某一位置)的速度叫做瞬時(shí)速度，然后從實(shí)際測量速度出發(fā)，結(jié)合汽車速度儀的使用，對瞬時(shí)速度作了說明.物理 課上對瞬時(shí)速度只給出了直觀的描述，有了極限工具后，本節(jié)教材中是用物體在一段時(shí)間運(yùn)動的平均速度的極限來定 義瞬時(shí)速度.9 .導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)定義與求導(dǎo)數(shù)的方法是本節(jié)的重點(diǎn)，推導(dǎo)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則與某些導(dǎo)數(shù)公式時(shí)

6、，都是以此為依據(jù).對導(dǎo)數(shù)的定義，我們應(yīng)注意以下三點(diǎn)：(1)4x是自變量x在Xo處的增量(或改變量).(2)導(dǎo)數(shù)定義中還包含了可導(dǎo)或可微的概念，如果x-O時(shí)，-y有極限，那么函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)或可微,X才能彳#到f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù).(3)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，那么函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知).反之不一定成立.例如函數(shù)y二|x|在點(diǎn)x=0處連續(xù)，但不可導(dǎo).由導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)，是求導(dǎo)數(shù)的基本方法，必須嚴(yán)格按以下三個步驟進(jìn)行：(1)求函數(shù)的增量yf(x0x) f(x0)；(2)求平均變化率一yf(x°x) f(x0)(3)取極限，得導(dǎo)

7、數(shù)f'(x0) lim -yox 0 x7 .導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)P(x0, f (x0)處的切線的斜率.由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切 線方程.具體求法分兩步：(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線 y=f(x)在點(diǎn)P(x0, f (x0)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y y0f'(x0)(x x0)特別地，如果曲線 y=f(x)在點(diǎn)P(x0, f (x0)處的切線平行于 y軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存，根據(jù)切線定義，可得切線方程 為x x08 .和(或差)的導(dǎo)數(shù)上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了常見函數(shù)的

8、導(dǎo)數(shù)公式，那么對于函數(shù)f(x) x3 x2的導(dǎo)數(shù)，又如何求呢？我們不妨先利用導(dǎo)數(shù)的定義來求。f (x x) f (x). (x x)3 (xx)2 (x3 x2)f'(x) lim lim x 0xx 0xlimx 03x2-2 lxm0(3x2,、3x 3x( x) ( x)x22x 3x x ( x)22x x ( x)x)3x2 2x32232我們不又t發(fā)現(xiàn)(x x ) 3x 2x (x ) (x ),即兩函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)等于這兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和。由此我們猜測在一般情況下結(jié)論成立。事實(shí)上教材中證明了我們的猜想，這就是兩個函數(shù)的和(或差)的求導(dǎo)法則。9 .積的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的

9、證明是本節(jié)的一個難點(diǎn)，證明過程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。(具體過程見課本P120)說明：(1) (uv)' u'v'；(2)若c為常數(shù)，則(cu) ' =cu'10 .商的導(dǎo)數(shù)兩個函數(shù)的商的求導(dǎo)法則，課本中未加證明，只要求記住并能運(yùn)用就可以?，F(xiàn)補(bǔ)充證明如下:u(xx)u(x) u(x x)v(x) u(x)v(xx)v(x x) v(x)v(x x)v(x)u(xx) u(x)v(x) u(x) v(xx) v(x)v(x x)v(x)u(x x) u(x)v(x) u(x)v(x x) v(x) xx v(x x)v(x)因?yàn)関(x)在點(diǎn)x

10、處可導(dǎo)，所以它在點(diǎn)x處連續(xù)，于是x-O時(shí)，v(x+4x) v(x), 從而lim，u'(x)v(x) u2(x)v'(x)即 y' U'史一 x 0 xv(x)v v說明：(1) u ' E； (2) u ' u'v 2uv' 2v v'v v學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、募函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運(yùn)算得到的簡 單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。11 .導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系f (x) 0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系。3f (x) 0能推出f(x)為增函數(shù)，但

11、反之不一定。如函數(shù) f (x) x在(，)上單調(diào)遞增，但 f (x) 0,f (x) 0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件。f (x) 0時(shí)，f (x) 0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系。若將f (x) 0的根作為分界點(diǎn)，因?yàn)橐?guī)定f (x) 0,即摳去了分界點(diǎn)，此日f(x)為增函數(shù)，就一定有f (x) 0。，當(dāng)f (x) 0時(shí)，f (x) 0是f(x)為增函數(shù)的充分必要條件。f (x) 0與f(x)為增函數(shù)的關(guān)系。0 ,即為f (x) 0或f (x) 0。當(dāng)函數(shù)f(x)為增函數(shù)，一定可以推出 f (x) 0,但反之不一定，因?yàn)?f (x)在某個區(qū)間內(nèi)恒有 f (x) 0,則f(x)為常數(shù)，函數(shù)不具有

12、單調(diào)性。f (x) 0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì)，也是高中階段研究的重點(diǎn)，我們一定要把握好以上三個關(guān)系，用導(dǎo)數(shù)判斷好 函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)問題，都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間，避免討論以上問題，也簡化 了問題。但在實(shí)際應(yīng)用中還會遇到端點(diǎn)的討論問題，要謹(jǐn)慎處理。單調(diào)區(qū)間的求解過程，已知 y f(x)(1)分析 y f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù) y f (x)(3)解不等式f (x) 0 ,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間(4)解不等式f (x) 0 ,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間我們在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時(shí)一定要搞清以下三個關(guān)系，才能

13、準(zhǔn)確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析，前提條件都是函數(shù)y f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)f(x)在(a,b)單調(diào)遞增，在(b,c)單調(diào)遞增，又知函數(shù)在f(x) b處連續(xù),因此f(x)在(a, c)單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此，即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同，且在公共點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)，則二 區(qū)間就可以合并為以個區(qū)間。12 . y f (x) x a , b(1) f (x) 0恒成立 1- y ”*)為(2,3上對任意x (a ,b)不等式 f(a) f(x) f(b) 恒成立(2) f (x) 0 恒成立y f (x)在(a,b)上對

14、任意x (a , b)不等式f (a) f (x) f (b) 恒成立五、注意事項(xiàng)1 .導(dǎo)數(shù)概念的理解.2 .利用導(dǎo)數(shù)判別可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法及求一些實(shí)際問題的最大值與最小值.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是微積分中的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。課本中先通過實(shí)例，引出復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，接下來對法則進(jìn)行了證明。對于復(fù)合函數(shù)，以前我們只是見過，沒有專門定義和介紹過它，課本中以描述性的方式對復(fù)合函數(shù)加以直觀定義，使我們對復(fù)合函數(shù)的的概念有一個初步的認(rèn)識，再結(jié)合以后的例題、習(xí)題就可以逐步了解復(fù)合函數(shù)的概念。3 .要能正確求導(dǎo)，必須做到以下兩點(diǎn)：(1)熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式以及和、差、積、商的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求

15、導(dǎo)法則。(2)對于一個復(fù)合函數(shù)，一定要理清中間的復(fù)合關(guān)系，弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對哪個變量求導(dǎo)。4 .求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，一般按以下三個步驟進(jìn)行：(1)適當(dāng)選定中間變量，正確分解復(fù)合關(guān)系；(2)分步求導(dǎo)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo))；(3)把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù)。也就是說，首先，選定中間變量，分解復(fù)合關(guān)系，說明函數(shù)關(guān)系 y=f(qp=f(x);然后將已知函數(shù)對中間變量求導(dǎo)(y'),中間變量對自變量求導(dǎo) (1)；最后求y' 1,并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解求導(dǎo)一一回代。熟練以后，可以省略中間過程。若遇多重復(fù)合，可以相應(yīng)地多次用中間變

16、量。六、范例分析一 一x2x 1例1. y f(x)在x 1處可導(dǎo)，則a b ax b x 1思路：y f (x)x2 x 1ax b x 1在x 1處可導(dǎo),必連續(xù)lim f (x) 1x 1lim f (x) a b f (1) 1x 1a b1lim -y2x 0 x. y lim - ax 0 x例2.已知f(x)在x=a處可導(dǎo)，且f' (a)qb求下列極限：2-(1) lim f(a 3h) f(a h); lim f(a h)f h 02hh 0h分析：在導(dǎo)數(shù)定義中，增量 *的形式是多種多樣，但不論 X選擇哪種形式， Ay也必須選擇相對應(yīng)的形式。利 用函數(shù)f(x)在x a處可

17、導(dǎo)的條件，可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。解：(1)一二 3h) f(a h) f(a 3h) f(a) f(a) f(a h)h 02hh 02h.f(a 3h) f(a) f(a) f(a h)limlim h 0 2hh 0 2h3 f (a 3h) f(a) 1 f(a h) f (a) lim -lim2 h 0 3h2 h 0h3 .1 .-f'(a) -f'(a) 2b22220、 f(ah2)f(a) f(ah2)f(a) u(2) lim -lim -2-hh 0hh 0h2-2-him0hf'(a) 0 0f(a h ) f(a

18、)h2說明:只有深刻理解概念的本質(zhì)，才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價(jià)變形，使極限式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。例3.觀察(xn)nxn 1, (sin x) cosx , (cosx)sinx,是否可判斷，可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),f (x x) f (x)令 lim -x 0xf (x x) f (x)lim -x 0xf (x)f (x)f (x)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。解：若f(x)為偶函數(shù) f( x) f (x)f( x x) f( x)f ( x) lim x 0xf (x x) f (x)lim -x 0可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)另證：f f( x) f (

19、 x) ( x)可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)2x例4. (1)求曲線y -在點(diǎn)(1,1)處的切線萬程;x 1t 19(2)運(yùn)動曲線萬程為 S2t2,求t=3時(shí)的速度。t2分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的物理意義可知，函數(shù)y=f(x)在xo處的導(dǎo)數(shù)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)p(xo,yo)處的切線的斜率。瞬時(shí)速度是位移函數(shù)S(t)對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。解：(1) y'2(x2 1) 2x 2x(x2 1)22 2x2(x2 1)2.2 2c ，一y'|x 1 0,即曲線在點(diǎn)(1, 1)處的切線斜率k=o42x因此曲線y 在(1, 1)處的切線萬程為y=1x 1t 19(2) S't

20、1 ' (2t2)'t24tt2 2t(t 1)t1S'It 3271227例5.求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間1(1) y f (x) x3 -x2 2x 52(2) yx2 1(3) yk2x (k0)(4) y 2x2 ln-八 2-2、)時(shí)y 0斛：(1) y3x x 2(3x 2)(x1)x (,3)(1，222x ( -,1) y0. (, -), (1,)(2,1)333- x2 1 y-(,0), (0,)x(3) yk2k) (k ,y 0 x ( k,0) (0,k) y(,k), (k,)(k,0),(0,k)1 4x2 1(4) y 4x -定義域?yàn)?0,1

21、(0,2) y 0例6.求證下列不等式(1)2 x 一 ln(1 x)2(2)(3)x2(1 x)(0,2xsinx x (0 ,)sin x tanx(0,2)證：（1）f (x) ln(1x) (x2-)2f(0)(x)f(x)為(0,）上x (0,f （x） 0恒成立 ln(12 xx) x 2g(x)2(1 x)ln( 1x) g(0) 0g (x)4x2 4x124(1 x)22x22x24(1x2)g(x)在(0 ,）上x (0,2xln(1 x) 0恒成立2(1 x)（2）原式sin x令 f (x)sin x/ xx（0,2）cosxx tanxf (x)cosx(x tanx

22、)(0,2)f (x) 0 (0,二)22x(3)令 f(x)tanx 2x sin xf(0)2f (x) sec x2 cosx(1 cosx)(cosx2cos x. 2.sin x)x (0,2-) ftanx x x(x) 0sin x例7.利用導(dǎo)數(shù)求和:（1.; 0=C； + 2b；+WC；+. + C；gE2。分析：這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項(xiàng)式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式（xn）' nxn1,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題的解決更加簡捷。解：（1）當(dāng)x=1時(shí)，=1 + 2 + 3 + ,*'+ = + 1）2;當(dāng)XW1

23、時(shí),兩邊都是關(guān)于X的函數(shù)，求導(dǎo)得r * - ”11f .2.3. j= v 5,X + X +- + 器)=1 - J日口1 nK-L1 一 (方+ 1)五* *卿*即 | -口3(2)(1+工)*三1+學(xué)/ +十代六，兩邊都是關(guān)于X的函數(shù)，求導(dǎo)得招（14或廣1 =C：+2C% + 3C：/4;修C；k"1令X=1得=C； +2C；#3C： +，"C；?即況Y*杷+ 3b +一回-步2°例8.求滿足條件的a(1)使y sin x ax為R上增函數(shù)3(2)使y x ax a為R上(3)使 f(x) ax3 x2 x 5為 R上解：(1) y cosx a， a 1a

24、 1時(shí) y sin x x 也成立 a 1 ,)(2) y 3x2 a a 0 a 0時(shí) y x3也成立1(3) a 1,)3a 0,)例 9. (1) x(2) n N(1)證：令1原不等式 11 x 11(0,)求證inq x 1 x x,、1n 2求證21-t x 0 x11 int t 1 t13 tt 1令 f(t) t 1 in t1n 11 f (t) 1 tt (1 ,)f (t) 0 t (1 ,)f(t) f(t) f(1) 0, , 人1t 1 int 令 g(t) int 1 -t (1,) g(t) 0-t (1. 1, , g (t) g(1) 0, , int 1

25、 t(2)令x 1 , 2 n 1上式也成立1 1t1 g iFF)g(t)11x 11inx 1 x x.11123n 1將各式相加111in2in-ig1 -2 3n 12 n 12in n 1 12例10. (2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷，理工農(nóng)醫(yī)類19)設(shè)a 0,求函數(shù)f (x) Jx in(x a)(x (0,)的單調(diào)區(qū)間.分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力解：f (x)12.x1(x 0). x a當(dāng) a 0,x 0 時(shí) f (x) 0x2 (2a 4)x a20._2_2_f (x) 0 x (2a 4)x a 0當(dāng)

26、a 1時(shí)，對所有x 0,有x2 (2a 4) a2 0.即f (x)0 ,此時(shí)f (x)在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增.(ii)當(dāng) a 1 時(shí)，對 x 1,有 x2 (2a 4)x a2 0,即f (x) 0,此時(shí)f (x)在(0, 1)內(nèi)單調(diào)遞增，又知函數(shù) f (x)在x=1處連續(xù)，因此,函數(shù)f (x)在(0, +)內(nèi)單調(diào)遞增(iii)當(dāng) 0 a 1 時(shí)，令 f (x) 0,即 x2 (2a 4)x a20.解彳lx 2 a 2n a,或x 2 a 24Va .因此，函數(shù)f (x)在區(qū)間(0,2 a 2JT7)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(2 a 2"a,)內(nèi)也單調(diào)遞增.令 f(x) 0,即x2 (2

27、a 4)x a2 0,解彳12 a 2.1 a x 2 a 21 a.因此，函數(shù)f (x)在區(qū)間(2 a-21 a,2 a 2ji&)內(nèi)單調(diào)遞減.說明：本題用傳統(tǒng)作差比較法無法劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，只有用導(dǎo)數(shù)才行，這是教材新增的內(nèi)容。其理論依據(jù)如下(人教版試驗(yàn)本第三冊 P148):設(shè)函數(shù)yf (x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f (x) 0 ,則f(x)為增函數(shù)；如果f (x) 0,則f (x)為減函數(shù)。如果f (x) 0 ,則f (x)為常數(shù)。例11.已知拋物線y x2 4與直線y=x+2相交于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)的切線分別為li和12。(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求直線11與的夾角

28、。分析：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。解 (1)由方程組2y x 4,y x 2,解得 A(-2 , 0), B(3 , 5)(2)由y' =2x則y'|24, y'| 3 6。設(shè)兩直線的夾角為9,根據(jù)兩直線的夾角公式，x 2x 3tan所以說明:4 6101 ( 4) 62310arctan 一23本例中直線與拋物線的交點(diǎn)處的切線，就是該點(diǎn)處拋物線的切線。注意兩條直線的夾角公式有絕對值符號。x e a 例12. (2001年天津卷)設(shè)a 0 , f (x) x是R上的偶函數(shù)。 a e(I)求a的值；ae(II)證明f (x)在(0,)上是增函數(shù)。 x 解：(I)

29、依題意，對一切 x R有 f(x) f(x),即 e- -ax aex,(a 1)(ex 1X) 0 對一切 x R成立， a e1由此得到a 1 0, a2 1 , a又 a 0 , . a 1。(II)證明：由 f (x) ex e x,得 f (x) ex e x e x(e2x 1),當(dāng) x (0,)時(shí)，有 ex(e2x 1) 0,此時(shí) f(x) 0。f (x)在(0,)上是增函數(shù)。例13. (2000年全國、天津卷)設(shè)函數(shù) f(x)&1 ax,其中a 0。(I)解不等式f (x) 1；)上是單調(diào)函數(shù)。(II)證明：當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f (x)在區(qū)間0,解1 ： (I)分類討論解

30、無理不等式(略)(II)作差比較(略)。x解 2： f (x) ja.x2 1x(i)當(dāng)a 1時(shí)，有, 1, x2 1此時(shí)f (x)0,函數(shù)f (x)在區(qū)間)上是單調(diào)遞減函數(shù)。但f(0) 1,因此，當(dāng)且僅當(dāng)x 0時(shí)，f (x)1。(ii)當(dāng) 0 a1時(shí)，解不等式(x)0,得xf (x)在區(qū)間(a .,2 上是單調(diào)遞減函數(shù)。,1 a解方程f (x)1,2a1 a2 '.0 .12a/ 2 ，1 a2當(dāng)且僅當(dāng)f(x) 1,綜上,(I)a 1時(shí)，所給不等式的解集為:x |0 x_2a_221 a當(dāng)a 1時(shí)，所給不等式的解集為：x|x 0。(II)當(dāng)且僅當(dāng)a 1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間0,)上時(shí)

31、單調(diào)函數(shù)。例14. (2002年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(新課程卷理科類20)一 1ax 一 一 2已知a 0,函數(shù)f(x) ,x (0,)，設(shè)0 xi ,記曲線y f (x)在點(diǎn)M(xi, f (xi)處的切線為1。xa(i)求1的方程；111(n)設(shè)1與x軸的父點(diǎn)為(x2，0),證明：0 x2 若x1 ,則x1 x2 aaa1解：(1) f(x)的導(dǎo)致f (x),由此得切線1的方程x1 ax1x11x1(xx1)，(2)依題得，切線方程中令y 0,得又2x1 (1 ax1) x1x1(2 ax1),其中 0 x1(i)由 0 x1 一，x2 x1(2 ax1)，有 x2 a.-1，1

32、.1, 0 x2 ,當(dāng)且僅當(dāng)x1一時(shí)，x2 。aaa1(ii)當(dāng) x1 一時(shí)，ax1 1 ,因此，x2 x1 (2 a ,1所以x1 x2- oa/121a(x1),a aax1) x1，且由(i) , x2例15. (2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷21)已知a 0,n為正整數(shù).(I)設(shè) y (x a)n,證明 y n(x a)n 1;(n)設(shè) fn(x) xn (x a)n,對任意 na,證明 fn1(n 1) (n 1) fn (n).分析：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識，考查綜合運(yùn)用所數(shù)學(xué)知識解決問題的能力n證明：(I)因?yàn)?x a)nCnk ( a)n kxk ,

33、k 0n_ kkCn( a)k 0nk 1 nn Cn 1 ( a)k 0k k 1,、n 1x n(x a)(口)對函數(shù) fn(x)xn(xa)n求導(dǎo)數(shù):fn (x) nxn 1 n(x 所以fn (n) nnn1a)n1, (n a)n1.a。時(shí),fn (X) x a時(shí)，fn(x)因此，當(dāng)n a時(shí),(n0.nX1)n(x a)n是關(guān)于x的增函數(shù).(n 1 a)n n(n a)nfn 1 (n 1)(n1)(n 1)n (n1 a)n (n 1)(nn (na)n)(n1)(nn n(n a)n 1)(n 1)fn (n).即對任意 n a, fn 1 (n 1) (n 1)fn (n).七

34、、強(qiáng)化訓(xùn)練1.設(shè)函數(shù)f(x)在Xo處可導(dǎo)，則limX 0f(X°X) f(x0)等于2.3.4.5.6.A - f'(X0)B. f'(Xo)C.f'(Xo)D.f ( Xo)若 lxm0曲線f(X0 2 X) f(X0)C.3x上切線平行于(-12)B.f'(Xo)等于D. 2x軸的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,-2)C. (1, 2)D.(-1, 2)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f ' (x)=nx ,則函數(shù)圖像在點(diǎn)(4B. 0C.銳角D.鈍角f (4)處的切線的傾斜角為(函數(shù)y 2x3A. 5, - 153x212xB.一直線運(yùn)動的物體，從時(shí)間A .從時(shí)間t

35、到t+t時(shí),5在0, 3上的最大值、最小值分別是C. - 4, - 15D.5,16t到t+t時(shí)，物體的位移為$,物體的平均速度B .時(shí)間t時(shí)該物體的瞬時(shí)速度C.當(dāng)時(shí)間為t時(shí)該物體的速度D.從時(shí)間t到t+At時(shí)位移的平均變化率7.關(guān)于函數(shù)f (X)2x326x 7 ,下列說法不正確的是那么limt 0A.在區(qū)間(，0)內(nèi)，f(x)為增函數(shù)B.在區(qū)間(0,2)內(nèi)，f(x)為減函數(shù)C.在區(qū)間(2,)內(nèi)，f (x)為增函數(shù)D.在區(qū)間(0)(2,)內(nèi)，f(x)為增函數(shù)8.對任意x,有f '(x).34x , f(1)=-1 ,則此函數(shù)為4A f (x) x-4_B. f(x) x 2C. f(

36、x)D.f(x)x4 29.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值與最小值分別是A.5 , -15B.5,4C.-4 , -15D.5 , -1610.設(shè)f(x)在xO處可導(dǎo)，下列式子中與f'(x。)相等的是(1) lim f(x0) f(x0 2 x); x 02 x(2)f (x0 lim 0x 0x)f (Xoxx)一；(3) limx 0f(x02 x) f(x0x)(4)limx 0f(Xox) f (Xo 2 x)A. (1) B. (1) (3)11.(2003年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)C.(2) (3)D.考試(上海卷理工農(nóng)醫(yī)類(1) (2) (3) (4)

37、16)f(x)是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g ( x)=af ( x ) +b,則下列關(guān)于函數(shù)g ( x )的敘述正確的是(A.a<0,則函數(shù)g ( x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.B.a=-1, 2<b<0,則方程g (x) =0有大于2的實(shí)根.C.aw 0,b2,則方程g ( x ) =0有兩個實(shí)根.D.a>1,b<20方程g (x) =0有三個實(shí)根.12.若函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)存在，則它所對應(yīng)的曲線在點(diǎn)(Xo, f (Xo)處的切線方程是一、 113 .設(shè)f(x) x -,則它與x軸交點(diǎn)處的切線的方程為 x14.設(shè) f'(Xo)3

38、,則網(wǎng)f(x0 h)f(x0 3h)15.垂直于直線2x-6y+1=0 ,且與曲線32y x 3x5相切的直線的方程是16 .已知曲線y17 . y=x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 18 .曲線y 33x2 1在點(diǎn)(1,V4)處的切線方程為一 .2 . ,119 .P是拋物線yx2上的點(diǎn)，若過點(diǎn)P的切線方程與直線 y jx 1垂直，則過P點(diǎn)處的切線方程是20 .在拋物線yx2上依次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為Xi1, X23,若拋物線上過點(diǎn)P的切線與過這兩點(diǎn)的割線平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為。3 33321 .曲線f(x) X3在點(diǎn)A處的切線的斜率為 3,求該曲線在 A點(diǎn)處的切線方程。 2 , ,，一 ，一2

39、2 .在拋物線y X上求一點(diǎn)P,使過點(diǎn)P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為一。4x(x 0)23 .判斷函數(shù)f(x)在x=0處是否可導(dǎo)。x(x 0),_ 1 ,，一24 .求經(jīng)過點(diǎn)(2, 0)且與曲線y 相切的直線方程。X25 .求曲線y=xcosx在X萬處的切線方程。26 .已知函數(shù) f(x)=x2+ax+b, g(x)=x2+cx+d.若 f(2x+1)=4g(x),且 f'x=g'(x) , f(5)=30 ,求 g(4). 2 ,227 .已知曲線C1 ： y x與C2 : y (x 2)。直線l與CC2都相切，求直線l的萬程。28 .設(shè) f(x)=(x-1)(x-

40、2) (x-100),求 f '1)。1 ,11，29 .求曲線y 口在點(diǎn)(1,一)處的切線方程。(3x x2)21630 .求證方程x lgx 1在區(qū)間(2,3)內(nèi)有且僅有一個實(shí)根31 . a、b、x、y 均為正數(shù)且 a b 1 n N n 1求證：axn byn (ax by) n32 . (1)求函數(shù)yJX在x=1處的導(dǎo)數(shù)；(2)求函數(shù)y x2 ax b (a、b為常數(shù))的導(dǎo)數(shù)。33 .證明：如果函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)X0處可導(dǎo)，那么函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)。34 . (2002年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(新課程卷文史類21)3已知a 0,函數(shù)f(x) x a,x 0

41、,)，設(shè)x10 ,記曲線yf (x)在點(diǎn)M (刈，f (x)處的切線為l。(I)求l的方程；1(n)設(shè)|與x軸的交點(diǎn)為(x2,0),證明：X2a3；若X1a3,則a3X2X1。八、參考答案1 5 CBDCA ;610 BDBAB ;11 B12.y f(Xo)f'(Xo)(XXo)13. y=2(x-1)或 y=2(x+1)14.-615.3x+y+6=0116.217.(-8-2)與(0,+OO)18. x 32y 1 o19.2x-y-1=020. (2, 4)由導(dǎo)數(shù)定義求得 f'（x）3x2,22.令 3x2 3 ,則 x= 土。當(dāng)x=1時(shí)，切點(diǎn)為（11）,所以該曲線在（

42、1,1）處的切線方程為 y-1=3（x-1）即3x-y-2=0 ;當(dāng)x=-1時(shí)，則切點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-1）,所以該曲線在（-1,-1）處的切線方程為 y+1=3（x+1）即3x-y+2=0。由導(dǎo)數(shù)定義得f'2X0 32xo 324.解得Xo1或Xo由Xoyo（x）=2x設(shè)曲線上 P點(diǎn)的坐標(biāo)為（xo,yo）,則該點(diǎn)處切線的斜率為 kp 2x0,根據(jù)夾角公式有由 xo 1 ,得 yo 1 ；則 p（-1, 1）或，116)limlimlimx o Xx oXx olim y.f(o x) limf (o).limx o Xx oXx o.y limlim y ,x o Xx o X23.y

43、 -lim-不存在。x o x二函數(shù)f（x）在x=o處不可導(dǎo)?？梢则?yàn)證點(diǎn)（2, 0）不在曲線上，故設(shè)切點(diǎn)為由八limoXo X Xolimx °Xo(XoX)得所求直線方程為2 1,X1,P(xo,yo)。x limx o X (Xox) Xo1T， Xoy y0（Xx Xo） oX。2_由點(diǎn)（2, 0）在直線上，得xo yo 2 x。，再由P（x0,y。）在曲線上，得Xo yo 1,x+y-2=o。聯(lián)立可解得xo 1 , yo 1。所求直線方程為25. Y =x'cosx+x (cosx)'=-xsinxy'| 一,切點(diǎn)為 一,o , x 222切線方程為：

44、y o (x )22即2 x 4y 2 oo26 解：由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x 2+cx+d)=2x+c=2x+a:a=c 又知 52+5a+b=30：5a+b=5由知a=c=2.依次代入、知 b=-5,d=g(4)=42+2X4=2322、P的切線27.解：設(shè)l與Ci相切于點(diǎn)P(Xi,Xi ),與C2相切于Q(X2,(X2 2)。對C1：y' 2x,則與C1相切于點(diǎn)22_方程為 y x12x1 (x X1),即 y 2x1x X1。22d 2)(x X2),即XC2 ： y' 2(x 2),則與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為y * 2)22y2(x22)x x2 4。兩切線重合,2x12(x2 2)2X12X2X10,X1解得1，或1X22；X2直線方程為 y=0或y=4x-4。28 .解：/(工)=(工- 2)(工一3)(k TOO) S