1987年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案

1、1987 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題及答案一.（本題滿分 24 分）本題共有 8 個小題，每小題都給出代號為 A，B, C，D 的四個結(jié)論，其中只有一個結(jié)論是正確的，把你認(rèn)為正確 結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)選對的得 3 分，不選、選錯或者選 出的代號超過一個的（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得 0 分+（1）設(shè) S，T 是兩個非空集合，且 S T，T S ，令 X=S T，那么 S X 等于（D）（A）X（ B）T（ C）（ D） S2 2務(wù)每（a b0），令c -a2- b2，那么它的準(zhǔn)a b線方程為命題甲：點 E， F， G, H 不共面，命題乙：直線 EF 和 GH 不

2、相交那么（A ）（A）甲是乙的充分條件，但不是必要條件（B）甲是乙的必要條件，但不是充分條件（C）甲是乙的充要條件（D）甲不是乙的充分條件，也不是乙必要條件（2） 設(shè)橢圓方程為(A)(B)2(C)Xc(D)(3) 設(shè) a,b 是滿足 ab|a-b|(B) |a+b|v|a-b|(C) |a-b|a|-|b|(D) |a-b|v|a|+|b|(4)已知E， F，(5) 在區(qū)間(：,0)上為增函數(shù)的是(B )(A)y g (x)2(B)1：x(C)y (x 1)2(D) y =1 x2(6)要得到函數(shù)y=sin(2x)的圖象，只需將函數(shù)y = sin2x的圖象(圖3略).(本題滿分 28 分)本題

3、共 7 小題，每一個小題滿分 4 分一只要求寫出結(jié)果(1) 求函數(shù)y 二 tg空的周期+3答3-2 2(2)已知方程 -y1表示雙曲線， 求入的范圍+2+丸 1 +扎答入-1 或入 V -2.(注：寫出一半給 2 分 J(A)(C)向左平行移動-(B)向右平行移動(D)向右平行移動71(7)極坐標(biāo)方程sinr 2cosr所表示的曲線是(A)直線(B)圓(C)雙曲線(D) 拋物線(8)函數(shù)y =arccos丄iO22-1(A)(B) YTt(C)Y(D)(3) 若(1+x)n的展開式中，x3的系數(shù)等于 x 的系數(shù)的 7 倍，求 n.答8 (注：若給出 8 同時給出-5 得 2 分)（4）求極限n

4、m & 化島答2（5）在拋物線y =4x2上求一點，使該點到直線y = 4x一5的距離為最短答（2,1）（6）由數(shù)字 1, 2, 3, 4, 5 組成沒有重復(fù)數(shù)字且數(shù)字 1 與 2 不相鄰的五位數(shù)求這種五位數(shù)的個數(shù).答72（7） 個正三棱臺的下底和上底的周長分別為 30cm 和 12cm 而側(cè)面積等于兩底面積之差，求斜高+三.（本題滿分 10 分）求sin10 sin30 sin50 sin 70的值.解：原式=1 2 sin 10 cos10 cos 20 cos40 sin 80 _ 1八22cos10一16cos10= 16（注：本題有多種解答）四. （本題滿分 12 分）如圖，

5、三棱錐 P-ABC 中，已知 PAI BQ PA 二 BC 二 L,PA,BC 勺公垂線 ED=t證三棱錐 P-ABC 的體積 VL2h.6證：連結(jié) AD 和 PD/ BCL PA BCL EDPA 與 ED 相交，二 BJ 平面 PAD/ EDL PAC11SABC=DLh221 1 1VB-PAD=-(丄 Lh) BD=-Lh BD32，61同理， VC-PAD=6三棱錐 P-ABC 的體積V=1Lh BD+1Lh CDLh (BD+CD =1Lh BC=1L2h.6 6 6 6 6若 E, D 不是分別在線段 AP, BC 上，結(jié)論仍成立(此話不說，也不扣分)五. (本題滿分 12 分)

6、2設(shè)對所有實數(shù) X,不等式x2log24(a衛(wèi)2x loglog2(a20aa + 14a恒成立，求 a 的取值范圍解：由題意得:2a、令log2，貝S(3)式變?yōu)閆2-(Iog28-z)(-2z)：0,a 1化簡為z(6z)：0,解得z -6 或 z：0( 4)(2)式變?yōu)閘og28-z 0,即z：3,(5)綜合(4), (5)得z 0,即 log 0,a +10,4(a 1)a0,(2log2aa 1)2-4log24(a 1)alog2(a 1)24a2:0(1)aa 1log2由此，互 門(6)解(1),(6)得 a 取值范圍：0：a：1.a +1六. (本題滿分 12 分，共 2 個

7、小題)設(shè)復(fù)數(shù)Z1和Z2滿足關(guān)系式zZ Az1Az0,其中 A 為不等于 0 的復(fù)數(shù)證明:(1)|ZiA|Z2A|=|A I2;(2)z1Az2AZi- Az2A證：(1)|ZiA | Z2A |ZiA |Z2A |=|(ZiA) |(Z2A) |=|z1Z2AZ1AZ2AA |=|AA |=|A |2卜|A I2(2)幕A - 0,乙A(z1A)(Z2A)z1z2AZ2七. (本題設(shè)數(shù)列印孔,，a.,的前 n 項的和 S 與a.的關(guān)系是如，需,其中b是與n無關(guān)的常數(shù)且-1(1)求an和an4的關(guān)系式;(2)寫出用 n 和 b 表示 an的表達(dá)式；(3)當(dāng)0：b：1時，求極限lim解：(1)an

8、二Sn- Sn一b何一叭)一冷1(1 b)n4由此解得十汽“占(n-2)(1)1b錄如1一門,和Fb?八. (本題滿分 10 分)定長為 3 的線段 AB 的兩端點在拋物線 y2=x 上移動，記線段 AB 的中點為 M 求點 M 到 y 軸的最短距離，并求此時點 M 的坐標(biāo).解：設(shè) A(X1,y1),B(x2,y2),AB 長度為 3，那么 X1=y12,X2=y22, ( 1)2 2 2 2 2 2 2 2 23=(X2-X1)+(y2-y1) =(y2-y1) +(y2-y1) =(y2-y (y2+yJ +1 (2) 線段 AB 的中點 M(x,y )到 y 軸的距離為b bban門甌2an2b_ bb二喬 b 丿=b | b_ ,1 + b J ” + bb .訂+b 丿卜 b(1 - b)n(1 b)n 1b b2(1 b)n 1b b2(1 b)n1由此推得 an+ b 1an _3nd(1+b) 13b b2b3an廠n.1 (1+b)n_!2n _1i b、b+b + +b- !玄丄 +-(3) J+b丿-(1+b)n41將(2)代入(3)得 anb b2亠亠 bn(1 b)n 1b*nv，ban= y2,由（3）得 丿屮由此解得 y1,y2，由 （1）解得 X1,X2,所以 X 可取得最小值-y +y2=2,4M 點縱坐標(biāo) y廠里匕 -2 2.M 點坐標(biāo)為（5,