求函數(shù)極值的幾種方法

1、精品文檔求解函數(shù)極值的幾種方法1.1 函數(shù)極值的定義法說明：函數(shù)極值的定義，適用于任何函數(shù)極值的求解，但是在用起來時(shí)卻比 較的煩瑣.1.2 導(dǎo)數(shù)方法定理(充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)且f (x0) 0,如果x取x0的左側(cè)的值時(shí)，f (x) 0 , x取xo的右側(cè)的值時(shí)，f (x) 0,那么f(x)在xo處取得極大值，類似的我們可以給出取極小值的充分條件.例1求函數(shù)f(x) x2(x 1)3的單調(diào)區(qū)間和極值解f(x) x2(x 1)3 (x ),_3_ 222_f (x) 2x(x 1)3 3x2(x 1)2 x(x 1)2(5x 2).2 令 f (x) 0,得到駐點(diǎn)為x1 0, x2

2、x3 1.列表討論如下：5表一：f(x) x2(x 1)3單調(diào)性列表x(,0)0(0,f)525V1)1(1,)_，f (x)+0-0+0+f(x)極大值f(0) 0極小值2f (-)108/3125非 極 值說明：導(dǎo)數(shù)方法適用于函數(shù)f(x)在某處是可導(dǎo)的，但是如果函數(shù)f(x)在某處不可導(dǎo)，則就不能用這樣的方法來求函數(shù)的極值了.用導(dǎo)數(shù)方法求極值的條件是：函數(shù)f(x)在某點(diǎn)x0可導(dǎo).1.3 Lagrange乘法數(shù)方法對于問題：Min z f(x, y)s.t (x, y) 0如果(x*, y*)是該問題的極小值點(diǎn)，則存在一個(gè)數(shù),使得* *_fx(x ,y )gx(x ,y ) 0* *、fy(x

3、,y)gy(x,y)0利用這一性質(zhì)求極值的方法稱為 Lagrange乘法數(shù)1 .例2在曲線y -3 (x 0)上求與原點(diǎn)距離最近的點(diǎn). x解 我們將約束等式的左端乘以一個(gè)常數(shù)加到目標(biāo)函數(shù)中作為新的目標(biāo)函數(shù)w x2 y2(y 二)x然后，令此函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù)和對y的導(dǎo)數(shù)分別為零，再與原等式約束合并得2x 34 0xy832y 0解得這是唯一可能取得最值的點(diǎn)因此x V3,y27為原問題的最小值點(diǎn)說明：Lagrange乘法數(shù)方法對于秋多元函數(shù)是比較方便的，方法也是比較簡單的：如果(x , y )是該問題的極小值點(diǎn)則存在一個(gè)數(shù)，使得* * *、fx(x ,y ) gx(x ,y ) 0* * *fy(x

4、，y ) gy(x ,y) 0這相當(dāng)于一個(gè)代換數(shù)，主要是要求偏導(dǎo)注意，這是高等代數(shù)的內(nèi)容.1.4多元函數(shù)的極值問題由極值存在條件的必要條件和充分條件可知，在定義域內(nèi)求n元函數(shù)f(p)的極值可按下述步驟進(jìn)行：求出駐點(diǎn)，即滿足grad f(p。)0的點(diǎn)p。；在P03歡在下載精品文檔點(diǎn)的Hessene矩陣H ,判定H正定或負(fù)定，若H正定則f (p)在p。點(diǎn)取得極小 值；若H負(fù)定則f (p)在p。點(diǎn)取得極大值.例 3 求三元函數(shù)f (x, y,z)x2 2y2 3z2 2x 4y 6z 的極值解 先求駐點(diǎn)，由fx 2x 2 。fy 4y 4 。 得 x 1,y1,z1fz 6z 6 。所以駐點(diǎn)為p0( 1, 1, 1).再求Hessene矩陣,因?yàn)閒xx2, fxz。, fxy0,fyy 4,yz 0, f*0, f*0, fy0, f63歡迎下載 。所以200H 040006H 是正定的，所以f(*, y, ) 在 p0( 1, 1, 1)點(diǎn)取得極小值：f( 1, 1, 1) ( 1)2 2 ( 1)2 3 12 2 ( 1) 4 ( 1) 6 1 66說明：此方法適合多元函數(shù)求極值的放法，要注意求偏導(dǎo)數(shù)