實驗誤差理論上課用概述

1、緒論緒論一、物理實驗課的任務一、物理實驗課的任務物理學的研究方法通常是在觀察和實驗物理學的研究方法通常是在觀察和實驗的基礎上，對物理現(xiàn)象進行分析、抽象的基礎上，對物理現(xiàn)象進行分析、抽象和概括，建立物理模型，探索物理規(guī)律，和概括，建立物理模型，探索物理規(guī)律，進而形成物理理論。進而形成物理理論。 因此，物理規(guī)律是實驗事實的總結，因此，物理規(guī)律是實驗事實的總結，而物理理論的正確與否需要實驗來驗證。而物理理論的正確與否需要實驗來驗證。物理實驗課的主要任務是：物理實驗課的主要任務是：(1)通過對實驗現(xiàn)象的觀察、分析和對物通過對實驗現(xiàn)象的觀察、分析和對物理量的測量，學習有關實驗的基本知識、理量的測量，學習

2、有關實驗的基本知識、基本方法和基本技能，加深對物理學原基本方法和基本技能，加深對物理學原理的理解；理的理解；(2)培養(yǎng)和提高學生的科學實驗能力，包培養(yǎng)和提高學生的科學實驗能力，包括能夠通過閱讀實驗教材或資料做好實括能夠通過閱讀實驗教材或資料做好實驗前的準備工作，能夠自己動手組建實驗前的準備工作，能夠自己動手組建實驗測量系統(tǒng)，能夠正確使用儀器，能夠驗測量系統(tǒng)，能夠正確使用儀器，能夠運用物理學原理對實驗現(xiàn)象進行觀察、運用物理學原理對實驗現(xiàn)象進行觀察、分析和判斷，能夠正確記錄、處理實驗分析和判斷，能夠正確記錄、處理實驗數(shù)據(jù)，繪制圖表，撰寫合格的實驗報告，數(shù)據(jù)，繪制圖表，撰寫合格的實驗報告，能夠完成具

3、有設計性內(nèi)容的實驗；能夠完成具有設計性內(nèi)容的實驗；(3)培養(yǎng)學生的探索精神、創(chuàng)新精神和嚴培養(yǎng)學生的探索精神、創(chuàng)新精神和嚴格、細致、事實求是、一絲不茍的科學格、細致、事實求是、一絲不茍的科學態(tài)度，培養(yǎng)與提高學生的自主學習能力態(tài)度，培養(yǎng)與提高學生的自主學習能力和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生善于動手、樂于和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學生善于動手、樂于動手、遵守操作規(guī)程、愛護國家財產(chǎn)、動手、遵守操作規(guī)程、愛護國家財產(chǎn)、注意安全等良好的科學習慣。注意安全等良好的科學習慣。二、物理實驗課的學習特點二、物理實驗課的學習特點 實驗課與理論課不同，它的特點是同實驗課與理論課不同，它的特點是同學們在教師的指導下自己動手，獨立地完學們在

4、教師的指導下自己動手，獨立地完成實驗任務。在物理實驗過程中，同學們成實驗任務。在物理實驗過程中，同學們應關注以下幾點：應關注以下幾點：(1)實驗的物理思想實驗的物理思想(2)實驗裝置與儀器實驗裝置與儀器(3)及時發(fā)現(xiàn)問題及時發(fā)現(xiàn)問題（4）實驗記錄實驗記錄記錄不僅應記下實驗數(shù)據(jù)，還應包括實驗記錄不僅應記下實驗數(shù)據(jù)，還應包括實驗條件，儀器的型號和編號，故障及可疑現(xiàn)條件，儀器的型號和編號，故障及可疑現(xiàn)象等一切有價值的內(nèi)容。實驗結束前將原象等一切有價值的內(nèi)容。實驗結束前將原始數(shù)據(jù)交給指導教師審查簽字方可離開實始數(shù)據(jù)交給指導教師審查簽字方可離開實驗室。驗室。(5)實驗報告實驗報告的基本要求是：字跡清楚、

5、文理通實驗報告實驗報告的基本要求是：字跡清楚、文理通順、圖表正確、數(shù)據(jù)完備和結論明確。順、圖表正確、數(shù)據(jù)完備和結論明確。報告的內(nèi)容包括：報告的內(nèi)容包括：實驗名稱實驗名稱實驗目的實驗目的實驗原理：實驗原理：實驗儀器：實驗儀器：實驗內(nèi)容實驗內(nèi)容實驗討論：實驗討論：(6)做好實驗前的預習做好實驗前的預習三、遵守實驗規(guī)則三、遵守實驗規(guī)則1.1 測測 量量1.1.1 測量的概念測量的概念物理實驗以測量為基礎，一切物理量都是通物理實驗以測量為基礎，一切物理量都是通過測量得到的。所謂測量，過測量得到的。所謂測量，就是用合適的工就是用合適的工具或儀器，通過科學的方法，將反映被測對具或儀器，通過科學的方法，將反

6、映被測對象某些特征的物理量（被測物理量）與選作象某些特征的物理量（被測物理量）與選作標準單位的同類物理量進行比較的過程，其標準單位的同類物理量進行比較的過程，其比值即為被測物理量的測量值。比值即為被測物理量的測量值。因此，一個因此，一個物理量的測量值應由讀數(shù)值和單位兩部分組物理量的測量值應由讀數(shù)值和單位兩部分組成，缺一不可。成，缺一不可。 按測量方法進行分類，測量可分為直接按測量方法進行分類，測量可分為直接測量和間接測量兩大類。測量和間接測量兩大類。1.直接測量：直接測量：直接將待測物理量與選定的同直接將待測物理量與選定的同類物理量的標準單位相比較得到測量值的測類物理量的標準單位相比較得到測量

7、值的測量方法。量方法。2.間接測量：間接測量：利用直接測量的量與被測量之利用直接測量的量與被測量之間的已知函數(shù)關系，求得該被測物理量的測間的已知函數(shù)關系，求得該被測物理量的測量方法。量方法。 一個物理量是直接測量量還是間接測量一個物理量是直接測量量還是間接測量量并不是絕對的。量并不是絕對的。1.1.2等精度測量和非等精度測量等精度測量和非等精度測量根據(jù)測量條件的不同，測量又分為等精度測根據(jù)測量條件的不同，測量又分為等精度測量和非等精度測量。量和非等精度測量。1.等精度測量等精度測量:在相同的測量條件下，在短時在相同的測量條件下，在短時間內(nèi)對同一物理量進行多次重復測量，可視間內(nèi)對同一物理量進行多

8、次重復測量，可視為等精度測量。為等精度測量。2.非等精度測量非等精度測量:若測量條件全部或部分發(fā)生若測量條件全部或部分發(fā)生了明顯變化，每種測量的可靠性、精確度就了明顯變化，每種測量的可靠性、精確度就會不同，這種測量稱為非等精度測量。會不同，這種測量稱為非等精度測量。1.2 誤差誤差1.2.1誤差的定義誤差的定義1.真值與誤差真值與誤差真值：真值：我們把某物理量在一定客觀條件下我們把某物理量在一定客觀條件下的真實大小，稱為該物理量的真值。的真實大小，稱為該物理量的真值。誤差：誤差：測量值和真值之間總有一定的差異，測量值和真值之間總有一定的差異，我們稱測量值與真值的差值為誤差。我們稱測量值與真值的

9、差值為誤差。 2.誤差的表示測量誤差的大小反映了誤差的表示測量誤差的大小反映了測量結果的準確程度，測量誤差可以測量結果的準確程度，測量誤差可以用絕對誤差表示，也可以用相對誤差用絕對誤差表示，也可以用相對誤差表示。表示。 (1) (2) 0 xa絕對誤差測量值真值 0 xa絕對誤差測量值真值 r100%a絕對誤差（ ）相對誤差真值（ ）1.2.2 誤差的分類誤差的分類根據(jù)誤差的來源、性質和特點可將誤差根據(jù)誤差的來源、性質和特點可將誤差分為以下幾類：分為以下幾類：1.系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差：在相同測量條件下多次測在相同測量條件下多次測量同一物理量時，符號和絕對值保持不量同一物理量時，符號和絕對值保持不

10、變，在改變測量條件時，它又按某一確變，在改變測量條件時，它又按某一確定的規(guī)律變化的測量誤差稱為系統(tǒng)誤差。定的規(guī)律變化的測量誤差稱為系統(tǒng)誤差。2.隨機誤差：隨機誤差：在極力消除或修正了一切明顯在極力消除或修正了一切明顯的系統(tǒng)誤差之后，在相同的測量條件下，多的系統(tǒng)誤差之后，在相同的測量條件下，多次測量同一量時，誤差的絕對值和符號的變次測量同一量時，誤差的絕對值和符號的變化時大時小、時正時負，以不可預定的方式化時大時小、時正時負，以不可預定的方式變化著的誤差稱為隨機誤差。變化著的誤差稱為隨機誤差。3.粗大誤差：粗大誤差：凡是用測量時的客觀條件不能凡是用測量時的客觀條件不能合理解釋的那些突出的誤差，均

11、可稱為粗大合理解釋的那些突出的誤差，均可稱為粗大誤差。誤差。1.2.3測量的精密度、準確度和精確度測量的精密度、準確度和精確度1.精密度：精密度：表示測量結果中的隨機誤差大小表示測量結果中的隨機誤差大小的程度。的程度。2.準確度：準確度：表示測量結果中的系統(tǒng)誤差大小表示測量結果中的系統(tǒng)誤差大小的程度。的程度。3.精確度：精確度：是對測量結果中系統(tǒng)誤差和隨機是對測量結果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合描述。誤差的綜合描述。1.3 系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除1.3.1系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)1.理論分析法理論分析法2.對比法對比法1.3.2系統(tǒng)誤差的處理系統(tǒng)誤差的處理1.消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤

12、差的因素消除產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素 2.對測量結果加以修正對測量結果加以修正3.采用適當?shù)臏y量方法采用適當?shù)臏y量方法1.4 隨機誤差的統(tǒng)計分布隨機誤差的統(tǒng)計分布1.4.1隨機誤差的正隨機誤差的正態(tài)分布態(tài)分布 1.正態(tài)分布規(guī)律正態(tài)分布規(guī)律在相同的測量條件下，對某一被測量進行多在相同的測量條件下，對某一被測量進行多次重復測量，由于隨機誤差的存在，測量結次重復測量，由于隨機誤差的存在，測量結果，果，一般存在著一定的差異。如果該被一般存在著一定的差異。如果該被測量的真值為測量的真值為a，則根據(jù)誤差的定義，將各次，則根據(jù)誤差的定義，將各次測量的誤差為橫坐標，縱坐標為誤差的測量的誤差為橫坐標，縱坐標為誤差的概

13、率概率密度分布函數(shù)密度分布函數(shù)。當測量次數(shù)足夠大時，此曲。當測量次數(shù)足夠大時，此曲線完全對稱。線完全對稱。2.正態(tài)分布的性質：正態(tài)分布的性質：（1）單峰性（）單峰性（2）對稱性（抵償性）（）對稱性（抵償性）（3）有界性：有界性：根據(jù)誤差理論可以證明函數(shù)的數(shù)學表達式為根據(jù)誤差理論可以證明函數(shù)的數(shù)學表達式為 (3)式（式（3）中的）中的 是一個與實驗條件有關的常是一個與實驗條件有關的常數(shù)，稱之為標準誤差。數(shù)，稱之為標準誤差。 22212fe1.4.2標準誤差及其計算標準誤差及其計算1.標準誤差的物理意義標準誤差的物理意義按照概率理論，誤差出現(xiàn)在（按照概率理論，誤差出現(xiàn)在（-+）區(qū)間的事件是必然）區(qū)

14、間的事件是必然事件，所以，即曲線與橫軸所包圍面積恒等于事件，所以，即曲線與橫軸所包圍面積恒等于1。當。當時，由式（時，由式（3）得）得 （4）反映的是一組測量數(shù)據(jù)的離散程度，常稱它為測量反映的是一組測量數(shù)據(jù)的離散程度，常稱它為測量列的標準誤差。列的標準誤差。 (5)。 102f 0.682689 68.3%Pfd 30.997399.7%P表明，在表明，在1000次測量中，隨機誤差超過范圍次測量中，隨機誤差超過范圍的測得值大約只出現(xiàn)的測得值大約只出現(xiàn)3次左右。在一般的十幾次左右。在一般的十幾次測量中，幾乎不可能出現(xiàn)。依據(jù)這點，可次測量中，幾乎不可能出現(xiàn)。依據(jù)這點，可對多次重復測量中，由于過失引

15、起的異常數(shù)對多次重復測量中，由于過失引起的異常數(shù)據(jù)加以剔除。這被稱為剔除異常數(shù)據(jù)的準則。據(jù)加以剔除。這被稱為剔除異常數(shù)據(jù)的準則。它只能用于測量次數(shù)它只能用于測量次數(shù)n10的重復測量中，對的重復測量中，對于測量次數(shù)較少的情況，需要采用另外的判于測量次數(shù)較少的情況，需要采用另外的判別準則。別準則。2.標準誤差的數(shù)學表達式標準誤差的數(shù)學表達式 (6)3.標準偏差的計算標準偏差的計算 （1）算術平均值）算術平均值 根據(jù)隨根據(jù)隨機誤差的正態(tài)分布規(guī)律，測得值偏大或偏小的機誤差的正態(tài)分布規(guī)律，測得值偏大或偏小的機會相等，即絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概機會相等，即絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率是相等的。因此，

16、在排除掉系統(tǒng)誤差后，各率是相等的。因此，在排除掉系統(tǒng)誤差后，各次測得值的算術平均值次測得值的算術平均值 (7)21limniinXan 121ninixxxxxnn(2)算術平均值的標準誤差算術平均值的標準誤差 算術平均值的標準誤差，可以算術平均值的標準誤差，可以證明證明 (8)xn(3)標準偏差標準偏差 前面對誤差的討論只有理論上的價值，下前面對誤差的討論只有理論上的價值，下面我們討論誤差的實際估算方法。由于算術平均值最接面我們討論誤差的實際估算方法。由于算術平均值最接近真值，因此可以用算術平均值參與對標準誤差的估算。近真值，因此可以用算術平均值參與對標準誤差的估算。我們常用如下的貝塞爾公式

17、去估算標準誤差我們常用如下的貝塞爾公式去估算標準誤差 (9) 2211()11nniiiiXXvsnn算術平均值的標準誤差的估計值為算術平均值的標準偏差，算術平均值的標準誤差的估計值為算術平均值的標準偏差，若測量列的標準偏差為若測量列的標準偏差為S，則，則 (10)xssn xssn測量結果的不確定度估算測量結果的不確定度估算1.5.1不確定度的概念不確定度的概念 一般來說，真值是無法測得的，因此誤差也就無法得一般來說，真值是無法測得的，因此誤差也就無法得到。我們只能通過一定的方法對測量誤差進行估計，到。我們只能通過一定的方法對測量誤差進行估計，這就需要引入不確定度的概念。這就需要引入不確定度

18、的概念。不確定度：是指由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯不確定度：是指由于測量誤差的存在而對被測量值不能肯定的程度，是對被測量的真值所處的量值范圍的評定。定的程度，是對被測量的真值所處的量值范圍的評定。 (11)式中式中P為置信概率，式為置信概率，式(11)的含義是：區(qū)間的含義是：區(qū)間(x-，x+)內(nèi)包內(nèi)包含被測量含被測量x的真值的可能性是的真值的可能性是P。x x =P（）用用Ur表示相對不確定度，則有表示相對不確定度，則有 (12)總不確定度可分為兩類分量，一類是可以通過多次重總不確定度可分為兩類分量，一類是可以通過多次重復測量用統(tǒng)計學方法估算出的復測量用統(tǒng)計學方法估算出的A類分量類分量

19、A，另一類，另一類是用非統(tǒng)計方法估算出的是用非統(tǒng)計方法估算出的B類分量類分量B。將兩類分量。將兩類分量按方和根的方法合成，就得到測量結果的總不確定度：按方和根的方法合成，就得到測量結果的總不確定度： (13) r100%Ux r1 0 0 %Ux22AB (14)式中式中Sx是算術平均值的標準偏差。但當重復測量是算術平均值的標準偏差。但當重復測量次數(shù)較少時，隨機誤差不再符合正態(tài)分布。這樣，次數(shù)較少時，隨機誤差不再符合正態(tài)分布。這樣，需對式需對式(14)做一個修做一個修 正。即正。即 （15）1 .9 6AxsAxt S1.5.3 B類不確定度分量的估算類不確定度分量的估算1.儀器誤差儀器誤差測

20、量儀器和量具本身總是存在一定誤差，我們習慣上測量儀器和量具本身總是存在一定誤差，我們習慣上稱之為儀器誤差，用符號稱之為儀器誤差，用符號儀儀表示。表示。2. B類不確定度分量類不確定度分量不能用統(tǒng)計學方法估算的分量為不能用統(tǒng)計學方法估算的分量為B類不確定度分量，類不確定度分量，一般指系統(tǒng)誤差。若不特別說明，則一般指系統(tǒng)誤差。若不特別說明，則 (16)C叫置信因子叫置信因子,置信概率取置信概率取0.95時，時，C=1.05。BC儀1.5.4直接測量量的不確定度估算及測量結直接測量量的不確定度估算及測量結果表示果表示1.單次直接測量單次直接測量A.在實際測量過程中，有的被測量是隨時在實際測量過程中，

21、有的被測量是隨時間變化著的，我們無法對其進行重復測量，間變化著的，我們無法對其進行重復測量，只能進行單次測量。只能進行單次測量。B.還有些被測量，對它們的測量精度要求還有些被測量，對它們的測量精度要求不高，只要進行單次測量就可以了。不高，只要進行單次測量就可以了。2.多次直接測量多次直接測量對多次直接測量的數(shù)據(jù)進行處理的一般步對多次直接測量的數(shù)據(jù)進行處理的一般步驟是：驟是：計算被測量的算術平均值，計算被測量的算術平均值，把把x作為被測量的最佳估計值。作為被測量的最佳估計值。求出各測量值的殘差求出各測量值的殘差 。用貝塞爾公式求出測量列的標準偏差用貝塞爾公式求出測量列的標準偏差1/niixxni

22、ivxx211niivSn審查測量數(shù)據(jù)，如發(fā)現(xiàn)有異常數(shù)據(jù)，應予以舍棄。審查測量數(shù)據(jù)，如發(fā)現(xiàn)有異常數(shù)據(jù)，應予以舍棄。舍棄異常數(shù)據(jù)后，再重復步驟，直至完全剔舍棄異常數(shù)據(jù)后，再重復步驟，直至完全剔除異常數(shù)據(jù)。求出算術平均值的標準偏差，除異常數(shù)據(jù)。求出算術平均值的標準偏差，并查表并查表1-1求出總不確定度的求出總不確定度的A類分量。類分量。求出總不確定度求出總不確定度表示出最后測量結果表示出最后測量結果利用計算器的統(tǒng)計計算功能，將多次測量結果輸人后，利用計算器的統(tǒng)計計算功能，將多次測量結果輸人后，可直接求得可直接求得 X 及及S。 （可編程）（可編程）xSSnAxtS 22 AB,100%rxxUx

23、x x x x x x x1.5.5間接測量量的不確定度估算及測量結果間接測量量的不確定度估算及測量結果表示表示 1.間接測量的不確定度合成公式間接測量的不確定度合成公式 設間接測量量設間接測量量y是各自相互獨立的直接測量是各自相互獨立的直接測量量量 的函數(shù)，其函數(shù)形式為的函數(shù)，其函數(shù)形式為 (18)設各直接測量量設各直接測量量的測量結果分別為的測量結果分別為則間接測量量則間接測量量y的最佳估計值的最佳估計值 (19)12,mxxx12,myfxxx 12,mxxx 1122,mmxxxxxx 12,myfxxx 1.6 有效數(shù)字及其運算有效數(shù)字及其運算1.6.1有效數(shù)字的概念有效數(shù)字的概念有

24、效數(shù)字的定義有效數(shù)字的定義可靠數(shù)字：我們把通過直讀獲得的準確數(shù)字可靠數(shù)字：我們把通過直讀獲得的準確數(shù)字叫做可靠數(shù)字；叫做可靠數(shù)字；存疑數(shù)字：把通過估讀得到的那部分數(shù)字叫存疑數(shù)字：把通過估讀得到的那部分數(shù)字叫做存疑數(shù)字。做存疑數(shù)字。有效數(shù)字：把測量結果中能夠反映被測量大有效數(shù)字：把測量結果中能夠反映被測量大小的小的帶有一位存疑數(shù)字的全部數(shù)字帶有一位存疑數(shù)字的全部數(shù)字叫有效數(shù)叫有效數(shù)字。字。 有效數(shù)字需要注意以下幾個方面：有效數(shù)字需要注意以下幾個方面：(1)實驗中的數(shù)字與數(shù)學上的數(shù)字是不一樣的。實驗中的數(shù)字與數(shù)學上的數(shù)字是不一樣的。如在數(shù)學上如在數(shù)學上8.35=8.350=8.3500 ,而實驗數(shù)

25、據(jù)而實驗數(shù)據(jù)8.358.3508.3500。(2)有效數(shù)字的位數(shù)與被測量的大小和儀器的有效數(shù)字的位數(shù)與被測量的大小和儀器的精密度有關。精密度有關。(3)第一個非零數(shù)字前的零不是有效數(shù)字，第第一個非零數(shù)字前的零不是有效數(shù)字，第一個非零數(shù)字后的所有數(shù)字一個非零數(shù)字后的所有數(shù)字(包括零包括零)都是有都是有效數(shù)字。效數(shù)字。(4)單位的變換不能改變有效數(shù)字的位數(shù)。單位的變換不能改變有效數(shù)字的位數(shù)。1.6.2 有效數(shù)字的舍入規(guī)則一般通用的舍入規(guī)則是：有效數(shù)字的舍入規(guī)則一般通用的舍入規(guī)則是：四舍六入五湊偶四舍六入五湊偶，即小于，即小于5者舍，大于者舍，大于5者入，等者入，等于于5者則把尾數(shù)湊成偶數(shù)。者則把尾

26、數(shù)湊成偶數(shù)。下面介紹測量結果中，測量值與不確定度的取位下面介紹測量結果中，測量值與不確定度的取位與舍入規(guī)則。與舍入規(guī)則。 (1)不確定度一般取一位有效數(shù)字，當首位非零數(shù)不確定度一般取一位有效數(shù)字，當首位非零數(shù)字是字是1或或2時，時，可取兩位有效數(shù)字。相對不確定度可取兩位有效數(shù)字。相對不確定度的取位也采用相同規(guī)則。的取位也采用相同規(guī)則。 注意：對于不確定度主注意：對于不確定度主要考慮的是不要估計不足，因此，要考慮的是不要估計不足，因此，對其尾數(shù)一律對其尾數(shù)一律只進不舍。只進不舍。例如，若估算的不確定度為例如，若估算的不確定度為0.32mm，可以化為可以化為0.4mm。(2)表示測量值最后結果的有效數(shù)字尾數(shù)表示測量值最后結果的有效數(shù)字尾數(shù)與不確定度尾數(shù)要取齊。與不確定度尾數(shù)要取齊。例如，測量結果為例如，測量結果為V=(28.960.05)mm3；R=(46