CH07二叉樹期權(quán)定價法

1、第第7 7章章 期權(quán)定價的二叉樹模型期權(quán)定價的二叉樹模型 單步二叉樹模型單步二叉樹模型 風險中性定價原理風險中性定價原理 兩步二叉樹模型兩步二叉樹模型一、單步二叉樹模型一、單步二叉樹模型020S 22uTS 18dTS1uTc 0dTc 0?c 執(zhí)行價格為執(zhí)行價格為21元的看漲期權(quán)。元的看漲期權(quán)。3 3個月個月 一個示例一個示例2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型2/39 股票和股票期權(quán)所面臨的系統(tǒng)風險相關(guān)，適股票和股票期權(quán)所面臨的系統(tǒng)風險相關(guān)，適當配置兩種資產(chǎn)可以消除系統(tǒng)風險，組建無風險當配置兩種資產(chǎn)可以消除系統(tǒng)風險，組建無風險組合。組合?？紤]以下組合：考慮以下組合：買入買入1份股票

2、看漲期權(quán)份股票看漲期權(quán)賣空賣空股股票股股票 顯然，適當調(diào)整顯然，適當調(diào)整可以使得上述組合為無風可以使得上述組合為無風險組合。險組合。2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型3/39 如果這個組合是無風險組合，則其價值與如果這個組合是無風險組合，則其價值與狀態(tài)無關(guān)，所以，以下數(shù)學表達式成立：狀態(tài)無關(guān)，所以，以下數(shù)學表達式成立：22118 解得，解得，0.25 也就是說，也就是說，1份看漲期權(quán)多頭加上份看漲期權(quán)多頭加上0.25股股股股票空頭構(gòu)成的組合是無風險組合。票空頭構(gòu)成的組合是無風險組合。2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型4/394.50元元5.00-C0元元3 3個月個月12%

3、fr 31212%05.004.50ce00.633c 2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型5/39 單步二叉樹模型的推廣單步二叉樹模型的推廣0u Suf0d Sdf0SfTt1,01ud無風險組合：無風險組合：股股票多頭股股票多頭+1份期權(quán)空頭份期權(quán)空頭2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型6/3900udu Sfd Sf 01ffrT trT tufSu efe 000ffrT trT tduSfd Sfeu Sfe 00udffu Sd S 2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型7/390001ffrT trT tudufffSu efeu Sd S1ffrT trT

4、 tudufffu efeud 將將代入代入f，得，得1ffffrT trT trT trT tududuuffffu efu eu fed feud 111ffrT trT tudffd efu eudfffrT trT trT tudeduefffeudud2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型8/39fffrT trT trT tudeduefffeudud1rT tffrT tedpu duepud 1frT tudffpfpe2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型9/39在之前的示例中，在之前的示例中，1.1,0.9,12%,fudr0.25,1,0udTtff 。我們得

5、到：我們得到：12% 0.251 0.652301 0.65230.633fe 結(jié)果與之前一致。結(jié)果與之前一致。12% 0.250.90.65231.1 0.9frT tedepud2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型10/39 單步二叉樹模型至少給我們兩點啟示：單步二叉樹模型至少給我們兩點啟示： 期權(quán)價格與股票價格變化的真實概率無期權(quán)價格與股票價格變化的真實概率無關(guān)（這與我們的直覺不一致）關(guān)（這與我們的直覺不一致） 期權(quán)價格在定價形式上可以看成到期日期權(quán)價格在定價形式上可以看成到期日價值期望值的貼現(xiàn)值（按無風險利率貼現(xiàn)）價值期望值的貼現(xiàn)值（按無風險利率貼現(xiàn)）0frT tedpud20

6、22-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型11/39二、風險中性定價二、風險中性定價 風險中性假設(shè)風險中性假設(shè) 公平賭博公平賭博是指賭博結(jié)果的預期只應當和入局是指賭博結(jié)果的預期只應當和入局前所持有的資金量相等，即賭博的結(jié)果從概率前所持有的資金量相等，即賭博的結(jié)果從概率平均的意義上來講應當是平均的意義上來講應當是“不輸不贏不輸不贏”。2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型12/39 有一個擲硬幣的賭局（假定硬幣是完全對有一個擲硬幣的賭局（假定硬幣是完全對稱的），正面朝上可以贏得稱的），正面朝上可以贏得20002000元，反面朝上元，反面朝上則無錢收回。試問你愿意以多少錢作為入局費則無錢收回。

7、試問你愿意以多少錢作為入局費參加這樣的賭博？參加這樣的賭博？公平的入局費公平的入局費200020005050+0+0505010001000元元2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型13/39 如果有人愿意無條件地參加公平的賭博，如果有人愿意無條件地參加公平的賭博，則這樣的人被認為是風險中性。風險中性者對則這樣的人被認為是風險中性。風險中性者對風險采取無所謂的態(tài)度。風險采取無所謂的態(tài)度。入局費入局費10001000元元 風險厭惡者風險厭惡者 眾多眾多入局費入局費10001000元元 風險中性者風險中性者入局費入局費10001000元元 風險喜好者風險喜好者 極少極少愿意支付的入局費愿意支

8、付的入局費 風險類型風險類型 數(shù)量數(shù)量2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型14/39財富的效用財富的效用愿意支付的愿意支付的風險金風險金W W0 0W Wh h風險厭惡者風險厭惡者風險中性者風險中性者風險喜好者風險喜好者不同風險類型者的財富效用曲線不同風險類型者的財富效用曲線凹性效用函數(shù)凹性效用函數(shù)線性效用函數(shù)線性效用函數(shù)凸性效用函數(shù)凸性效用函數(shù)金融學金融學2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型15/39u u1 1u u1 1u u1 1u u2 2u u2 2u u2 2U Uf f（財富）（財富）U Ug g（E E（R R）U Uh h（風險）（風險）U Uq q（R R

9、）R R（R R）風險回避型效用函數(shù)風險回避型效用函數(shù)風險愛好型效用函數(shù)風險愛好型效用函數(shù)風險中立型效用函數(shù)風險中立型效用函數(shù)投資學投資學rrr E r E r2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型16/39 E r 風險中性的投資者對風險不要求回報，他風險中性的投資者對風險不要求回報，他們投資于任何資產(chǎn)所要求的收益率等于無風險們投資于任何資產(chǎn)所要求的收益率等于無風險收益率。收益率。投資回報率投資回報率=無風險利率無風險利率+風險溢價風險溢價2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型17/39 在一個假想的風險中性的世界在一個假想的風險中性的世界（Risk-Neutral World

10、）里，所有的市場參與者都是風里，所有的市場參與者都是風險中性的，那么，所有的資產(chǎn)不管其風險的大險中性的，那么，所有的資產(chǎn)不管其風險的大小或是否有風險，預期收益率都相同，都等于小或是否有風險，預期收益率都相同，都等于無風險收益率，因此，所有資產(chǎn)現(xiàn)在的市場均無風險收益率，因此，所有資產(chǎn)現(xiàn)在的市場均衡價格都應等于其未來價值的預期值，加上考衡價格都應等于其未來價值的預期值，加上考慮到貨幣的時間價值，就都是未來預期價值按慮到貨幣的時間價值，就都是未來預期價值按無風險收益率貼現(xiàn)的價值（即現(xiàn)值）。無風險收益率貼現(xiàn)的價值（即現(xiàn)值）。 這就是風險中性定價的基本思想。這就是風險中性定價的基本思想。2022-1-2

11、第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型18/39 我們回到之前的示例中，在那里，我們可我們回到之前的示例中，在那里，我們可以把股票價格上升的概率定義為以把股票價格上升的概率定義為p，于是在到，于是在到期日期日T時刻，股票價格的期望值為：時刻，股票價格的期望值為： 001TE Sp u Spd S代入代入p值，得值，得0frT tTE SSe0fr T tTSE Se 在我們的假設(shè)下，從概率角度講，股票價格在我們的假設(shè)下，從概率角度講，股票價格以無風險利率增長（也就是說股票的期望收益率以無風險利率增長（也就是說股票的期望收益率等于無風險利率）。等于無風險利率）。2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型

12、19/39 所謂風險中性假設(shè)就是：所謂風險中性假設(shè)就是： 如果對一個問題的分析過程和投資者的風險如果對一個問題的分析過程和投資者的風險偏好無關(guān)，則可以將問題放到一個假設(shè)的風險中偏好無關(guān)，則可以將問題放到一個假設(shè)的風險中性的世界里進行分析，所得的結(jié)果在真實的世界性的世界里進行分析，所得的結(jié)果在真實的世界里也應成立。里也應成立。2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型20/39 風險中性定價理論風險中性定價理論 風險中性理論又稱風險中性定價方法風險中性理論又稱風險中性定價方法（ Risk Neutral Pricing Theory ），是考克斯（），是考克斯（Cox J.C.）和斯蒂芬）和斯

13、蒂芬羅斯（羅斯（Stephen A. Ross）于）于19761976年年推導期權(quán)定價公式時建立的。推導期權(quán)定價公式時建立的。 2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型21/39 風險中性定理表達了資本市場中的這樣的風險中性定理表達了資本市場中的這樣的一個結(jié)論：即在市場不存在任何套利可能性的一個結(jié)論：即在市場不存在任何套利可能性的條件下，如果衍生證券的價格依然依賴于可交條件下，如果衍生證券的價格依然依賴于可交易的基礎(chǔ)證券，那么這個衍生證券的價格是與易的基礎(chǔ)證券，那么這個衍生證券的價格是與投資者的風險態(tài)度無關(guān)的。投資者的風險態(tài)度無關(guān)的。 這個結(jié)論在數(shù)學上表現(xiàn)為衍生證券定價的這個結(jié)論在數(shù)學上表

14、現(xiàn)為衍生證券定價的微分方程中并不包含有受投資者風險態(tài)度的變微分方程中并不包含有受投資者風險態(tài)度的變量，尤其是期望收益率。量，尤其是期望收益率。 2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型22/3912121212fffffrT ttrT trT ttrT tTrT tTcSN dX eN dS eN dX N deE SN dX N deE SN dX N de222212fffffrSSrftSS2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型23/39 利用風險中性假設(shè)的分析方法進行金融利用風險中性假設(shè)的分析方法進行金融產(chǎn)品的定價，其核心環(huán)節(jié)是構(gòu)造出風險中性產(chǎn)品的定價，其核心環(huán)節(jié)是構(gòu)造出風險

15、中性的概率。的概率。2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型24/3922uS 18dS 020S Ttp1p12%fr 標的股票價格變動路徑標的股票價格變動路徑12% 0.252218 120ppe解得解得0.6523p 即股票價格上升的即股票價格上升的概率為概率為0.6523。2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型25/3922uS 1uf 18dS 0df 020S fTt10.3477p0.6523p 12%fr 12% 0.251 0.652301 0.3477f e 解得解得0.633f 1frT tudfpfpf e股票看漲期權(quán)價格變動路徑股票看漲期權(quán)價格變動路徑這與在

16、真實世界里利用無這與在真實世界里利用無套利理論得出的定價結(jié)論套利理論得出的定價結(jié)論是一致的。是一致的。2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型26/39 注意，我們在風險中性定價過程中使用的標注意，我們在風險中性定價過程中使用的標的股票價格上升的概率不是真實的概率，而是假的股票價格上升的概率不是真實的概率，而是假想的概率（稱為風險中性概率），這個假想是建想的概率（稱為風險中性概率），這個假想是建立在股票的期望收益率等于無風險利率的基礎(chǔ)上立在股票的期望收益率等于無風險利率的基礎(chǔ)上的。事實上，股票價格是按期實際收益率上升的，的。事實上，股票價格是按期實際收益率上升的，如果股票的實際收益率為如果

17、股票的實際收益率為16%，則其價格上升的，則其價格上升的概率為以下表達式中的概率為以下表達式中的q：16% 0.252218 120qqe解得解得0.7041q 2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型27/39 與此對應，在真實世界里，該股票期權(quán)在到與此對應，在真實世界里，該股票期權(quán)在到期日的預期價值為：期日的預期價值為：1010.7041qq 由此可以得到期權(quán)的預期收益率由此可以得到期權(quán)的預期收益率0.7041ln442.58%0.633cr 股票期權(quán)的預期收益率明顯高于股票的預期股票期權(quán)的預期收益率明顯高于股票的預期收益率。這與我們的直覺是一致的，因為期權(quán)的收益率。這與我們的直覺是一

18、致的，因為期權(quán)的風險要高于股票的風險。風險要高于股票的風險。2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型28/39對風險中性定價原理的總結(jié)：對風險中性定價原理的總結(jié)： 在風險中性的經(jīng)濟環(huán)境中，投資者并不要在風險中性的經(jīng)濟環(huán)境中，投資者并不要求風險補償或風險報酬，所以基礎(chǔ)證券與衍生求風險補償或風險報酬，所以基礎(chǔ)證券與衍生證券的期望收益率都恰好等于無風險利率；由證券的期望收益率都恰好等于無風險利率；由于不存在任何的風險補償或風險報酬，市場的于不存在任何的風險補償或風險報酬，市場的貼現(xiàn)率也恰好等于無風險利率，所以基礎(chǔ)證券貼現(xiàn)率也恰好等于無風險利率，所以基礎(chǔ)證券或衍生證券的任何盈虧經(jīng)無風險利率的貼現(xiàn)值

19、或衍生證券的任何盈虧經(jīng)無風險利率的貼現(xiàn)值與它們當前的價值相等。與它們當前的價值相等。 2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型29/39 假定風險中性世界中基礎(chǔ)資產(chǎn)價格上升的假定風險中性世界中基礎(chǔ)資產(chǎn)價格上升的概率為概率為p，由于其未來價格的期望值按無風險，由于其未來價格的期望值按無風險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于其當前的價格，因此利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值必須等于其當前的價格，因此該概率可通過下式求得：該概率可通過下式求得：frTtedpud01frT tudSep SpS則以該資產(chǎn)為標的物的衍生證券的價格為：則以該資產(chǎn)為標的物的衍生證券的價格為：1frTtudfepfpf2022-1-2第7章 期權(quán)定價

20、的二叉樹模型30/39三、兩步二叉樹模型三、兩步二叉樹模型 一個示例一個示例020 ?Sf022 ?uu Sf020 ?dd Sf2024.2 3.2uuuSf019.8 0duu d Sf2016.2 0dddSf兩步二叉樹中的股票價格和期權(quán)價格兩步二叉樹中的股票價格和期權(quán)價格2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型31/39 根據(jù)單步二叉樹的定價原理，可以可以將根據(jù)單步二叉樹的定價原理，可以可以將上述兩步二叉樹分離為三個單步二叉樹（從右上述兩步二叉樹分離為三個單步二叉樹（從右向左；先上后下）：向左；先上后下）：022 ?uu Sf2024.2 3.2uuuSf019.8 0duu d

21、Sf0 .6 5 2 3frTtedpud12.0257frTtuuudufepfpf2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型32/39018 ?dd Sf2019.8 0duuSf2016.2 0dddSf根據(jù)無套利原則，得根據(jù)無套利原則，得 0df 2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型33/39022 ?Sf022 2.0257uu Sf018 0dd Sf0 .6 5 2 3frTtedpud11.2823frTtudfepfpf2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型34/39 兩步二叉樹的一般形式兩步二叉樹的一般形式0 Sf0 uu Sf0 dd Sf20 uuuSf

22、0 duu d Sf20 dddSfttfrtedpud1frtudfepfpf2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型35/39 依據(jù)單步二叉樹定價法，可得以下三表達依據(jù)單步二叉樹定價法，可得以下三表達式：式：1frtuuudufepfpf1frtdduddfepfpf1frtudfepfpf將前兩式代入第三式，整理得到將前兩式代入第三式，整理得到222211frtuududdfepfppfpf這個結(jié)論驗證了風險中性原理。這個結(jié)論驗證了風險中性原理。2022-1-2第7章 期權(quán)定價的二叉樹模型36/39 例例7.1 考慮一個考慮一個2年期的歐式股票看跌期權(quán)，年期的歐式股票看跌期權(quán)，其執(zhí)行價格為其執(zhí)行價格為52元，當前標的股票的價格為元，當前標的股票的價格為50元。我們假定股票價格為兩步二叉樹，每個步元。我們假定股票價格為兩步二叉樹，每個步長為長為1年，在每個步長中，股票價格按年，在每個步長中，股票價格按