復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法

1、復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法作者:日期:復(fù)雜電阻網(wǎng)絡(luò)的處理方法一：有限電阻網(wǎng)絡(luò)原則上講解決復(fù)雜電路的一般方法，使用基爾霍夫方程組即可。它包含的兩類方程出自于兩個(gè)自然的結(jié) 論：（1 ）對電路中任何一個(gè)節(jié)點(diǎn)，流出的電流之和等于流入的電流之和。電路中任何一個(gè)閉合回路，都 符合閉合電歐姆定律。下面我介紹幾種常用的其它的方法。1對稱性簡化所謂的對稱性簡化，就是利用網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中可能存在的對稱性簡化等效電阻的計(jì)算。它的效果是使計(jì)算得 以簡化，計(jì)算最后結(jié)果必須根據(jù)電阻的串、并聯(lián)公式；電流分布法；極限法等來完成。在一個(gè)復(fù)雜的電路中，如果能找到一些完全對稱的點(diǎn)，那么當(dāng)在這個(gè)電路兩端加上電壓時(shí)，這些點(diǎn)的電 勢一定是相等的，

2、即使用導(dǎo)線把這些點(diǎn)連接起來也不會有電流（或把連接這些點(diǎn)的導(dǎo)線去掉也不會對電 路構(gòu)成影響），充分的利用這一點(diǎn)我們就可以使電路大為簡化。R的6根電阻絲連接而成，求兩頂點(diǎn) A、B間的等效電阻。CA B圖2A電流入、B點(diǎn)流處。因?yàn)閷ΨQ性，圖中 CD兩點(diǎn)等例（1）如圖1所示的四面體框架由電阻都為DB分析:假設(shè)在A、B兩點(diǎn)之間加上電壓，并且電流從電勢，或者說C、D間的電壓為零。的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，使問題迎刃而解。解：根據(jù)以上分析原網(wǎng)絡(luò)簡化成如圖因此，CD間的電阻實(shí)際上不起作用，可以拆去。原網(wǎng)絡(luò)簡化成簡單圖12所示的簡單的串、并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)，由串、并聯(lián)規(guī)律得Rab=R/2R，試求圖中例（2）三個(gè)相同的金屬圈兩兩正交地

3、連成如圖所示的形狀，若每一個(gè)金屬圈的原長電阻為 A、B兩點(diǎn)之間的等效電阻。圖4圖5AB的電流流入、流出方式上具有上下對稱性，因此可上 4所示的網(wǎng)絡(luò)中可以看出，從分析：從圖3中可以看出，整個(gè)電阻網(wǎng)絡(luò)相對于下壓縮成如圖所時(shí)的等效減化網(wǎng)絡(luò)。從如圖 4所示的網(wǎng)絡(luò)中可以看出，從 A點(diǎn)流到0電流與從0點(diǎn)到B 電流必相同；從 A1點(diǎn)流到0電流與從0點(diǎn)到B1電流必相同。據(jù)此可以將 0點(diǎn)斷開，等效成如圖 5所示 的簡單網(wǎng)絡(luò)，使問題得以求解。解：根據(jù)以上分析求得 Rab=5R/48求A、G之間的電阻是多少？D、B、E的電勢是相等的， C、F、H的電 7所示的簡單電路。R。例（3）如圖6所示的立方體型電路，每條邊的

4、電阻都是分析：假設(shè)在A、G兩點(diǎn)之間加上電壓時(shí)，顯然由于對稱性 勢也是相等的，把這些點(diǎn)各自連起來，原電路就變成了如圖DA （解:由簡化電路，根據(jù)串、并聯(lián)規(guī)律解得Rag=5R/6(同學(xué)們想一想，若求 A、F或A、E之間的電阻又應(yīng)當(dāng)如何簡化？)例(4)在如圖8所示的網(wǎng)格形網(wǎng)絡(luò)中，每一小段電阻均為R,試求A、B之間的等效電阻 Rab。32AR /4R/4R /2R /2OBR /2R/ 2R/2 AC 圖945圖115BA圖8R/ 2圖10分析:由于網(wǎng)絡(luò)具有相對于過 A、B對角線的對稱性，可以折疊成如圖9所示的等效網(wǎng)絡(luò)。而后根據(jù)等電勢點(diǎn)之間可以拆開也可以合并的思想簡化電路即可。解法(a):簡化為如圖9

5、所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將3、0兩個(gè)等勢點(diǎn)短接，在去掉斜角部位不起作用的兩段電阻, 使之等效變換為如圖10所示的簡單網(wǎng)絡(luò)。最后不難算得Rao=Rob=5R/14Rab= Rao+Rob=5R/7解法(b):簡化為如圖所示的網(wǎng)絡(luò)以后，將圖中的0點(diǎn)上下斷開，如圖11所示，最后不難算得Rab=5R/72:電流分布法設(shè)定電流I從網(wǎng)絡(luò)A電流入，B電流出。應(yīng)用電流分流思想和網(wǎng)絡(luò)中任意兩點(diǎn)之間不同路徑等電壓的思想，建立以網(wǎng)絡(luò)中的各電阻的電流為未知量的方程組，解出各電流I的比例關(guān)系，然后選取 A到B的某一路經(jīng)計(jì)算A、B間的電壓，再由 Rab=Uab/Iab即可算出Rab例：有如圖12所示的電阻網(wǎng)絡(luò)，求 A、B之間的電

6、阻Rab分析：要求A、B之間的電阻Rab按照電流分布法的思想，只要設(shè)上電流以后，求得A、B間的電壓即可。I12RI4A丨2圖12解：設(shè)電流由A流入，B流出，各支路上的電流如圖所示。根據(jù)分流思想可得12=1-1 113=1 2-1 1 = 1-21 1A、O間的電壓，不論是從 AO看，還是從ACO看，都應(yīng)該是一樣的，因此l1(2R)=(l-l 1)R+(I-2I 1)R解得 li=2l/5取AOB路徑，可得AB間的電壓Uab=Ii*2R+I 4*R根據(jù)對稱性l4=l2=l-l 1=31/5所以 Uab=2I/5*2R+3I/5*R=7IR/5Rab=U ab/I=7R/5這種電流分布法事實(shí)上已經(jīng)

7、引進(jìn)了基爾霍夫定律的思想，所以有一定的一般性。3: Y變換復(fù)雜電路經(jīng)過 Y變換，可以變成簡單電路。如圖13和14所示分別為網(wǎng)絡(luò)和Y網(wǎng)絡(luò)，兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)中得6個(gè)電阻滿足怎樣的關(guān)系才能使這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)完全等效呢圖14所謂完全等效，就是要求Uab=Uab,Ubc=U be, Uca=U ea la=l A,lb=lB,le=lc在Y網(wǎng)絡(luò)中有l(wèi) aRa-l bRb=U abl cRc-l aRa=U cal a+l b+l c=0解得a=RcU at/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbUca/(RaRb+RbRc+RcRa)在厶網(wǎng)絡(luò)中有Iab=U ab/RabIca=Uca/RcaIa=I ab-Ica解

8、得 |a =(U ab/Rab ) - ( u ca/Rca )因?yàn)橐髄a=lA，所以RcUab/(RaRb+RbRc+RcRa)+ RbU ca/(RaRb+RbRc+R cRa)= ( Uab/Rab)- ( U ca/Rca) 又因?yàn)橐骍ab= UAB , Uca= UCA所以要求上示中對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，即Rab = (R aRb+RbRc+RcRa)/ Rc ( 1 )Rca = (RaRb+RbRc+RcRa)/ R b ( 2 )用類似的方法可以解得Rbc = (R aRb+R bRc+RcRa)/ Ra(3)(1)、(2)、( 3)三式是將Y網(wǎng)絡(luò)變換到網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。在(1)

9、、( 2)、(3)三式中將Rab、Rbc、Rca作為已知量解出Ra、Rb、Rc即可得到Ra=RAB*RcA/(R ab+Rbc+Rca) Rb=RAB*R bc/(Rab + Rbc + Rca)(4)(5)Rc=Rbc*Rca/（Rab+Rbc+Rca）1 （6）求如圖15所示雙T橋網(wǎng)絡(luò)的等效電阻AQ2qT2Q1、W4理 /A42Q2Qrab。2J丁B _圖15此題無法直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解，需要將雙 再直接用串、并聯(lián)規(guī)律求解即可。分析： 絡(luò)元， 解:原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖16所示的網(wǎng)絡(luò)，由此可以算得Rab=118/93 Q例（2）有7個(gè)電阻同為R的網(wǎng)絡(luò)如圖17所示，試求A、B圖16T橋網(wǎng)絡(luò)中兩個(gè)

10、小的Y網(wǎng)絡(luò)元變換成兩個(gè)小的 網(wǎng)圖17解：將Y網(wǎng)絡(luò)O-ABC變換成網(wǎng)絡(luò)如圖其中 rab =(RaRb+RbRc+RcRa)/ Rc=5RRbc=(Ra Rb+R bR c+R cR a)/ R a=5R/2Rca =(RaR b+RbRc+Rc Ra)/ Rb=5R這樣就是一個(gè)簡單電路了，很容易算得Rab=7R/54:電橋平衡法B間的等效電阻B18所示R1、R2、R3、R4分別叫電橋的臂，G是靈敏電流計(jì)。當(dāng)電橋平 衡（即靈敏電流計(jì)的示數(shù)為零）的時(shí)候，我們稱之為電橋平衡。I 1 = I 2,丨3=14, l1Rl = l3R3,12只2=14只4有這些關(guān)系可以得到如圖19所示的電路稱為惠斯通電橋，

11、圖中這時(shí)有RR2 = R3/R4上式稱之為電橋平衡條件，利用此式簡化對稱性不明顯的電路, 例:有n個(gè)接線柱，任意兩個(gè)接線柱之間都接有一個(gè)電阻十分方便。R求任意兩個(gè)接線柱之間的電阻。、（5）、（6）三式是將網(wǎng)絡(luò)變換到Y(jié)網(wǎng)絡(luò)的一組變換式。 例（1）圖20分析：粗看本題根本無法求解，但是能充分利用電橋平衡的知識，則能十分方便得求解。解：如圖20所示，設(shè)想本題求兩接線柱 A、B之間的等效電阻，根據(jù)對稱性易知， 其余的接線柱 CDE- 中，任意兩個(gè)接線柱之間的電阻無電流通過，故這些電阻都可以刪除， 這樣電路簡化為:A、B之間連有電阻R，其余（n-2）個(gè)接線柱之間僅有電阻分別與 A、B兩點(diǎn)相連，它們之間沒

12、有電阻相連。即1/Rab=1/R+1/2R/（ n-2）所以Rab=2R/ n二：無限電阻網(wǎng)絡(luò)無限電阻網(wǎng)絡(luò)分為線型無限網(wǎng)絡(luò)和面型無限網(wǎng)絡(luò)，下面我們就這兩個(gè)方面展開討論1線型無限網(wǎng)絡(luò)所謂“線型”就是一字排開的無限網(wǎng)絡(luò)，既然研究對象是無限的，就可以利用“無限”這個(gè)條件，再結(jié)合我們以上講的求電阻的方法就可以解決這類問題。例（1）如圖所示的電路是一個(gè)單邊的線型無限網(wǎng)絡(luò)，每個(gè)電阻的阻值都是R，求A、B之間的等效電阻C圖21Rab應(yīng)該等于從CD往右看解：因?yàn)槭恰盁o限”的，所以去掉一個(gè)單元或增加一個(gè)單元不影響等效電阻即 的電阻RcdRab=2R+R*R cd/(R+Rcd)=Rcd整理得22Rcd -2RR

13、cd-2R =0解得：rcd= ( 1+3”2) R= Rabr求a、b兩點(diǎn)之間的電阻。例（2）一兩端無窮的電路如圖22所示，其中每個(gè)電阻均為解：此電路屬于兩端無窮網(wǎng)絡(luò)，整個(gè)電路可以看作是由三個(gè)部分組成的，如圖所示，則Rab=（2Rx+r）r/（2R x+2r）即是無窮網(wǎng)絡(luò)，bb1之間的電阻仍為Rx則Rx=（ 31/2-1）r代入上式中解得Rab=（ 6-31/2）*r/6例（3）電阻絲無限網(wǎng)絡(luò)如圖24所示，每一段金屬絲的電阻均為r,求A、B之間的等效電阻 Rab .r12_J3圖25圖26解:根據(jù)對稱性可知，網(wǎng)絡(luò)中背面那根無限長的電阻絲中各點(diǎn)等勢，故可以刪去這根電阻絲，這樣原網(wǎng)絡(luò)等效為如圖2

14、5所示的網(wǎng)絡(luò)。又因?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)相對 AB連線具有左右對稱性，故可以折疊成如圖26所示的網(wǎng)絡(luò),再利用例(1)的方法可得Rcd=Ref=Rx即 Rx=r/2+r/2+(R x*r/3)/(R x+r/3)解得：Rx=(3+21 1/2)r/61/2RAB=(2r*R x/3)/(2r/3+R x)=2(21)r/212:面型無限網(wǎng)絡(luò)解線性無限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用網(wǎng)絡(luò)的重復(fù)性，而解面型無限網(wǎng)絡(luò)的指導(dǎo)思想是利用四個(gè)方向的對稱性。R求相鄰的例(1)如圖27所示是一個(gè)無窮方格電阻絲網(wǎng)絡(luò)的一部分，其中每一小段電阻絲的阻值都是 兩個(gè)結(jié)點(diǎn)A、B之間的等效電阻。分析：假設(shè)電流I從A點(diǎn)流入，向四面八方流到 無窮遠(yuǎn)處，根據(jù)對稱性，有1/4電流由A點(diǎn)流到B點(diǎn)。假設(shè)電流I經(jīng)過無限長時(shí)間穩(wěn)定后再由四面 八方匯集到 B點(diǎn)后流出，根據(jù)對稱性，同樣有I/4AB圖27解：從以上分析看出，AB段的電流便由兩個(gè)I/4疊加而成I/2電流經(jīng)A點(diǎn)流到B點(diǎn)。圖28UAB=(I/2)*rA、B之間的等效電阻Rab=Uab/I=/2例(2)有一無限平面導(dǎo)體網(wǎng)絡(luò)，它有大小相同的正六邊型網(wǎng)眼組成，如圖28所示。所有正六邊型每邊的電阻均為R