2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義學(xué)案(含解析)

1、2. 2.3向量數(shù)乘運算及其幾何意義知識點一提出問題問題 1：按照向量的加法法則，若a為非零向量，貝 Ua+a的長度與|a|的關(guān)系怎樣？提示：按三角形法則，|a+a| = 2|a|.問題 2：我們知道，x+x+x= 3x,那么a+a+a能否寫成 3a呢？提示：可以.問題 3： 3a與a的方向有什么關(guān)系？一 3a與a的方向呢？提示：3a與a方向相同 3a與a方向相反.導(dǎo)入新知1向量數(shù)乘運算一般地，規(guī)定實數(shù) 入與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作入a,其長度與方向規(guī)定如下：(1) 1 入a| = | 入 |a| ;(2) 入a(az0)的方向當(dāng)入 0 時，與a方向相同,當(dāng)入v0 時

2、，與a方向相反.特別地，當(dāng) 入=0 或a= 0 時，0a= 0 或入 0 = 0.2 向量數(shù)乘的運算律設(shè)入，卩為實數(shù)，則(1) 入(卩a)=(入卩)a;(2) (入+卩)a=入a+卩a；(3) 入(a+b)=入a+ 入b.特別地，(一入)a=(入a)=入(一a)，入(ab)=入a入b.化解疑難從兩個角度看數(shù)乘向量(1) 代數(shù)角度：1理層析教材.新知無師自逋-2 -入是實數(shù)，a是向量，它們的積仍是向量；另外， 入a= 0 的條件是 入=0 或a= 0.(2) 幾何角度：對于向量的長度而言，-3 -1當(dāng)|入|1 時，有|入a|a| ,這意味著表示向量a的有向線段在原方向（入1）或反方向（入1）上伸

3、長到|a|的|入|倍；2當(dāng) 0|入|1 時，有|入a|a|，這意味著表示向量a的有向線段在原方向（0入1）或反方向（一 1入0）上縮短到|a|的|入|倍.知識點二提出問題問題 1：如果兩個向量共線，則這兩個向量具有哪幾種情況？提示：方向相同或方向相反或其中一者為零向量.問題 2：根據(jù)向量的數(shù)乘運算，入a與a（入豐0,0）的方向有何關(guān)系？提示：相同或相反.問題 3：向量a與入a（入為常數(shù)）共線嗎？提示：共線.導(dǎo)入新知1.共線向量定理向量a（a0）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)入，使b=入a.2 向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.對于任意向量a,b,以及任意實數(shù) 入，11

4、,12,恒有丿入（1a12b）=入11a 入12b.化解疑難共線向量定理中規(guī)定azo的原因（1）若將條件azo去掉，即當(dāng)a= 0 時，顯然a與b共線;若bz0,則不存在實數(shù)入，使b=入a；若b= 0，則對任意實數(shù) 入，都有b=入a.cm向量的線性運算例 1化簡下列各式：(1)3(6a+b) 9a+ gb；21突破頓定考向.考題千變不離其宗-4 -(3)2(5a 4b+c) 3(a 3b+c) 7a.解(1)原式=18a+ 3b 9a 3b= 9a.2 I 3a+ 2b-5 -1 f3、333(2) 原式=廳 2a+3ba b=a+：ba b= 0.22 444(3) 原式=10a 8b+ 2c

5、 3a+ 9b 3c 7a=bc.類題通法向量線性運算的方法向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算， 共線向量可以合并， 即“合并同類項”“提 取公因式”，這里的“同類項”“公因式”指的是向量.活學(xué)活用化簡下列各式：(1)2(3a 2b) + 3(a+ 5b) - 5(4ba)；1 6【？ ？a+ 8b - la 2b.答案：(1)14a 9b(2) 2a+ 4b例 2如圖所示，D, E分別是ABC的邊AB AC的中點，M N分別是DE BC的中點, TT 、已知BC=a,BD=b,試用a,1 1CB+BD+DE= a+b+ 尹=-a+b,MJ=MD+DB+BN=1=+DB + BC111=;a

6、b+=a= ab.424類題通法用已知向量表示未知向量的方法用圖形中的已知向量表示所求向量，應(yīng)結(jié)合已知和所求，聯(lián)想相關(guān)的法則和幾何圖形的 有關(guān)定理，將所求向量反復(fù)分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其實質(zhì)是向量的線性 運算的反復(fù)應(yīng)用.活學(xué)活用在幾何圖形中用已知向量表示未知向量解由三角形中位線定理，知DE綊 BC1 1 故DE=2BC,即DE= a,T T T CE=CB,MN.-6 -1.如圖所示，下列結(jié)論正確的是()333313PQ= qa+ qb;PT= jab；PS= qa qb;PR= qa+b.A.B.C.D.答案：C AB與BD有交點B, A,B, D三點共線.2.如圖所示,四邊

7、形OAD是以向量OA=a,OB=b為鄰邊的平行四邊形.1又BM=3BC3CN=3CD試用a,b表示OM,ON,MN.答案:15OM=T a+b；6 62 1 1ON= 3(a+b) ；MN=ja&b題型三=e1+ 3e2,CD=2e1ej,求證：代B, D三點共線.已知A,B, P三點共線，O為直線外任意一點，若OP=xOA+yOB，求x+y的值.解(1)證明：CBT T T-BD=CDCB=e1 4e2.又AB AB=e1+ 3e2,CD= 2e1 e,=2e1 8e2= 2(e1 4e2),=2BD_ _-4-4-1 1-. .I I-7 -入OB，故x= 1 入，y=入，即x+y

8、= 1.類題通法用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路(1) 若b=xa(a0)，且b與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行.(2) 若b=xa(a0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合.例如，若向量T TAB,AP在同一直線上，由向量共線定理可知，必定T T T TAP=入AB，即OPOA=x(/代B, P三點共線，.向量存在實數(shù)入，使OBOA), OP =(1 x)OA +-8 -T T T T T TAB=入AC，則AB,AC共線，又AB與AC有公共點A從而A B, C三點共線，這 是證明三點共線的重要方法.活學(xué)活用1 .已知ei,e2 是兩個不共線的向量，a= 2e

9、i e2,b=kei+e2.若a與b是共線向量，則實 數(shù)k的值為_ .答案：22 .如圖所示，已知D, E分別為ABC的邊AB AC的中點，延長CD到M使DM= CD延 長BE到N使BE=EN求證：M A,N三點共線.證明：D為MC的中點，且D為AB的中點， AB=AM+AC,AM=ABAC=CB.I T T TAN=ACAB=BC.T AM=AN.TM,AN共線且有公共點 A M A N三點共線.4.向量線性運算的應(yīng)用三等分點.求證：M N , C三點共線.解題流程同理可證明慘補短檢.拉分題一分不丟典例 （12 分）已知?ABCD中 ,AD=a,AB=b,M為AB的中點,N為BD上靠近B的(

10、1)用a,b表示向量V - 9 -通法要注意向量的始點和終點，此點也極易DB, （6 分）NC=NB+BC= 3DB+BC=-（AB-AD）+ 話MC有公共點C,才能說明MNC三點共線.此處極易被忽視而造成解題步驟不完整而失分.活學(xué)活用G）用mb表TFME,NCj；-（2）證明M, NtC三點共線，只常證明蔽#Ng即可.（1） W3 = MB+BCjNC= NB +BC-寺55 +貢*0由1）可知盍與走的關(guān)濡.規(guī)范解答名師批注（1） 四邊形ABCD!平行四邊形，BC=AD=a.（1 分）- M為AB的中點，MB= 2AB= 1b,平行四邊形的對邊平行且相等，且其對邊可表示兩相等向量，這在線性運

11、算中經(jīng)常用到-MC=MB+BC=為+a.（4 分）先將MC用平行四邊形中的有關(guān)有向線段/N為BD上靠近B的三等分點，NB=13表示，然后再用向量表示這是解決此類問題的出錯.131 2 1=3（ba） +a=at3b（8 分）證明：由知NC2=3MC, （10 分）將向量NB轉(zhuǎn)化為 1（7BAD）是解決此題的難點，很多同學(xué)因不會轉(zhuǎn)化而無法解題 M N, C 三點共線.（12 分）在證出n 眾后，只有再說明租與MC - MB+BC-* NC-?3+E NC =|礦亠MN匚三 換蜿+-10 -如圖，已知OCBK點A是BC的中點, 交于點E,設(shè)OA=a,OB=b.(1) 用a,b表示向量OC,DC；(

12、2) 若OE=入OA，求入的值.答案：(1)OC= 2ab；3隨堂即時演練1.設(shè)a是非零向量，入是非零實數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A.a與入a的方向相同B.a與一入a的方向相反C. a與入2a的方向相同D. | 入a| =入 |a|答案：Ca-2bC. ba答案：Ba= 2e,b= 2e；a=eie2,b= 2ei+ 2e2； 2 1a=4e1e2,b= 8 e;510a=ei+e2,b= 2ei 2e2答案：4.已知向量a,b是兩個不共線的向量，且向量m 3b與a+ (2 b共線，則實數(shù)m的值為答案：1 或 35.如圖所示，已知？ABCD勺邊AL=e2,試用e1,e2表示BC,CD.點D是

13、將OB分成 2 : 1 的一個內(nèi)分點，DC和OAIU1扈劇自主演練、百煉方成鋼A. 2a-bB.2b-aa-b3 .下列向量中a,b共線的有(填序號).CD的中點分別為K, L,且-11 -課時達(dá)標(biāo)檢測42答案：BC= e2 e1；423ei+-12 -1A.3B.15C.2 D. 3答案：A5.如圖，設(shè)D, E,=2BD,CE= 2EA,A. 反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直答案：A、選擇題1.若a=b+c,化簡 3(a+ 2b) 2(3b+c) 2(a+b)=()A. aB 一bC. c答案：AD .以上都不對2.已知向量a,b是兩個非零向量，在下列四個條件中，一定能

14、使a,b共線的是12a 3b= 4e且a+ 2b=- 2e；2存在相異實數(shù)入，使入a卩b= 0;3xa+yb= 0（其中實數(shù)4已知梯形ABCD其中A.B .C.D .答案：A3.如圖，向量OA,OB,OC的終點在同一直線上,設(shè)OA=p,OB=q,OC=r,則下列等式中成立的是13A.r=尹+尹31C. r= 2P刃B .r= p+ 2qD .r= q+ 2p答案：A4 .在ABC中，點P是AB上CP2 1T=3CA+ 3CB，又AP=tAB，貝 Ut的值為F分別是ABC的三邊BC CAAB上的點，且-4T T T Tx,y滿足x+y= 0)；且AC= 3CB,( )cAP-13 -二、填空題6

15、.如圖所示，在？ABCDhAB=a,AD=b,AN=3NC中點，貝UMN*(用a,b表示).答案：1(b-a)7 .在ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD= 2DB,CD=gCA+入CB，則小答案：38.已知兩個不共線向量ei,e2，且AB=ei+入e2,BC= 3ei+ 4e2,CD= 2ei 7 氏，若AB, D三點共線，則 入的值為答案：-3三、解答題9 如圖，四邊形ABCD1一個等腰梯形，AB/ DC M N分別是DC AB的中點，已知AB=a,AD=b,DC=c，試用a,b,c表示BC,MN,T TADN + CN.BC = BA + AD + DC = a+b+c.* TT T

16、T/ MN = MD + DA + AN , MN = MC + CB + BN , * T T T IT 2MN = MD + MC + DA + CB + AN + BN=AD BC =b(a+b+c)B解:=a2bc.MN= ab c.2 2T T T T T T TDN+CN=DM+MN+CM+MN= 2MN=a2bc.10.設(shè)O是厶ABC內(nèi)部一點，且OA+OC= 3OB,求厶AOBWAOC勺面積之比.AT T T解：如圖，由平行四邊形法則，知OA+OC=OD,其中E為AC的中點.T T TOC= 2OE= 3OB.OE|.所以O(shè)A+所以O(shè)B=-3OE,|OB|=21-14 -15 -設(shè)點A到BD的距離為h,則A。