2018-2019高中數(shù)學(xué)第3章空間向量與立體幾何3.1.2共面向量定理學(xué)案蘇教版選修2-

1、3.1.2 共面向量定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 了解共面向量等概念.2.理解空間向量共面的充要條件.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)新知夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)一共面向量能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量.知識(shí)點(diǎn)二共面向量定理如果兩個(gè)向量a,b不共線，那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組（x,y），使得p=xa+yb,即向量p可以由兩個(gè)不共線的向量a,b線性表示.知識(shí)點(diǎn)三空間四點(diǎn)共面的條件若空間任意無(wú)三點(diǎn)共線的四點(diǎn)，對(duì)于空間任一點(diǎn)Q存在實(shí)數(shù)x,y,z使得OA匕xO師yOJzQD且x,y,z滿足x+y+z= 1,貝UA, B, C, D四點(diǎn)共面.廠-思考辨析判斷正逞 -禮*1實(shí)數(shù)與向量之間可進(jìn)行加法、減法運(yùn)算.（

2、X）2.空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量.（X）3若P, M A, B共面，則MP= xMA yMEX）題型探究后迪思堆探究垂點(diǎn)類型一 向量共面的判定例 1 給出以下命題：1用分別在兩條異面直線上的兩條有向線段表示兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量一定不共面；2已知空間四邊形ABCD則由四條線段AB BC CD DA分別確定的四個(gè)向量之和為零向量；3若存在有序?qū)崝?shù)組（x,y）使得6P=xQAb yB則Q P, A, B四點(diǎn)共面；4若三個(gè)向量共面，則這三個(gè)向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)一定共面；5若a,b,c三向量?jī)蓛晒裁妫怳a,b,c三向量共面.其中正確命題的序號(hào)是_.答案2解析 錯(cuò)，空間中任意兩個(gè)向量都是共面的；錯(cuò)

3、，因?yàn)樗臈l線段確定的向量沒(méi)有強(qiáng)調(diào)方向；33正確，因?yàn)镺p OAS哄面，O, P,A B四點(diǎn)共面；4錯(cuò)，沒(méi)有強(qiáng)調(diào)零向量；5錯(cuò)，例如三棱柱的三條側(cè)棱表示的向量.反思與感悟 共面向量不一定在同一個(gè)平面內(nèi)，但可以平移到同一個(gè)平面內(nèi).判定向量共面的主要依據(jù)是共面向量定理.跟蹤訓(xùn)練 1 下列說(shuō)法正確的是 _ .（填序號(hào)）1以三個(gè)向量為三條棱一定可以作成一個(gè)平行六面體；2設(shè)平行六面體的三條棱是 B AA, b,則這一平行六面體的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的向量是B+O + Ab廣O_A1_A _A3若 2（F+ B成立，則P點(diǎn)一定是線段AB的中點(diǎn)；4在空間中，若向量AB與0是共線向量，貝y A,B,C, D四點(diǎn)共面；5若

4、a,b,c三向量共面，則由a,b所在直線所確定的平面與由b,c所在直線確定的平面是同一個(gè)平面.答案類型二 向量共面的證明例 2 如圖所示，若P為平行四邊形ABCC所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)AG 點(diǎn)G在AHLh,且AH=m若G B,P, D四點(diǎn)共面，求m的值.PH1H為PC上的點(diǎn)，且 ??；,HC24因?yàn)镻CPDDe,所以PC=PDPB-PA=-PMPB+ PDPHii因?yàn)镠CT2,所以PH=3PC所以PH=2（-陥PB+PD）31T1T1T =3PM3PB3PD又因?yàn)榫?PHPA所以XH= 4 陥 2PB+2pb,AG因?yàn)?mAHu十，T T4nrmrnr所以AG= mA=PA3PB+3PD333因?yàn)锽

5、G=AB+AG=PAPB+ AG所以BG=1 翠陥 m 1PB+3PD又因?yàn)镚, B, P,D四點(diǎn)共面，所以 1 4m= 0，n= 4.即m的值是3.4反思與感悟 利用向量法證明向量共面問(wèn)題，關(guān)鍵是熟練的進(jìn)行向量的表示，恰當(dāng)應(yīng)用向量共面的充要條件，解題過(guò)程中注意區(qū)分向量所在的直線的位置關(guān)系與向量的位置關(guān)系.考點(diǎn)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算題點(diǎn) 空間共面向量定理及應(yīng)用解連結(jié)BG因?yàn)?B=PB PAB=C所以DC=PB- PA5跟蹤訓(xùn)練 2 如圖，在正方體ABCABCD中，E, F分別為BB和AD的中點(diǎn).證明：向量B,T,EF是共面向量.證明EF=EB+BA+T1 -A-A1-A=B1BAB+A1D1221

6、-A T-A=2（BB+BCAB6=23衣又BC,AB不共線,由向量共面的充要條件知，1B,BC,EF是共面向量.類型三 共面向量定理的應(yīng)用如圖，在底面為正三角形的斜棱柱ABC-ABC中，D為AC的中點(diǎn),A 所以DBC=a+c=B，又DBfC不共線,過(guò)程和證明步驟.跟蹤訓(xùn)練 3 如圖所示，已知斜三棱柱ABC-ABC,設(shè)AB= a,AC=b,一=c,在面對(duì)角線AC上和棱BC上分別取點(diǎn)M N,使AM= kS,BN= kBC(0 k - - - - - - -2- -1- - -1-解析EF=AF-AE=A內(nèi)DF-(AB+ BE=AM-DDAB-BB=At-AB+ - AA.3331 1x= 1,y

7、= 1,z= x+y+z= 3.5.i,j,k是三個(gè)不共面的向量，AB= i 2j+ 2k,BC=2i+j 3k,CD-入i+ 3j 5k,且A, B,C, D四點(diǎn)共面，貝U入的值為_(kāi).答案 1解析 若A, B, C, D四點(diǎn)共面，則向量AB EDC衣共面，故存在不全為零的實(shí)數(shù)a,b,c,使得aAB+ bfc cCD0.即a(i 2j+ 2k) +b(2i+j 3k) +c(入i+ 3j 5k) = 0, (a+ 2b+ 入c)i+ ( 2a+b+ 3c)j+ (2a 3b 5c)k= 0.i,j,k不共面，a+ 2b+ 入c= 0 ,ja=c, i 2a+b+3c=0,ib= c,2a 3b

8、 5c= 0.入=1.1310答案 7 T12313L解析 易得c=t a+b= ( 2t+ 3 ,t 4 卩，3t+ 2 ),7=2t+31t=t13 ,故入的值為一123解得311= 13 ,入=12313 ,6.如圖，在空間四邊形OABC中,OAa,OB= b,OCc,點(diǎn)M在OA上，且0M=2MA N為BC中點(diǎn)，貝U MN=_.（用a,b,c表示） 2 11答案3a+ 2b+ 2C.,O O O O1O O O1O11O O解析MN= MAF AB+ BN=3OAF(OB- OA+ BC=3a+ (ba) + 2(OC-OB1 1=a+ (ba) + (cb)一 3a+2b+yODCB=

9、 2x(30yE貝Ux+3y=_3答案761 2解析 由點(diǎn)A,B, C, D共面得x+y= 2,又由點(diǎn)B,C, D, E共面得 2x+y= 3,聯(lián)立方程組117解得x=6,y=3,所以x+ 3y=&已知a= ( 2,1,3) ,b= (3 , 4,2) ,c= (7 ,入，5),若a,b,c共面，貝U實(shí)數(shù)入的值為_(kāi) .V7.平面a內(nèi)有五點(diǎn)A B,C, D, E,其中無(wú)三點(diǎn)共線,O為空間一點(diǎn)，滿足OA= 0內(nèi)xSofi N C119已知P,A, B,C四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任一點(diǎn)0都有OP2OA入屜 入SC則入=_37答案-3解析 因?yàn)镻, A,B, C四點(diǎn)共面，所以0P= xOAb yOB

10、 zOC且x+y+z= 1 所以 2+號(hào)+37入=1,得入=一 3.10.已知i,j,k是不共面向量，a= 2i一j+ 3k,b= 一i+ 4j一 2k,c= 7i+ 5j+ 入k,右a,b,c三個(gè)向量共面，貝U實(shí)數(shù)入=_.解析/a,b,c三向量共面，存在實(shí)數(shù)m n,使得c=na+nb,即 7i+ 5j+ 入k=m2i-j+ 3k) +n( -i+ 4j- 2k).7= 2nn,I65 5 = - n+ 4n ,入=專.I7入=3n 2n,11._ 在以下命題中，不正確的命題的個(gè)數(shù)為_(kāi).1已知A,B, C, D是空間任意四點(diǎn)，貝yB+BC+c+DA= 0；2|a| - |b| = |a+b|是

11、a,b共線的充要條件；3若a與b共線，則a與b所在直線平行；答案657124對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B, C,若OP= xOAF y0臥zOC其中x,y,zR), 則P,A,B, C四點(diǎn)共面.答案 3解析 B+ BC+D+ DA=AC+0+DA= AD+DA=0,正確；若a,b同向共線,則|a| - |b|a+b| ,故不正確；由向量平行知不正確；由空間向量共面知不正確.故共有 3 個(gè)命題不正確.二、解答題12. 如圖所示，已知矩形ABC和矩形ADEf所在的平面互相垂直，點(diǎn)M N分別在對(duì)角線BD1 1AE上 ,且BM=3BD, ANh3AEi0求證：向量MNCDEE共面.1證明 因?yàn)?/p>

12、M在BD上，且BM=3BD3所以MB=iDB=”陥333同理AN=ADB3DE33所以MN= MB- BAMMN CDME共面.j/V i3.已知非零向量ei,e2不共線，如果AB= ei+e2,AC=2ei+ 8e2,AD= 3ei 3e2,求證：AB, C, D共面.證明方法一令 入(ei+e2)+(2ei+ 8e2)+v(3ei 3e2)= 0,則(入 + 2 卩+ 3v)ei+ (入 + 8 卩一 3v)e2= 0.入 + 2 卩 + 3v= 0,入 + 8 3v= 0,入=5 , 則卩=i, TN=i所以A,B, C, D共面._A_A_A_A I方法二 觀察可得M(BAD-(2ei

13、+ 8e2)+ (3ei 3e2)= 5ei+ 5e2= 5(ei+e2)= 5AB所以 AB=-5A4 A2M1=3BCB3D=i0又它們有公共點(diǎn)代所以A,B, C, D四點(diǎn)共面.三、探究與拓展ii4.如圖，在平行六面體ABCD-AiCD中，AE= 3EA,AF=FD, AG=2GB過(guò)E, F,G三點(diǎn)15的平面與對(duì)角線AG交于點(diǎn)P,則AP：PG=_答案屠解析設(shè)辰mAG,因?yàn)锳S = XBBB+6=AB+A+AD=3 祜?AE 2AF,366 4 -6-6所以AF=3mAG -mAEF 2mAF34又因?yàn)镋、F、G P四點(diǎn)共面，所以 3m m+ 2m=1,3所以 m= 77,所以AP：PG= 3 : 16.ABCBAiBGD中，0是BD的中點(diǎn)，求證：-,-DO-是共面向量.證明設(shè)CB=a,CiD=b,CC=c,四邊形BBCC為平行四邊形，B-=ca,又O是BiD的中點(diǎn)，CO= 2(a+b),15.如圖所示，