奉賢補(bǔ)習(xí)班,解析雙曲線的性質(zhì)

1、12.6雙曲線的性質(zhì)、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)的重點(diǎn)是雙曲線性質(zhì)的研究，通過雙曲線的圖像來研究雙曲線的范圍、對(duì) 稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸、虛軸、漸近線等內(nèi)容.本節(jié)的難點(diǎn)是漸近線方程與雙曲線方程之間的關(guān)系，以及漸近線與雙曲線的位置關(guān)系.、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)本節(jié)課主要采用類比的教學(xué)方法研究雙曲線的基本性質(zhì)，介紹等軸雙曲線、共軛雙曲線的概念及性質(zhì)，討論共漸近線的雙曲線系方程，使學(xué)生加深對(duì)雙曲線性 質(zhì)的理解，能利用這些性質(zhì)解決實(shí)際問題.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn)：雙曲線的性質(zhì).難點(diǎn)：雙曲線的漸近線與雙曲線的位置關(guān)系 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)、復(fù)習(xí)引入1 觀察復(fù)習(xí)雙曲線的定義、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（焦點(diǎn)位置）、標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c的意 義（

2、與橢圓對(duì)比）2 思考（類比橢圓）橢圓有哪些幾何性質(zhì)？說明討論雙曲線的幾何性質(zhì)與討論橢圓的幾何性質(zhì)，方法是相同的，這部 分的內(nèi)容可以采用類比的教學(xué)方法，讓學(xué)生根據(jù)研究橢圓性質(zhì)的方法類比雙曲線 的性質(zhì)，得到一些結(jié)論并加以研究.3 .討論 研究雙曲線幾何性質(zhì)，雙曲線圖形發(fā)展趨勢(shì)怎樣?、學(xué)習(xí)新課1 .概念辨析以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程2 X2 a2卡可，亠* b2（c0）為例進(jìn)行說明.y/Fi Ai 0A?F2X1 范圍：觀察雙曲線的草圖，可以 直觀看出曲線在坐標(biāo)系中的范圍：雙曲線在 兩條直線X = _a的外側(cè)從雙曲線的方程如何驗(yàn)證？由標(biāo)準(zhǔn)方程可得x2 _a2，當(dāng)x _a時(shí)，y才有實(shí)數(shù)值；對(duì)于y的任何值，x都

3、有實(shí)數(shù)值.這說明從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來 看，隨著x的增大，y的絕對(duì)值也無(wú)限增大，所以曲線在縱方向上可無(wú)限伸展， 不像橢圓那樣是封閉曲線+2. 對(duì)稱性：雙曲線不封閉，但仍具三個(gè)對(duì)稱性，稱其對(duì)稱中心為雙曲線的中心 3頂點(diǎn)：雙曲線和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做雙曲線的頂點(diǎn).(結(jié)合圖形)，所以令y = 0得2 2x二_a，因此雙曲線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)A (-a,0)A2(a,0)，它們是雙曲線 務(wù)-% =1a b2 2的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸上位于兩頂點(diǎn)間的線段 AA叫做雙曲線 篤-爲(wèi)=1的實(shí)軸長(zhǎng)，它的a b長(zhǎng)是2a，a叫半實(shí)軸長(zhǎng)”而在方程中令x=0得y2二-b2，這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根，

4、說明雙曲線和y軸沒有交點(diǎn)但y軸上的兩個(gè)特殊點(diǎn)Bi(0,b),B2 0,-b，在雙曲線中也有非常重要的作用+把線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)是 2b，b叫做虛半軸長(zhǎng)一歸納：頂點(diǎn)：A(a,0),A2(-a,0)特殊點(diǎn)：B!（0,b）, B2 0,-b實(shí)軸：tA長(zhǎng)為2a，a叫做半實(shí)軸長(zhǎng).虛軸：IB,B2長(zhǎng)為2b， b叫做虛半軸長(zhǎng).注意：名稱，不要把虛軸與橢圓的短軸混淆雙曲線只有兩個(gè)頂點(diǎn)，與橢圓 的又一差異4.漸近線：經(jīng)過A A?、Bi、B2作x軸、y軸的平行線x-a,y-b，圍成一個(gè)矩形，其對(duì)角線所在的直線方程為 y二bx.a(1)定義：如果有一條直線使得當(dāng)曲線上的一點(diǎn)曲線無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M

5、到該直線的距離無(wú)限接近于零，則這條直線叫這一曲線的漸近線;(2), 2 2 直線與雙曲線才古=1在無(wú)窮遠(yuǎn)處是否相交?解：不失一般性，只研究雙曲線在第一象限內(nèi)的部分 y =x2 - a2,x a與a直線y =bx的位置關(guān)系；a設(shè)M(x,y)是y = X2 - a2,x a上的點(diǎn)，N(x,Y)是直線y二衛(wèi)X上與M有aa相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)，貝U Y =匕x,aK s k0 蘭 y = Jx2 -a2 蘭一x =Y , -M 在 N 的下方.aab b j 22MN =Y-y = x-一fx -aa ab (x _ x2 _a2)(x、x2 _ a2)ax i x2 - a2=,是關(guān)于x的減函數(shù)，.x無(wú)限

6、增大時(shí)，MN無(wú)限趨近于0 ,而M+ / 2 2 ix - a到直線的距離d c MN ,.収無(wú)限增大時(shí)，d也無(wú)限趨近于0，但永不相交.其他象 限類似證明；2 2 2 2(3)求法：在方程令 葺=1中，令右邊為零，則令 W = 0，得漸近線方程a ba b(T)(»0即 yx ；a b a ba2 2若方程為 與-令=1，則漸近線方程為y - x .a2 b2b2 問題拓展(一)等軸雙曲線1、定義：若a=b即實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線3、等軸雙曲線的性質(zhì)：(1 )漸近線方程為：y = _x ； (2)漸近線互相垂直.注2、方程： x2 _ y2 = a2 或 y2 -x

7、2 = a2.意以上幾個(gè)性質(zhì)與定義式彼此等價(jià).3 )等軸雙曲線方程可以設(shè)為： x2 一 y2 = 0),當(dāng) . 0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng): 0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上.例：等軸雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)Fi F2在直線y二x上，線段FF的中點(diǎn)是原點(diǎn)，分別 寫出等軸雙曲線和兩條漸近線的方程.(二)共軛雙曲線1、定義：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線.2 2 2 22、方程：(1)冷-爲(wèi)=1的共軛雙曲線為爲(wèi)-篤=1 ；a bb a2y2a2卩1的共軛雙曲線2 2為牙話1;2(2)互為共軛的一對(duì)雙曲線方程合起來寫成為 篤a b2每=1 或 22 = 1 ；b性質(zhì)：有一對(duì)共同的漸近線；有相同

8、的焦距，四焦點(diǎn)共圓;注意:(1)共漸近線的兩雙曲線不一定是共軛雙曲線，如2 2I -工=1和18 2x2(2)2y_2x2 a2 by2 x21與才蘆仁a和)不共漸近線，有相同的焦距,四焦點(diǎn)共圓;例如:分清2 2 20一工=1、與y_4332 2 2x 1、 D 1、-443322X 1、42x_42厶=2之間的關(guān)系.3(三)共漸近線的雙曲線系方程2 2 2 2 2 2 2 2問題(1)X y 1 與-1；(2) X y 1 與-1 的區(qū)別？1699161693218(1) a,b不同(互換)c相同，焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸也變了，但二者具有相同的漸近線(共軛雙曲線);(2) a,b不同,c不同，焦點(diǎn)

9、所在的坐標(biāo)軸未變且二者具有相同的漸近線由此:=1的漸近線是y = _Px，但反過來此漸近線對(duì)應(yīng)的雙曲a線則很多.問題：共用同一對(duì)漸近線y二_x的雙曲線的方程具有什么樣的特征？a如果已知一雙曲線的漸近線方程為 y = _bx二一些x(k -0)，那么此雙曲線方程就a ka當(dāng) 0時(shí)交點(diǎn)在x軸，當(dāng) : 0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上.2 2 2 2 X7X 1_=1有共同的漸近線.a bx -=1，漸近線 y = ±x = ±-x，ba ， a+ by x，a2 2即:雙曲線 七-芯二' ( 0 )與雙曲線2 一a -證明：若0，則雙曲線方程可化為2 2雙曲線 務(wù)-嶺=1的漸近線方程為

10、a b兩雙曲線漸近線相同；若 ： 0，貝U雙曲線方程可化為2X-1，漸近線x =b、 x2y = -x，又雙曲線-aa兩雙曲線漸近線相同，所以,2y,2 n-b 2篤=1的漸近線方程為b2原命題結(jié)論成立.-a2.aa.-by，即y = - x，a2 2說明與雙曲線=1m n(mn0 )有共同漸近線的所有雙曲線方程為疋疋：2 2 2 2xyxy22二-1(k0)或?qū)懗蓃亠二(ka)(kb)ab3 .例題分析1、若雙曲線以2x_3y=0為漸近線,根據(jù)下列條件，分別求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程10 1（1） 且實(shí)軸長(zhǎng)為4、2 ；（2）過點(diǎn)PC 7,） ；（3）一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0, .、52）.3解：（1）設(shè)雙曲

11、線方程為4x 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為y =1. 三、鞏固練習(xí)1、 中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為（3，0），一條漸近線方程 2x-3y=0的雙曲線方程是. 2 22、 求與雙曲線 -11共漸近線且過A（3.3,-3）的雙曲線的方程. 169 2 23、 求與雙曲線 -11有共同的漸近線，且經(jīng)過點(diǎn) A（-3,2、3的雙曲線的一 16個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離.4、以5x2+8y2=40的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且以5x2+8y2=40的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程是. -9y2 ,當(dāng)，0時(shí)焦點(diǎn)在x軸上，8,，=32，雙曲線方程4x2-9y2=32;4當(dāng)兒:,0時(shí)焦點(diǎn)在y軸上，8, - -72，雙曲線方程4x -9y?

12、= _72;9（2）設(shè)雙曲線方程為4x2 -9y2 將P（ 7,10）代入得=-72，雙曲線方程4x2-9y2=-72（3 ）設(shè)雙曲線方程為4x2 -9y2，因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為（052），所以 ：0，52,.-144，雙曲線方程為 4x2-9y2 - -144.942、 （ 1 ）求雙曲線2x2 -y2 =8的兩條漸近線包含雙曲線的部分所成的角:；4（2）焦距為2.5，兩條漸近線包含雙曲線的部分所成角為二-arcta，求雙曲3線標(biāo)準(zhǔn)方程.解：（1）漸近線方程為 y = ±J2x，tga =址= 2/2，二 a = arctan2l2 ;1 + V2 H/2）2（2）當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為x2 -1;4四、課堂小結(jié)雙曲線的范圍、對(duì)稱性、中心、頂點(diǎn)、實(shí)軸和虛軸、實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、漸近線方程、等軸雙曲線；雙曲線2 x2ay2b/ =1的漸近線是y二x，但反過來此