浙江省寧波市海曙區(qū)效實中學2013屆高三數學上學期期中試題 文 新人教A版

1、2012-2013學年浙江省寧波市海曙區(qū)效實中學高三（上）期中數學試卷（文科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求1（3分）（2013威海二模）若i是虛數單位，則復數等于（）A1+iB1iC1+iD1i考點：復數代數形式的乘除運算專題：計算題分析：利用復數的除法法則和周期性即可求出解答：解：=i2+i=1+i故選C點評：熟練掌握復數的運算法則是解題的關鍵2（3分）（2005湖南）設集合A=x|0，B=x|x1|a，若“a=1”是“AB”的（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件考點：交集及其運算；必要條件、

2、充分條件與充要條件的判斷分析：先化簡集合A和B，再根據“a=1”和“AB”中是誰推出誰來進行判斷解答：解：設集合A=x|0=x|1x1，B=x|x1|a=x|a+1xa+1，當a=1時，B=x|0x2，若“a=1”則“AB”；若“AB”則不一定有“a=1”，比如a=若“a=1”則有“AB”反之不成立故選A點評：涉及到充要條件問題，一般是看由誰推出誰，本題中，由AB，但B推不出A，則A是B的充分不必要條件3（3分）是第二象限角，P（x，）為其終邊上一點且cos=x，則x的值為（）AB±CD考點：象限角、軸線角；終邊相同的角專題：計算題分析：根據三角函數的定義有cos=，條件cos=x都

3、可以用點P的坐標來表達，借助于角的終邊上的點，解關于x的方程，便可求得所求的橫坐標解答：解：cos=x，x=0（是第二象限角，舍去）或x=（舍去）或x=答案：C點評：巧妙運用三角函數的定義，聯立方程求出未知量，不失為一種好方法4（3分）如圖是甲、乙兩籃球運動員在某一個賽季上場比賽中得分的莖葉圖，假設得分值的中位數為m，平均值為，則下列正確的是（）ABCD考點：莖葉圖專題：概率與統(tǒng)計分析：莖葉圖的莖是高位，葉是低位，所以本題中“莖是十位”，葉是個位，從圖中分析出參與運算的數據，代入相應公式即可解答解答：解：由已知中莖葉圖可得甲運動員的成績分別為：5，7，11，12，14，17，23，24故m甲=

4、13，=乙運動員的成績分別為：4，9，12，13，16，25，28故m乙=13，=故故選B點評：本題考查的知識點是莖葉圖，及中位數，眾數的概念，平均值等，由莖葉圖中分析出甲、乙兩名籃球運動員某賽季各場次得分，再由定義進行判斷，易得結果5（3分）（2011福州模擬）給出下列四個命題：分別與兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線；若一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行； 若兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直其中為真命題的是（）A和B和C和D和考點：空間中直線與直線之間的位置關系；空間中直線與平面之間的位置關

5、系分析：利用空間兩條直線關系的定義及判定方法，易判斷的對錯；根據面面垂直的判定定理，可得到的真假；根據空間兩條直線垂直的定義及判定方法，可判斷的真假，結合面面垂直的判定定理及互為逆否命題同真同假，即可得到的正誤，進而得到結論解答：解：分別與兩條異面直線都相交的兩條直線，可能相交也可能異面，故A錯誤；根據面面垂直的判定定理，當一個平面經過另一個平面的垂線，那么這兩個平面一定相互垂直，故B正確；垂直于同一直線的兩條直線可能平行與可能相交也可能異面，故C錯誤；由面面垂直的性質定理，當兩個平面垂直，那么一個平面內與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直，故D正確；故選D點評：本題考查的知識點是空間

6、中直線與直線之間的位置關系，空間中直線與平面之間的位置關系，熟練掌握空間線、面之間位置關系的定義、判定、性質，建立良好的空間想象能力是解答本題的關鍵6（3分）（2012鐵嶺模擬）一個幾何體的三視圖及部分數據如圖所示，側視圖為等腰三角形，俯視圖為正方形，則這個幾何體的體積等于（）ABCD考點：由三視圖求面積、體積專題：計算題分析：三視圖復原幾何體是底面是正方形，一條側棱垂直底面的一個頂點，求出底面面積，即可求出體積解答：解：三視圖復原幾何體是底面是正方形，一條側棱垂直底面的一個頂點，底面對角線的長為1，高為2，底面面積是，所以它的體積是，故選A點評：本題考查由三視圖求體積，三視圖的復原，是基礎題

7、7（3分）一個數學興趣小組有女同學2名，男同學3名，現從這個數學興趣小組中任選2名同學參加數學競賽，其中男同學人數不少于女同學人數的概率為（）ABCD考點：古典概型及其概率計算公式專題：概率與統(tǒng)計分析：確定所有基本事件的個數，求出男同學人數不少于女同學人數的基本事件個數，利用概率公式可得結論解答：解：3名男同學，2名女同學，共5名同學，從中取出2人，有C52=10種情況，男同學人數不少于女同學人數，包括2名男生和1名女生1名男生，共C32+C31C21=9種情況，故所求概率為故選D點評：本題考查等可能事件的概率計算，考查學生的計算能力，屬于基礎題8（3分）已知函數f（x）=sin（2x），g（

8、x）=2cos2x，則下列結論正確的是（）A函數f（x）在區(qū)間上為增函數B函數y=f（x）+g（x）的最小正周期為2C函數y=f（x）+g（x）的圖象關于直線x=對稱D將函數f（x）的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數g（x）的圖象考點：二倍角的余弦；兩角和與差的正弦函數；三角函數的周期性及其求法；正弦函數的單調性；函數y=Asin（x+）的圖象變換專題：計算題；三角函數的圖像與性質分析：將f（x）與g（x）分別化簡，再對A，B，C，D四個選項逐一分析即可解答：解：f（x）=sin（2x）=sin2x，y=sinx在0，上單調遞增，在區(qū)間，上單調遞減，f（x）=sin2x在區(qū)間上

9、單調遞減，故A錯誤；又g（x）=2cos2x=1+cos2x，y=f（x）+g（x）=cos2x+sin2x+1=sin（2x+）+1，其周期T=，由2x+=k+（kZ）得，x=+，kZ，當k=0時，x=；故B錯誤，C正確；對于D，f（x）=sin2xf（x）=sin2（x）=sin2x1+cos2x=g（x），故D錯誤綜上所述，只有C正確故選C點評：本題考查二倍角的余弦，考查正弦函數的性質的應用，考查函數y=Asin（x+）的圖象變換，綜合性強，屬于中檔題9（3分）已知數列an滿足，則a1+a2+a3+a2012=（）AB1005C1005D考點：數列與三角函數的綜合專題：計算題；等差數列與

10、等比數列分析：利用，確定數列中項的規(guī)律，即可求得結論解答：解：由題意，a1=1×（）+，a2=2×（），a3=3×1，a4=4×（）+，a5=5×（），a6=6×1，a2011=2011×（）+，a2012=2012××（），a1+a2+a3+a2012=（1+2）×（）+3+（4+5）×（）+6+（2008+2009）×（）+670×3+（2011+2012）×（）=（3+9+4023）×（）+3+6+9+670=故選A點評：本題考查數列的求和

11、，考查學生的計算能力，屬于中檔題10（3分）函數f（x）的定義域為（，1）（1，+），且f（x+1）為奇函數，當x1時，f（x）=2x212x+16，則方程f（x）=m有兩個零點的實數m的取值范圍是（）A（6，6）B（2，6）C（6，2）（2，6）D（，6）（6，+）考點：函數的零點；函數奇偶性的性質專題：函數的性質及應用分析：根據f（x+1）為奇函數，以及x1時，f（x）=2x212x+16，求得x1時，f（x）的解析式由題意可得，直線y=m與函數f（x）圖象交點個數為2，數形結合求得實數m的取值范圍解答：解：f（x+1）為奇函數，可得 f（x+1）=f（x+1），即 f（x+1）+f（x+

12、1）=0，故函數f（x）圖象關于點（1，0）對稱，f（x）+f（2x）=0當x1時，有2x1，又當x1時，f（x）=2x212x+16，故函數的最小值為f（3）=2當x1時，f（x）=f（2x）=2 （2x）212（2x）+16=2x24x=2x（x+2），故函數的最大值為2直線y=m與函數f（x）圖象的所有交點的個數，就是方程f（x）=m的零點的個數由題意可得，直線y=m與函數f（x）圖象交點個數為2如圖所示：故實數m的取值范圍是 （6，2）（2，6），故選C點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用，函數的零點與方程的根的關系，體現了數形結合的數學思想，屬于中檔題二、填空題：本大題共7小題，每小

13、題3分，共21分11（3分）在公比為2的等比數列an中，則a1=2考點：等比數列的性質專題：計算題；等差數列與等比數列分析：利用等比數列的定義，結合條件，即可求a1的值解答：解：公比為2的等比數列an中，8a1=（2a1）2a10a1=2故答案為：2點評：本題考查等比數列的通項，考查學生的計算能力，屬于基礎題12（3分）（2013婺城區(qū)模擬）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的k=4考點：循環(huán)結構專題：應用題分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是輸出不滿足條件S=0+1+2+8+100時，k+1的值解答：解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所

14、示的順序，可知：該程序的作用是：輸出不滿足條件S=0+1+2+8+100時，k+1的值當k=3時，1+2+8=11100而當k=4時，1+2+8+211100故最后輸出k的值為4故答案為：4點評：根據流程圖（或偽代碼）寫程序的運行結果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中既要分析出計算的類型，又要分析出參與計算的數據（如果參與運算的數據比較多，也可使用表格對數據進行分析管理）建立數學模型，根據第一步分析的結果，選擇恰當的數學模型解模13（3分）（2011杭州一模）設n為正整數，計算得，f（4）2，f（16）3，觀察上述結果，可推測一般的結論為

15、f（2n）（nN*）考點：歸納推理專題：探究型分析：根據已知中的等式：，f（4）2，f（16）3，我們分析等式左邊數的變化規(guī)律及等式兩邊數的關系，歸納推斷后，即可得到答案解答：解：觀察已知中等式：得，f（4）2，f（16）3，則f（2n）（nN*）故答案為：f（2n）（nN*）點評：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）14（3分）（2012鐵嶺模擬）點M（x，y）是不等式組表示的平面區(qū)域內一動點，定點是坐標原點，則的取值范圍是0，18考點：簡單線性規(guī)劃專題：不等式的解法及應用分析：畫出滿足約束條件 的平面區(qū)域

16、，利用向量的坐標運算得到 =3x+y，然后利用角點法求出滿足約束條件時，使Z=3x+y的值取得最大（?。┑狞cM的坐標，即可得到的取值范圍解答：解：滿足約束條件 的平面區(qū)域如下圖所示：則 =（ 3，），=（x，y）則 =3x+y，則當M與O重合時，取最小值0；當M點坐標為（ 3，3）時，取最大值18，故則 （O為坐標原點）的取值范圍是0，18故答案為：0，18點評：本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃，及平面向量的數量積的運算，其中根據約束條件畫出可行域，進而根據角點法求出最優(yōu)解是解答本題的關鍵15（3分）已知tan（）=，tan，且，（0，），則tan（2）的值為1考點：兩角和與差的正切函數專題：三

17、角函數的求值分析：利用兩角和差的正切公式求得 tan=tan（）+的值，再由 tan（2）=tan（+（）=，運算求得結果解答：解：已知tan（）=，tan，且，（0，），tan=tan（）+=，tan（2）=tan（+（）=1，故答案為1點評：本題主要考查兩角和差的正切公式的應用，屬于中檔題16（3分）不等式在1，3內有實數解，則實數a的取值范圍是考點：函數的零點專題：函數的性質及應用分析：由2x為增函數，是增函數，知2xa是增函數，由此能求出2xa在1，3內的最大值解答：解：2x為增函數，是增函數，所以2xa是增函數，所以2xa在1，3內的最大值為23a=a0，即a故答案為：a點評：本題考

18、查函數的零點以及閉區(qū)間上的函數的最值的求法，是基礎題解題時要認真審題，仔細解答，注意函數的單調性的靈活運用17（3分）（2011金華模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E為DC邊的中點，沿AE將ADE折起，使二面角DAEB為60°，則直線AD與面ABCE所成角的正弦值為考點：直線與平面所成的角專題：證明題；綜合題；壓軸題分析：作DO垂直面ABCD，垂足為O，過O作OF垂直AE于F，連接DF、OA，則OFD為二面角DAEB的平面角等于60°，OAD為直線AD與面ABCD所成角，解三角形OFD，和三角形OAD，即可求出直線AD與面ABCE所成角的正弦值解答：解：作

19、DO垂直面ABCD，垂足為O，過O作OF垂直AE于F，連接DF、OA，則DF垂直AE，OFD為二面角DAEB的平面角，OFD=60°，OAD為直線AD與面ABCD所成角，AE=，DFAE=ADDE，DF=，=sinOFD=sin60°，DO=DF=，sinOAD=故答案為：點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，其中添加輔助線，構造出OAD為直線AD與面ABCD所成角，將線面夾角問題轉化為解三角形問題，是解答本題的關鍵三、解答題：本大題共5小題，共49分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.18（9分）在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，向量=（2a+

20、c，b），=（cosB，cosC），且，垂直（ I）確定角B的大??；（ II）若ABC的平分線BD交AC于點D，且BD=1，設BC=x，BA=y，試確定y關于x的函數式，并求邊AC長的取值范圍考點：平面向量數量積的運算；基本不等式分析：（），對此式進行化簡得（2a+c）cosB+bcosC=0，再使用正弦定理即可求出角B；（）先由三角形的面積之間的關系SABC=SABD+SBCD得出x+y=xy，再使用余弦定理可得：=，對x+y=xy使用基本不等式，可求出x+y的取值范圍，進而可求出AC2的取值范圍解答：解：（ I），（2a+c）cosB+bcosC=0，在ABC中，由正弦定理得：，a=ksi

21、nA，b=ksinB，c=ksinC，代入得k（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，2sinAcosB+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0A，B（0，），sinA0，解得B=（ II）SABC=SABD+SBCD，xy=x+y，在ABC中，由余弦定理得：=x2+y2+xy=（x+y）2xy=（x+y）2（x+y）=，x0，y0，x+y4，AC的取值范圍是：點評：理解數量積與向量垂直的關系，正確使用正、余弦定理及三角形的面積公式，基本不等式的性質是解決問題的關鍵19（10分）已知數列an中，a1=1，前n項和為Sn=an，nN*（1）求a2，a3，并求數列a

22、n的通項an；（2）記bn=，Tn是數列bn的前n項和，求證：Tn2n3考點：數列與不等式的綜合；數列遞推式專題：綜合題；等差數列與等比數列分析：（1）利用數列遞推式代入計算，可求a2，a3，再寫一式，兩式相減，再利用疊乘法，即可求數列an的通項an；（2）利用裂項法求數列的和，即可證得結論解答：（1）解：n=2時，S2=a2，a1=1，1+a2=a2，a2=3；n=3時，S3=a3，4+a3=a3，a3=6；Sn=an，n2時，Sn1=an1，兩式相減可得an=anan1，an=a1=（2）證明：，點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項與求和，確定數列的通項是關鍵20（9分）如圖，在ABC

23、中，ADBC，（1）求的值；（2）設，且實數t滿足，求t的取值范圍考點：平面向量的綜合題專題：計算題；平面向量及應用分析：（1）根據，利用向量的線性運算，即可求的值；（2）先求得，根據，兩邊平方，化簡即可求t的取值范圍解答：解：（1），（2）根據題意：由，令，可得，兩邊平方得，125a2+25a2t22t25a2100a2+25a2，t22t0，t2或t0點評：本題考查向量的線性運算，考查向量模的求解，考查學生的計算能力，屬于中檔題21（11分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為直角梯形，ADBC，ADC=90°，平面PAD底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，（1）求證：平面PQB平面PAD；（2）若PA平面QBM，求的值；（3）若，求二面角MBQC的大小考點：二面角的平面角及求法；直線與平面平行的性質；平面與平面垂直的判定專題：綜合題；空間位置關系與距離；空間角分析：（1）利用面面垂直的性質，可得線面垂直，再利用面面垂直的判定，可得結論；（2）利用線面平行，可得線線平行，從而可得比值；（3）連接CQ，作MFCQ于點F，作FGBQ于點G，連接GM，證明二面角MBQC的平面角為MGF，即可求得結論解答