微積分7-7方向?qū)?shù)與梯度

1、 第九章 第七節(jié)第七節(jié)一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù) 二、梯度二、梯度 三、物理意義三、物理意義 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度引射線引射線內(nèi)有定義，自點內(nèi)有定義，自點的某一鄰域的某一鄰域在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)lPPUyxPyxfz00000)( ),( ),( ).(),(,0PUPlyyxxPlx 上上的的另另一一點點且且為為并并設(shè)設(shè)為為的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角軸軸正正向向到到射射線線設(shè)設(shè) . ),( 0的變化率問題的變化率問題沿某一方向沿某一方向在一點在一點討論函數(shù)討論函數(shù)Pyxfz 9.7 方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)和梯度oyx lPy 0P |0PP,)()(22yx x ),(),(yxfyyxxfz 且且

2、.),(),(lim : . )()( , ),(),( 002200000 yxfyyxxflflPPlPyxPPyxfyyxxf 記為記為的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)方向方向沿沿個極限為函數(shù)在點個極限為函數(shù)在點時，極限存在，則稱這時，極限存在，則稱這趨于趨于沿著沿著之比值，當(dāng)之比值，當(dāng)兩點間距離兩點間距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量定義定義1oyx lPy 0P ),(),(lim0 是否存在？是否存在？ yxfyyxxf ,lim 0 z 考慮考慮x 時，時，趨于趨于沿著沿著當(dāng)當(dāng) 0PlP一、方向?qū)?shù)的定義一、方向?qū)?shù)的定義定義定義2.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)z f(x, y)在點在點P0(x0 y0)的某一鄰

3、域的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義內(nèi)有定義 l是是xOy平面上以平面上以P0(x0 y0)為始點的一條為始點的一條射線射線 與與l同方向的單位向量為同方向的單位向量為el (cos cos ) 為函數(shù)為函數(shù)),(yxf在在 處處0P沿沿 方向的方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).loyx lPy 0Px ,cos x,cos yWhy？關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明1. 函數(shù)函數(shù)f(x, y)在點在點P沿沿x軸正向和負(fù)向軸正向和負(fù)向, 沿沿y軸正向和負(fù)軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何向的方向?qū)?shù)如何? 結(jié)論結(jié)論: 沿沿x軸正向時軸正向時:xflf , 0cos, 1cos xflf , 0cos, 1cos 沿沿x軸

4、負(fù)向時軸負(fù)向時:yflf , 1cos, 0cos 沿沿y軸負(fù)向時軸負(fù)向時:yflf , 1cos, 0cos 沿沿y軸正向時軸正向時: 如果函數(shù)如果函數(shù)z f(x, y)在點在點P0(x0 y0)可微分可微分, 那么函那么函數(shù)在該點沿任一方向數(shù)在該點沿任一方向l (el (cos cos )的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)都存在都存在, 且有且有:v定理定理(方向?qū)?shù)的計算方向?qū)?shù)的計算) cos),(cos),(0000),(00yxfyxflfyxyx ),(),(yxfyyxxf 量可表示為量可表示為由于函數(shù)可微，則全增由于函數(shù)可微，則全增，得到，得到兩邊同除以兩邊同除以 證明證明),( oyyf

5、xxf cos cos )(oyyfxxf ),(),(yxfyyxxf ),(),(lim0yxfyyxxf .coscos yfxf lf所以所以oyx lPy 0P,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 的方向?qū)?shù)，可定義為的方向?qū)?shù)，可定義為沿著方向沿著方向，它在空間一點，它在空間一點對于三元函數(shù)對于三元函數(shù) ),( ),( lzyxPzyxfu ). )()()(222zyx 其中其中推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義推廣可得三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義.coscoscos zfyfxflf ,cos x,cos y,cos z有有的方向?qū)?shù)都存在，且的方向?qū)?shù)都存在，且任意方向任

6、意方向那么函數(shù)在該點沿那么函數(shù)在該點沿當(dāng)函數(shù)在此點可微時，當(dāng)函數(shù)在此點可微時， l , 方向的方向角為方向的方向角為設(shè)設(shè) l解解, 1e)0, 1(2)0, 1( yxz, 2e2)0, 1(2)0, 1( yxyz212211 lz.22 , 1, 1 PQl 即即為為這這里里方方向向;21cos ,21cos 解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 ,1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF zyxF

7、FFn, ,2, 6, 4 ,142264222 n,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 1 等值面和等值線等值面和等值線 使函數(shù)使函數(shù)f (x,y,z)值等于常數(shù)值等于常數(shù)c 的點的全體組成的曲面的點的全體組成的曲面, 稱為函數(shù)稱為函數(shù)u= f(x,y,z) 的的等值面等值面, 它的方程是它的方程是 f(x,y,z)=c . 當(dāng)當(dāng) c 取不同數(shù)值時就得到一系列等值面取不同數(shù)值時就得到一系列等值面, 稱為稱為等值等值面族面

8、族，如，如 氣象學(xué)中的等溫面、等壓面氣象學(xué)中的等溫面、等壓面 等值面等值面 f(x,y,z)=c 上任一點上任一點 P(x,y,z)處的法向量為處的法向量為 .,zyxfffzfyfxf或或 三、梯度的概念三、梯度的概念圖圖形形及及其其等等高高線線圖圖形形函函數(shù)數(shù)xyzsin 使函數(shù)使函數(shù) u=f(x,y) 等于等于c 的全體點組成的曲線稱的全體點組成的曲線稱為此函數(shù)的為此函數(shù)的等值線等值線, 它的方程是它的方程是 f(x,y)=c, c 取不同數(shù)值時得到的一取不同數(shù)值時得到的一系列等值線稱為系列等值線稱為等值線族等值線族.方向?qū)?shù)公式方向?qū)?shù)公式 coscoscoszfyfxflf 令向量令

9、向量這說明這說明方向方向：f 變化率最大的方向變化率最大的方向模模 : f 的最大變化率之值的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值方向?qū)?shù)取最大值：,fffGxyz0(cos, cos, cos )l),cos(0lGG0lGlf,0方向一致時與當(dāng)GlGlfmax:G2,方向?qū)?shù)方向?qū)?shù):1.定義grad, f即即grad f同樣可定義二元函數(shù)同樣可定義二元函數(shù)),(yxf),(yxPgrad,fffffijxyxy稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (P) 在點在點 P 處的梯度處的梯度zfyfxf,fffijkxyz記作記作在點在點處的梯度處的梯度 G說明說明: 函數(shù)的函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影方向

10、導(dǎo)數(shù)為梯度在該方向上的投影.向量向量梯度方向的方向?qū)?shù)最大梯度方向的方向?qū)?shù)最大. ),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面;曲面被平面曲面被平面 所截得所截得cz ,),( czyxfz所得曲線在所得曲線在xOy面上投影如圖面上投影如圖Poyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf),(等高線等高線),(gradyxf梯度為等高線上的法向量梯度為等高線上的法向量, ,方方向指向函數(shù)的增加方向向指向函數(shù)的增加方向梯度的幾何意義梯度的幾何意義: :解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxu ),(grad,6)24()32(kzjyix 故故;1225)

11、2 , 1 , 1(gradkjiu 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù) 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP沿方向 l (方向角),為的方向?qū)?shù)為coscoscoszfyfxflf 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP),的方向?qū)?shù)為coscosyfxflf沿方向 l (方向角為yfxfcossin2. 梯度梯度 三元函數(shù) ),(zyxf在點),(zyxP處的梯度為zfyfxfff,gradgrad 二元函數(shù) ),(yxf在點),(yxP處的梯度為),(, ),(yxfyxfffyxgradgrad3. 關(guān)系關(guān)系方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微leflfgradgrad梯度在方向 l 上的投影. 方向: f 變化率最大的方向模: f 的最大變化率之值 梯度的特點備用題備用題 1. 函數(shù))ln(222zyxu在點)2,2, 1 (M處的梯度Mugradgrad)2, 2 , 1 (,zuyuxuuMgradgrad解解:,222zyxr令則xu21rx2注意 x , y , z 具有輪換對稱性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(1992 考研)指