線性代數(shù)第二章習(xí)題部分答案(

1、文檔可能無法思考全面，請瀏覽后下載! 第二章 向量組的線性相關(guān)性 2-1 2-2 維向量，線性相關(guān)與線性無關(guān)（一） 一、 填空題 1. 設(shè)3 1 +2 2+ =5 3+ , 其中1=(2,5,1,3)T, 2=(10,1,5,10)T, 3=(4,1,1,1)T, 則= (1,2,3,4)T . 2. 設(shè)1=(1,1,1)T, 2=(2,1,1)T,3=(0,2,4)T, 則線性組合132+3= (5,0,2)T . 3. 設(shè)矩陣A= 137240115 ，設(shè)i為矩陣A的第i個列向量， 則21+23= (2,8,2)T . 二、 試確定下列向量組的線性相關(guān)性 14 / 141. 1=(2,1,

2、0)T, 2=(1,2,1)T, 3=(1,1,1)T 解：設(shè)k11+k22+k33=0, 則k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000 即 2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=03k2k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，線性無關(guān)。 2. 1=(1,1,2)T, 2=(0,0,0)T, 3=(1,4,3)T 線性相關(guān) 三、設(shè)有向量組1=(1,1,0)T, 2=(1,3,1)T, 3=(5,3,t)T，問t取何值時該向量組線性相關(guān)。 解：設(shè)k11+k22+k33=0, 則k1 110

3、 +k2 131 +k3 53t =0 即 k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k24k3=0k2+tk3=0 k1+k2+5k3=0k1+3k23k3=0(t4)k3=0 所以，t=4, 線性相關(guān); t4, 線性無關(guān) 四、設(shè) a1,a2線性無關(guān)，a1+b,a2+b線性相關(guān)，求向量b用a1,a2線性表示的表示式。 解：因?yàn)閍1+b,a2+b線性相關(guān)，所以存在不全為零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=k1a1k2a2.又因?yàn)閍1,a2線性無關(guān)，所以k1+k20，于是，b=k1k1+k2a1k2k1+k2

4、a2. 五、已知向量組1,2,2n，令1=1+2,2=2+3,2n=2n+1，求證向量組1,2,2n線性相關(guān)。 解：因?yàn)?2+34+2n12n=0， 所以，向量組1,2,2n線性相關(guān)。 2-2線性相關(guān)與線性無關(guān)（二） 一、 設(shè)a1,a2線性相關(guān)，b1,b2線性相關(guān)，問a1+b1,a2+b2是否一定線性相關(guān)？并舉例說明之。 解：取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 00 ,b2= 01 . a1+b1,a2+b2線性相關(guān)。 取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 01 ,b2= 00 . a1+b1,a2+b2線性無關(guān)。 二、舉例說明下列各命題是錯誤的： 1若向量組a1,a2,am是線

5、性相關(guān)的，則a1可由a2,am線性表示。 解：取a1= 10 ,a2= 00 . 2若有不全為0的數(shù)1，2，m,使 1a1+2a2+mam+1b1+2b2+mbm=0 成立，則a1,a2,am是線性相關(guān)，b1,b2,bm是線性相關(guān). 解：取a1= 01 ,a2= 10 , b1= 10 ,b2= 01 . 3 若只有當(dāng)1，2，m全為0時，等式 1a1+2a2+mam+1b1+2b2+mbm=0 才能成立，則a1,a2,am是線性無關(guān)，b1,b2,bm是線性無關(guān)。 解：取a1= 00 ,a2= 10 , b1= 01 ,b2= 00 . 4若a1,a2,am是線性相關(guān)，b1,b2,bm是線性相關(guān)

6、，則有不全為0的數(shù)1，2，m，使 1a1+2a2+mam=0，1b1+2b2+mbm=0 同時成立。 解：取a1= 20 ,a2= 10 , b1= 10 ,b2= 10 . 三、 設(shè)向量組a1,a2,am線性相關(guān)，且a10,證明存在某個向量ak(2km)，使ak能由a1,ak1線性表示。 證明：因?yàn)橄蛄拷Ma1,a2,am線性相關(guān)，所以存在不全為零的1，2，,m使得1a1+2a2+mam=0。設(shè)1，2，,m中最后一個不為零的數(shù)是k，即k0，k+1=0,m=0，又因?yàn)閍10，所以，k1。即有k0(2km)，使得1a1+2a2+kak=0，于是，ak=1ka1+2ka2+k1kak1，命題得證。

7、四、 已知R a1,a2,a3 =2,R a2,a3,a4 =3, 證明：（1）a1能由a2,a3線性表示。（2）a4不能由a1,a2,a3線性表示。 證明：（1）因?yàn)镽 a2,a3,a4 =3，所以a2,a3,a4線性無關(guān)，由定理1知a2,a3也線性無關(guān)；又因?yàn)镽 a1,a2,a3 =2，所以，a1,a2,a3線性相關(guān)，由定理3得a1能由a2,a3線性表示。 （2）反證法。假設(shè)a4能由a1,a2,a3線性表示。再利用（1）的結(jié)果，可推出a4能由a2,a3線性表示，由定理2得a2,a3,a4線性相關(guān)，與R a2,a3,a4 =3矛盾。所以，a4不能由a1,a2,a3線性表示。 五、 設(shè)b1=a

8、1,b2=a1+a2,br=a1+a2+ar，且向量a1,a2,ar線性無關(guān)，證明向量組b1，b2，br線性無關(guān)。 證明：設(shè)k1b1+k2b2+krbr=0 ，則 k1a1+k2 a1+a2 +kr(a1+a2+ar)=0 (k1+k2+kr)a1+(k2+kr)a2+krar=0 而向量a1,a2,ar線性無關(guān)，所以， k1+k2+kr=0k2+kr=0kr=0 k1=0k2=0kr=0 所以，向量組b1，b2，br線性無關(guān)。 2-3 極大無關(guān)組（一） 一、 證明n階單位矩陣的秩為n. 證明：n階單位矩陣的列向量組為ei=(0,0,1,0,0)T,i=1,n, 設(shè)k1e1+k2e2+knen

9、=0, 則 k1 100 +k2 010 +kn 001 = 000 k1k2kn = 000 k1=0k2=0kr=0 所以，e1,e2,en線性無關(guān)，秩為n，則n階單位矩陣的秩為n. 二、 設(shè)矩陣A= a11a120a22a1na2n00ann (其中a11a22ann0)則R A =n. 證明：設(shè)矩陣A的列向量組為 a1= a1100 ,a2= a12a220 ,an= a1na2nann 設(shè)k1a1+k2a2+knan=0, 則 k1 a1100 +k2 a12a220 +kn a1na2nann = 000 k1a11+k2a12+kna1nk2a22+kna2nknann = 00

10、0 k1=0k2=0kn=0 所以，a1,a2,an線性無關(guān)，秩為n，則R A =n. 三、 求下列向量組的秩 1. 1=(1,1,0)T, 2=(2,1,1)T, 3=(1,3,1)T R=3 2. 1=(1,2,1,3)T, 2=(4,1,5,6)T, 3=(1,3,4,7)T 解：A=(1,2,3)= 1 4 1213154367 r22r1r3r1r43r1 1 4 10 9 50 9 501810 r3r2r42r2 1 4 109 50 0 00 0 0 所以，R (1,2,3)=2, 1,2為極大無關(guān)組。 四、 設(shè)a1,a2,an是一組n維向量，已知n維單位坐標(biāo)向量e1,e2,e

11、n能由它們線性表示，證明a1,a2,an線性無關(guān)。 證明：因?yàn)閚維單位坐標(biāo)向量e1,e2,en能由a1,a2,an線性表示，所以，R(e1,e2,en)R(a1,a2,an)，而R e1,e2,en =n，R(a1,a2,an)n，所以，R a1,a2,an =n，于是，a1,a2,an線性無關(guān)。 五、 設(shè)a1,a2,an是一組n維向量，證明它們線性無關(guān)的充分必要條件是：任一n維向量都可由它們線性表示。 證明：充分性：如果任一n維向量都可由a1,a2,an線性表示，則n維單位坐標(biāo)向量e1,e2,en能由a1,a2,an線性表示，利用上一題的結(jié)果，a1,a2,an線性無關(guān)。 必要性：如果a1,a

12、2,an線性無關(guān)，對于任一n維向量a. 如果a=ai(i=1,2,n),則a=0a1+0ai1+1ai+0ai+1+0an，所以，向量a能由a1,a2,an線性表示。 如果aai(i=1,2,n)，則a,a1,a2,an這n+1個n維向量線性相關(guān)，而a1,a2,an線性無關(guān)，由定理3得向量a能由a1,a2,an線性表示。 （另證：如果a1,a2,an線性無關(guān)，而n的維數(shù)是n，所以a1,a2,an為n的一組基，所以n中的一n維向量都可由它們線性表示。） 2-3 極大無關(guān)組（二） 一、 設(shè)A,B為同階矩陣，求證R A+B R(A,B)R A +R(B)。 證明：設(shè)A的列向量組為a1，a2，an，極

13、大無關(guān)組為a1，a2，as；B的列向量組為b1，b2，bn，極大無關(guān)組為b1，b2，br. 則A+B的列向量組為a1+b1，a2+b2，an+bn能由(A,B)的列向量組a1，a2，an，b1，b2，bn線性表示，所以，R A+B R(A,B). 又(A,B)的列向量組a1，a2，an，b1，b2，bn能由a1，a2，as，b1，b2，br，所以， R A,B R(a1，as，b1，br)s+r=R A +R(B). 二、設(shè)向量組B:b1，b2，br能由向量組A:a1，a2，as線性表示 (b1，b2，br)= a1，a2，as K 其中K為sr矩陣，且A線性無關(guān)。證明B線性無關(guān)的充分必要條件

14、是矩陣K的秩為R K =r. 證明： 必要性. 已知B:b1，b2，br線性無關(guān). 則R B =r, 設(shè)矩陣B=(b1，b2，br), 矩陣A= a1，a2，as ，則B=AK，所以，r=R B R(Ksr)r，得R K =r. 充分性. 已知R K =r，則K的列向量組k1，k2，kr線性無關(guān)。 設(shè) 1b1+2b2+rbr=0 (b1，b2，br) 12r =0 a1，a2，as K 12r =0 A:a1，a2，as線性無關(guān) K 12r =0 k1，k2，kr 12r =0 k1，k2，kr線性無關(guān) 1=2=r=0 B:b1，b2，br線性無關(guān)。 三、設(shè) 1= a2+a3+an2= a1

15、+a3+ann= a1+ a2+an1 證明：向量組a1,a2,an與向量組1,2,n等價。 證明：因?yàn)?1= 0a1+a2+a3+an2= a1+0a2+a3+ann= a1+ a2+an1+0an 所以，向量組1,2,n可以由向量組a1,a2,an線性表示。 把 1= a2+a3+an2= a1 +a3+ann= a1+ a2+an1 各式相加后得 1+2+n= n1 a1+ a2+an 1n1(1+2+n)= a1+ a2+an 可得 a1= 1n1(1+2+n)1a2= 1n1(1+2+n)2an= 1n1(1+2+n)n 所以，向量組a1,a2,an可以由向量組1,2,n線性表示。

16、由上，向量組a1,a2,an與向量組1,2,n等價。 四、已知3階矩陣A與3維列向量x滿足A3x=3AxA2x，且向量組x,Ax,A2x線性無關(guān)，記P=(x,Ax,A2x)，求3階矩陣B使AP=PB. 解：設(shè)B= b11b12 b13b21b22 b23b31b32b33 ， AP=PBA x,Ax,A2x =(x,Ax,A2x) B Ax,A2x,3AxA2x =(x,Ax,A2x) b11b12 b13b21b22 b23b31b32b33 Ax=b11x+b21Ax+b31A2xA2x=b12x+b22Ax+b32A2x3AxA2x=b13x+b23Ax+b33A2x b11x+ b21

17、1 Ax+b31A2x=0b12x+b22Ax+(b321)A2x=0b13x+ b233 Ax+(b33+1)A2x=0 由向量組x,Ax,A2x線性無關(guān)得B= 00 010 3011 . 2-4，2-5 向量空間，內(nèi)積與標(biāo)準(zhǔn)正交基 一、設(shè)V1=x= x1,x2,xn T|x1+x2+xn=0, V2=x= x1,x2,xn T|x1+x2+xn=1, V3=x= x1,x2,xn T|x1=2x2,x3=4x4, 問V1,V2,V3是不是向量空間，為什么？ 答： V1是，V2不是，V3是 二、 驗(yàn)證：1=(0,1,1)T, 2=(1,0,1)T, 3=(1,1,0)T為3的一個基, 并把

18、=(2,5,8)T用這個基線性表示. 解：(1,2,3,)= 011011121508 r1r2r3r1r43r1 100101151213 r3r2r3(12)r43r1 100100151211/2 r2r3r1r3 100100011/205/211/2 所以，=1121+522123. 三、 證明n中不存在n+1個線性無關(guān)的向量，從而n中不存在n+1個兩兩正交的非零向量。 證明：因?yàn)閚的維數(shù)是n，所以n中不存在n+1個線性無關(guān)的向量。 又因?yàn)閮蓛烧坏姆橇阆蛄勘厥蔷€性無關(guān)的，所以，n中不存在n+1個兩兩正交的非零向量。 四、用施密特法把下列向量組規(guī)范正交化 1,2,3 = 111124139 解：1=1= 111 ; 2=2(1,2)(1,1)1= 123 63 111 = 101 ; 3=3 1,3 1,1 1 2,3 2,2 2; = 149 143 111 82 101 =13 121 所以，e1=(1 3,1 3,1 3)T,