全等三角形性質(zhì)和判定

1、全等三角形的性質(zhì)和判定要點(diǎn)一、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形.要點(diǎn)二、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角1.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊， 重合的角叫對(duì)應(yīng)角.要點(diǎn)詮釋：在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上， 這樣容易 找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.如下圖，ABCtzDEF全等，記作AABCi DEF其中點(diǎn) A和點(diǎn)D,點(diǎn)B和點(diǎn)E,點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE, BC和EF, AC和DF 是對(duì)應(yīng)邊；/ A和/D, /8和/匚/C和/F是對(duì)應(yīng)角.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等; 全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等要點(diǎn)四、全等三角形

2、的判定（SSS SAS ASA AAS HL）全等三角形判定一（SSS SAS全等三角形判定1 “邊邊邊”三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或" SS6）.要點(diǎn)詮釋： 如圖，如果 A'B'=AB, A'C'=AC, B'C' = BC,則 AB84 A' B'C'.要點(diǎn)二、全等三角形判定2 “邊角邊”1 .全等三角形判定2 “邊角邊”兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或 “SA6）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果 AB = A'B', /A= /A',

3、AC = A'C',則 ABC A'B'C'.注意：這里的角，指的是兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.2 .有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等 .如圖，ZXABC與4ABD 中，AB= AB, AC= AD / B= / B,但 ABC與 ABD 不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形不一定全等.19 / 17【典型例題】類型一、全等三角形的判定1 “邊邊邊” 1、已知：如圖， RPCfr, RF RQ M為PQ的中點(diǎn). 求證：RMff分/ PRQ證明：: M為PQ的中點(diǎn)（已知），. P隹 QM在 ARPMIf口 RQW

4、,產(chǎn)RP = RQ（已知），PM =QM,RM = RM （公共邊）RP陣RQM（ SSS ./ PR陣/ QRM（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）.即 RMFF分/ PRQ.舉一反三：【變式】已知：如圖， A又BC AO BD.試證明：/ CA&/ DBC.類型二、D全等三角形的判定2 “邊角邊”已知：如圖，AB= AR AOAE /1 = /2.證明： .一/1 = /2求證：BO DE.Z 1 + Z CA& Z2+Z CAD 即 / BAG= / DAE 在ABCffi AADE 中AB = ADI BAC = DAEAC =AE .ABC AADE （SAS BO DE （全等

5、三角形對(duì)應(yīng)邊相等）3、如圖，將兩個(gè)一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B D三點(diǎn)共線，AB= CB EB= DB /ABC= / EB氏90° ）,連接 AE CD 試確定 AE與 CD 的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.C證明：延長(zhǎng)AE交CDT F,: ABCffi DBE是等腰直角三角形.AB= BC BD= BE在ABEffi zCBD 中AB = BCI.ABE = . CBD =90BE = BD. .AB草"BD （SAS .AE= CD / 1 = / 2又/ 1 + /3 = 90° , / 3=/4（對(duì)頂角相等）. /2+/4 = 90°

6、; ,即/AFC= 900.AE! CD【變式】已知：如圖，PCLAC PBJ.AB, AP平分/ BAC且AB= AC點(diǎn)Q在PA求證：QC= QB類型三、04不用度量，就知道/D全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用DE= DF, Ek FH,“三月三，放風(fēng)箏”.下圖是小明制作的風(fēng)箏，他根據(jù)DE用/DFH請(qǐng)你用所學(xué)的知識(shí)證明.【答案與解析】證明：在 DEHffi DFH中,fDE = DF IEH = FHDH =DH. .DE庠DFH(SSS) ./ DEH= /DFH一、選擇題1. ABO A'B'C'中，若 AB= A'B', BO B'C',

7、 AC= A'C'.則()A. AAB(C A'C'B'B.AAB(C1 A'B'C'C. AAB(CC'A'B'D.AAB(CC'B'A'2 .如圖，已知AB= CD AD= BC則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.AB / DC B. /B= /D C./A= /C D.AB = BC3 .下列判斷正確的是（）A.兩個(gè)等邊三角形全等B.三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等C.腰長(zhǎng)對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等D.直角三角形與銳角三角形不全等6 .如圖，已知AB± BD于B, EDL B

8、D于D, AB= CD BO ED 以下結(jié)論不正確的是（）A.EC ±AC B.EC =AC C.ED +AB = DB D.DC =CB二、填空題9 .如圖，在 ABCffi4EFD中，AD= FC, AB= FE,當(dāng)添加條件時(shí)，就可得 4AB登EFD（SSSAE10 .如圖，AO AD C及 DB /2=30° , / 3=26° ,則 / CBE=A12 .已知，如圖，AB= CD AC= BD 則AAB登, AAD(C三、解答題13 .已知：如圖，四邊形 ABCDK 對(duì)角線 AC BD相交于O, / ADC= /BCD AD =BC求證：C氏DO14 .已

9、知：如圖，AB/ CD AB= CD 求證：AD/ BC分析：要證AD/ BC只要證/ : 又需證*.證明：v AB / CD (),在4和中，=(),=(), =(),A A ()/= / ( ).15 .如圖，已知 AB= DC AO DB, BCE求證：AE= DE.全等三角形判定3 “角邊角”兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或 "ASA）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果/ A= / A' , AB= A'B' , / B= / B',則 AB84 A'B'C'.要點(diǎn)二、全等三角形判定4 “角角邊”1

10、.全等三角形判定4 “角角邊”兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或" AAS）2 .三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等.如圖，在ABCft ADE中，如果 DE/ BC 那么/ ADE= / B, / AE氏 / C, 又/A= /A,但ABCS ADE不全等.這說明，三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不 一定全等.BC要點(diǎn)三、判定方法的選擇1 .選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表:已知條件可選擇的判定方法一邊一角對(duì)應(yīng)相等SAS AAS ASA兩角對(duì)應(yīng)相等ASA AAS兩邊對(duì)應(yīng)相等SAS SSS類型一、全等三角形的判定3 “角邊角”AD=

11、 CB, /D= /B.C1、已知：如圖，E, F在AC上，AD/ CB目證明：v AD/ CBZ A= / C在 AAD* 4CBE 中.A ="IAD =CBD =/B. .AD/ACBE (ASA .AF =CE , AF+ EF= C曰 EF故得：ACF舉一反三：【變式】如圖，AB/ CD AF/ DE, BE= CF.求證AB= CD.類型二、全等三角形的判定4 “角角邊”B, DE= CB2、已知：如圖，AB±AE ADLAC / E=求證：AD= AC證明：v AB，AE, ACL AC, /CA氏 /BA巳 900丁 / CA濟(jì) / DA氏 / BA曰 /

12、DAB,即 / BA(C= E EAD 在 BACK EAD中BAC = EAD I 2B =/ECB=DE. .BA登 EAD (AA5AC =AD舉一反三：【變式】如圖，AD是4ABC的中線，過C、B分別作AD及AD的延長(zhǎng)線的垂線CR BE.求證：BE= CF.【答案】證明：:AD為4ABC的中線 .BA CD. BE1 AR CF±AR BE氏 / CF氏 90° ,在BEDffi ACFD 中BED = CFDBDE =，CDF (對(duì)頂角相等)BD =CD .BED ACFD (AAS BE= CFC3、已知：如圖，AC與BD交于O點(diǎn)，AB/ DC AB= DC(1

13、)求證：AC與BD互相平分；(2)若過O點(diǎn)作直線l ,分別交AB DC于E、F兩點(diǎn)，求證：O巳OF.:證明：v AB/ DC / A = / C在ABOW acdo 2a =2c NAOB= / COD （對(duì)頂角相等）AB=CD .ABW ACDO （AAS AO=CO , BO=DO在AEOffi ACFOtj/A = /CAO=CO/AOE = /COF （對(duì)頂角相等） .AEO ACFO （ASA .O9 OF.一、選擇題1 .能確定 AB登DEF勺條件是 （）A. AB= DE BO EF, / A= /EB. AB= DE BO EF, /O /EC. /A= / E, AB= EF

14、, / B= /DD. /A= / D, AB= DE / B= /EABC2 .如圖，已知 ABC的六個(gè)元素，則下面甲、乙、丙三個(gè)三角形中，和4C.只有乙A,甲和乙B.乙和丙D.只有丙3 .ADbABC勺角平分線，作DHAB于E,DF，AC于F,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A. DE= DFB. AE= AFC. BD= CDD. / AD氏 / ADF4. 如圖，已知 M氏ND /MBAf / NDC下列條件不能判定 AB陣 CDN勺是 ( )A. / Mh /NB. AB= CDC. AMh CND. AM/ CN6 .如圖，/ 1 = /2, /3=/4,下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（A . AAD(C

15、ABCDC. AAB(ACDOB. AABABACD. AAOD3ABOC二、填空題7 . 如圖，/1 = /2 , 要使AABEW AACE, 還需添加一個(gè)條件是.（填上你認(rèn)為適當(dāng)?shù)囊粋€(gè)條件即可）.8 .在ABCSA'B'C'中，/A= 44° , / B= 67° ,/C' = 69° ,/B'=44° , 且AO B'C',則這兩個(gè)三角形 全等.(填“一定”或“不一定”)9 .已知，如圖，AB/ CD AF/ DE, AF= DE 且 BE= 2, BO 10,貝U EF=.11 .如圖，已知

16、：/1 =/2 , /3 =/4 ,要證 BD =CD,需先證AAEB 白AEC ,根據(jù)是 ,再證 ABDE叁匕,根據(jù) 是.12 .已知：如圖，/ B= /DEF AB= DE 要說明 ABC DEF(1)若以“ASA為依據(jù)，還缺條件 (2)若以“AAS為依據(jù)，還缺條件 (3)若以“SA6為依據(jù)，還缺條件 三、解答題13 .閱讀下題及一位同學(xué)的解答過程：如圖，AB和CM交于點(diǎn)O,且OA= OB/A= /C.那么AODWCOE&等嗎？若全等，試寫出證明過程；若不全等， 請(qǐng)說明理由.答：zAO陛ACOB證明：在AODffi COBKA= C(已知)，/OA =OB(已知)，/AOD =2C

17、OB (對(duì)頂角相等)，耳D AAOD ACOB (ASA，問：這位同學(xué)的回答及證明過程正確嗎？為什么？14 .已知如圖，E、F在BD上，且AB= CD BF= DE AE= CF,求證：AC與BD互 相平分.且AE15 .已知：如圖,AB/ CD, OA = OD, BC過。點(diǎn)，點(diǎn)E、F在直線AODh, =DF.求證：EB/ CF.要點(diǎn)一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的條件可知，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等， 或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形就全等了 .這里用到的是“AAS, "ASA 或“SA6判定定理.要點(diǎn)二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜邊，直

18、角邊定理在兩個(gè)直角三角形中，有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等 （可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）.這個(gè)判定方法是直角三角形所獨(dú)有的， 一般三角形不具備.【典型例題】類型一、直角三角形全等的判定一一“ HL' 1、已知：如圖，AB± BD, CDL BD, AD= BC求證：（1） AB= CD AD/ BC.證明：（1） AB，BD CDLBD /AB樂 / CD氏 90°在 RtAABD 和 RtACDBfr,AD= BCBD = DB,RtAABtD RtzCDB(HD. AB= CD (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)(2)由 / AD氏 ZCBDA

19、D/ BC .舉一反三：【變式】已知：如圖， A已AB, BCLAB, AAB, ED= AC 求證：EDL ACECz、判斷滿足下列條件的兩個(gè)直角三角形是否全等，不全等的畫“X”，全等的注明理由：(1) 一個(gè)銳角和這個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等；()(2) 一個(gè)銳角和斜邊對(duì)應(yīng)相等；()(3) 兩直角邊對(duì)應(yīng)相等；()(4) 一條直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)相等.()舉一反三：【變式】下列說法中，正確的畫；錯(cuò)誤的畫“x”，并舉出反例畫出圖形.(1) 一條直角邊和斜邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.()(2)有兩邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.()(3)有兩邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.()

20、3、已知：如圖，AO BD ADL AC BC±BD 求證：AD= BC證明：連接DC,. ADL AC BC1 BD ./DAC= / CB氏 90°在 RtAADCCf RtzXBCD中，DC -CDAC= BD,RtAADC RtABCD （HD. AD= BC .（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等） 舉一反三：【變式】已知，如圖，AC. BD相交于O, AO BD /C= / D= 90 求證：。諼OD.C4、如圖，將等腰直角三角形 ABC勺直角頂點(diǎn)置于直線l上，且過A, B兩點(diǎn) 分別作直線l的垂線，垂足分別為 D, E,請(qǐng)你在圖中找出一對(duì)全等三角 形，并寫出證明它們?nèi)鹊倪^程.一、選擇題1 .下列說法正確的是 （）