實數(shù)教材分析

1、?第六章實數(shù)?教材分析、教材的地位和作用從?數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)?看,關(guān)于數(shù)的內(nèi)容,初中學(xué)段主要學(xué)習(xí)有理數(shù)和實數(shù),它們是數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要內(nèi)容.對于有理數(shù)和實數(shù),初中學(xué)段共有安排三個章節(jié)的內(nèi)容,分別是七年級上冊第一章?有理數(shù)?,八年級上冊第十三章?實數(shù)?和九年級上冊第二十一章?二次根 式?.本章可以看成其后的代數(shù)內(nèi)容的起始章,本章是在有理數(shù)的根底上熟悉實數(shù),對于實 數(shù)的學(xué)習(xí),除本章外,還要在 二次根式一章中通過研究二次根式的運算,進(jìn)一步熟悉實數(shù) 的運算.本章的主要內(nèi)容是平方根、立方根的概念和求法,實數(shù)的有關(guān)概念和運算.通過本章的 學(xué)習(xí),學(xué)生對數(shù)的熟悉就由有理數(shù)范圍擴(kuò)大到實數(shù)范圍,本章之前的數(shù)學(xué)內(nèi)容都是

2、在有理數(shù) 范圍內(nèi)討論的,學(xué)習(xí)本章之后,將在實數(shù)范圍內(nèi)研究問題.雖然本章的內(nèi)容不多, 篇幅不大,但在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位,它不僅是后面學(xué)習(xí)二次根式、一元二次方程以及解三角形 等知識的根底,也為學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大局部知識作好準(zhǔn)備.二、教學(xué)內(nèi)容分析一本章知識結(jié)構(gòu)框圖1 .本章知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)如下列圖所示：2 .本章知識的展開順序如下列圖所示：二教科書內(nèi)容分析本章主要內(nèi)容包括算術(shù)平方根、平方根、立方根以及實數(shù)的有關(guān)概念和運算.教科書的第一節(jié)是平方根,本節(jié)先研究算術(shù)平方根,再研究平方根.教科書首先創(chuàng)設(shè)一 個問題情景,抽象出這個情景中的數(shù)學(xué)問題,即正方形的面積求邊長的問題,這是

3、一個 典型的求算術(shù)平方根的問題,這與學(xué)生以前熟悉的邊長求面積是一個互逆的過程.通過 對這類問題的探討,引出算術(shù)平方根,給出算術(shù)平方根的概念和它的符號表示,這時教科書 所涉及到的被開方數(shù)都是完全平方數(shù).接著,教科書設(shè)置一個探究欄目,要求學(xué)生將兩個面積為1的小正方形拼成一個面積為2的大正方形,并求出這個大正方形的邊長.這也是一個正方形的面積求它的邊長的問題,由于這個大正方形的面積為2,根據(jù)前面學(xué)過的算術(shù)平方根的概念和表示方法,可以求出這個大正方形的邊長是這樣教科書就引進(jìn)了用根號形式表示的無理數(shù)但暫時不出現(xiàn)無理數(shù)的概念 ,這是教科書第一次出現(xiàn)這樣的數(shù).另外,通過學(xué)生將兩個面積為 1的小正方形拼成一個

4、面積為 2的大正方形的活動,也使學(xué)生感受到 無理數(shù)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的,是一種不同于有理數(shù)的數(shù).出現(xiàn)以后,一個很自然的問題,就是要討論 的大小.教科書采用夾逼的方法,利用缺乏近似和過剩近似來估計的大小,通過一步一步的估計, 得到a的越來越精確的近似值, 進(jìn)而指出 是一個無限不循環(huán)小數(shù) 的事實,同時指出 等也是無限不循環(huán)小數(shù)等,這就為后面熟悉無理數(shù)打下根底.會使用計 算器求數(shù)的算術(shù)平方根是本章的一個教學(xué)要求,教科書通過一個例題,介紹了使用計算器求 算術(shù)平方根的方法.用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小,也是學(xué)習(xí)本章應(yīng)該注意的一個問題,教科 書結(jié)合一個實際例子介紹了用有理數(shù)估計無理數(shù)的常用方法.至此,教科

5、書討論了有關(guān)算術(shù) 平方根的內(nèi)容,包括算術(shù)平方根的概念、求法,無限不循環(huán)小數(shù)以及用有理數(shù)估計無理數(shù)等 內(nèi)容.接著,教科書設(shè)置一個思考欄目,對平方根展開討論.在這個 思考欄目中,要求學(xué)生算出平方等于 9的數(shù),通過對這個問題的探討,找到解決問題的方法,利用這種方法進(jìn) 一步求出平方等于1, 16, 36的數(shù),由此歸納給出平方根的概念,進(jìn)而引出開平方運算.開平方運算與平方運算是互逆運算,教科書通過舉例分析了這兩種運算的互逆過程,并用圖 示進(jìn)一步說明.最后,教科書結(jié)合具體例子,通過具體計算一些數(shù)的平方根,探討了數(shù)的平 方根的特征,并通過一個歸納欄目,要求學(xué)生自己歸納給出正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù),

6、0的平方根是0,負(fù)數(shù)沒有平方根等這些數(shù)的平方根的特征.教科書第二節(jié)是立方根.對于立方根,教科書采用了與討論平方根類似的方法進(jìn)行討論.首先設(shè)置一個問題情景,從這個問題情景中抽象出數(shù)學(xué)問題,就是立方體的體積求它邊 長的問題,這是一個典型的求數(shù)的立方根的問題.這樣教科書就從這個典型問題引出立方根 的概念和開立方運算.接著,教科書類比著平方運算與開平方運算的互逆關(guān)系,探討了立方 運算與開立方運算的互逆關(guān)系,并通過一個探究欄目,學(xué)習(xí)求數(shù)的立方根的方法.在這個探 究欄目中,要求學(xué)生分別計算一些正數(shù)、負(fù)數(shù)和0的立方根,通過這些計算,一方面讓學(xué)生學(xué)習(xí)利用立方運算與開立方運算的互逆關(guān)系求立方根的方法,另一方面也

7、為下面探討數(shù)的立方根的特征作準(zhǔn)備.緊接著這個 探究欄目,教科書設(shè)置了一個 歸納欄目,由學(xué)生歸納給 出正數(shù)的立方根是正數(shù),負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù),0的立方根是0等這些數(shù)的立方根的特征.最后,教科書介紹了立方根的符號表示,并利用這種符號表示探討了立方根的一條性質(zhì).學(xué)習(xí)了平方根、立方根以及開方運算后,教科書在第三節(jié)安排了實數(shù).本節(jié)首先設(shè)置一 個探究攔目,要求學(xué)生將一些有理數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)的形式,分析這些小數(shù)的共同特點,通過 分析發(fā)現(xiàn)有理數(shù)都可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式,然后指出反過來的結(jié)論也成 立,即任何有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù),這樣教科書就將有理數(shù)與有限小數(shù)和無限 循環(huán)小數(shù)統(tǒng)一起來.在此根

8、底上可以指出,像等只能化成無限不循環(huán)小數(shù)的數(shù)就是無理數(shù),從而引出無理數(shù)的概念.教科書采用這種與有理數(shù)對照的方法引出無理數(shù),有利于揭示有理 數(shù)和無理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別,也有助于學(xué)生理解宥理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù) 這個構(gòu)造性定義.接下去,教科書根據(jù)不同的標(biāo)準(zhǔn)對實數(shù)進(jìn)行分類,揭示實數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu).隨著無理數(shù)的引入, 實數(shù)概念的出現(xiàn),數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù),在這個擴(kuò)充過程中,既表達(dá)了概念、運算 等的一致性,又表達(dá)了它們的開展變化.教科書通過幾方面的例子說明了這種一致性和開展 變化.首先,教科書通過探究在數(shù)軸上畫出表示的點,說明了無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點來表示,并指出當(dāng)數(shù)由有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)后,直線上的點與實數(shù)就

9、是一一對應(yīng)的、平面上的 點與有序?qū)崝?shù)對也是一一對應(yīng)的；接著,教科書通過設(shè)置思考問題,讓學(xué)生體會,在有理數(shù) 范圍內(nèi)成立的一些概念如絕對值、相反數(shù)等在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立；最后,教科書結(jié)合 具體例子說明,有理數(shù)的運算如加、減、乘、除、乘方運算等,以及運算律、運算性質(zhì)如交換律、分配律、結(jié)合律等在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立,并且可以進(jìn)行新的運算如正數(shù) 和0可以進(jìn)行開平方運算、任何一個實數(shù)可以進(jìn)行開立方運算等.與原教科書相比,本章內(nèi)容在原教科書數(shù)的開方一章的根底上,適當(dāng)增加了有關(guān)實數(shù)運算的內(nèi)容實數(shù)的運算在本套書上次根式一章繼續(xù)學(xué)習(xí),說明了平面內(nèi)點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)以及在實數(shù)范圍內(nèi)的平移變換等；從內(nèi)容安排上看,改

10、變原教科書先講平方根, 將算術(shù)平方根作為平方根一種特例的做法,而是從實際出發(fā), 先講算術(shù)平方根,再將平方根,增強了與實際的聯(lián)系；在教學(xué)目標(biāo)方面,強調(diào)所有學(xué)生都應(yīng)會使用計算器進(jìn)行開方運算,加 強對估算的要求等.三、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重點、難點分析一、本章教學(xué)目標(biāo)1 .了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念,會用根號表示數(shù)的算術(shù)平方根、平方根、立方根；2 .了解開方與乘方互為逆運算,會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根,會用立方運算求某些數(shù)的立方根,會用計算器求平方根和立方根；3 .了解無理數(shù)和實數(shù)的概念,知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng),有序?qū)崝?shù)對與平面上的 點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴(kuò)大到實數(shù)后,一些

11、概念、運算等的一致性及其開展變 化；4 .能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.2、單元教學(xué)的重難點：教學(xué)重點：1、平方根和算術(shù)平方根的概念.平方根是開方運算根底,是引入無理數(shù)的準(zhǔn)備知識. 平方根概念的正確理解有助于符號表示的理解,是正確求平方根運算的前提,而且直接影響 到二次根式的學(xué)習(xí).算術(shù)根的教學(xué)不但是本章教學(xué)的重點,也是今后數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點.在 后面學(xué)習(xí)的根式運算中,歸根結(jié)底是算術(shù)根的運算,非算術(shù)根也要轉(zhuǎn)化為算術(shù)根.2、立方根的概念與性質(zhì)及求法.立方根是奇次方根典型類型,掌握立方根是理解的n次方根的根底.由于學(xué)習(xí)了平方根的概念的根底上學(xué)習(xí)立方根的概念,學(xué)生比擬容易接受, 但平方根和立方根的性

12、質(zhì)區(qū)別較大,性質(zhì)掌握的好壞決定了求解立方根的水平,因此教學(xué)重 點放在立方根具有唯一性實數(shù)范圍內(nèi)的討論上.3、無理數(shù)和實數(shù)的概念.引入無理數(shù)使數(shù)域擴(kuò)充到實數(shù)域,初中的所有數(shù)的運算均在 實數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的.無理數(shù)概念的理解決定實數(shù)概念的理解,有利于實數(shù)分類和運算的掌握.要讓學(xué)生掌握關(guān)于有理數(shù)的運算律和運算性質(zhì)再實數(shù)范圍內(nèi)仍成立,這是中學(xué)數(shù)學(xué)的根底.教學(xué)難點：1、平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別于聯(lián)系.首先這兩個概念容易混淆,而且各自的符號表 示意義學(xué)生不是很容易區(qū)分,教學(xué)中要抓住算術(shù)平方根式平方根中正的那個,講清各自符號 的意義,區(qū)分兩種表示的不同.對于平方根運算不僅數(shù)有限制,而且結(jié)果有兩個,這是與以 前學(xué)

13、過的數(shù)的運算很大的區(qū)別,要讓學(xué)生真正理解有一定的困難.2、立方根的唯一性及負(fù)數(shù)立方根的意義.由于平方根的學(xué)習(xí),學(xué)生容易錯誤的得出立 方根與平方根的結(jié)論相似,因此要比照講解兩者的區(qū)別：對于任何一個數(shù)都有唯一的立方根,而且學(xué)生難于理解負(fù)數(shù)立方根的意義,應(yīng)注意從立方與開立方互為逆運算的角度分析.3、無理數(shù)和實數(shù)的理解.無理數(shù)和實數(shù)比擬抽象,尤其是無理數(shù)不能像實數(shù)那樣具體 描述出某個數(shù)的特點,在學(xué)生思維中想象不出它的存在,借助實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng), 注意通過具體數(shù)加以解釋.實數(shù)抽象程度較高,學(xué)生對實數(shù)意義有所了解就可以.四、單元教學(xué)思路及策略：一增強與實際的聯(lián)系本章內(nèi)容與實際的聯(lián)系是非常密切的.例

14、如,無理數(shù)是從現(xiàn)實世界中抽象出來的一種數(shù),開平方運算和開立方運算也是實際中經(jīng)常用到的兩種運算,用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小在現(xiàn) 實生活中經(jīng)常遇到等等.因此,本章內(nèi)容在編寫時注意聯(lián)系實際,對于一些重要的概念和運算緊密結(jié)合實際生活展開,例如算術(shù)平方根是從正方形的面積求它邊長、立方根是從已 知立方體的體積求它邊長等典型的實際問題引出的,再如用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小也是緊 密結(jié)合實際進(jìn)行的.編寫時,將本章內(nèi)容與實際緊密聯(lián)系起來,可以使學(xué)生在解決實際問題 的過程中,熟悉實數(shù)的有關(guān)概念和運算.二增強知識間的縱向聯(lián)系本章內(nèi)容屬于 數(shù)與代數(shù)這個領(lǐng)域,有關(guān)數(shù)的內(nèi)容,學(xué)生在七年級上冊已經(jīng)系統(tǒng)地學(xué)過 有理數(shù),對有理數(shù)的

15、概念和運算等有了較深刻的熟悉,本章是在有理數(shù)的根底上學(xué)習(xí)實數(shù)的 初步知識,本章很多內(nèi)容是有理數(shù)相關(guān)內(nèi)容的延續(xù)和推廣,因此,本章編寫時,注意增強知 識間的相互聯(lián)系,使學(xué)生更好地體會數(shù)的擴(kuò)充過程中表現(xiàn)出來的概念、運算等的一致性和發(fā) 展變化.例如,對于絕對值和相反數(shù)的概念,實數(shù)的運算法那么和運算性質(zhì),平方與開平方、 立方與開立方的互為逆運算關(guān)系等都是在有理數(shù)的根底上展開的.另外,本章前兩節(jié)平方根立方根在內(nèi)容上根本是平行的,因此,編寫 立方根這節(jié)時,充分利用了類比的方法, 例如類比平方根的概念的引入方式給出立方根的概念,類比開平方運算給出開立方運算,類 比平方與開平方運算的互逆關(guān)系研究立方與開立方運算的互逆關(guān)系等.這樣的編寫方法,有 助于增強知識間的相互聯(lián)系,通過類比已學(xué)的知識學(xué)習(xí)新知識,使學(xué)生的學(xué)習(xí)形成正遷移.三留給學(xué)生探索交流的空間根據(jù)本章內(nèi)容的特點,對于一些重要的概念和結(jié)論,編寫時注意了讓學(xué)生通過觀察、思 考、討論等探究活動歸納得出結(jié)論的過程.例如,對于平方根概念的引入,教科書首先通過 一個問題情景,引出正方形的面積求邊長的問題,接著又讓學(xué)生通過填表的方式,計算 幾個不同面積的正方形的邊長,使學(xué)生感受到這些問題與以前學(xué)過的正方形的邊長求面 積的問題是一個相反的過程,并由此指出,這些問題抽象成數(shù)學(xué)問題就是一個正數(shù)的平 方