對(duì)兩個(gè)重要極限的重要性的認(rèn)識(shí)

1、對(duì)兩個(gè)重要極限的重要性的熟悉之老陽三干創(chuàng)作摘要：通過對(duì)兩個(gè)重要極限重要性的理解和熟悉,總結(jié)有關(guān)兩個(gè)重要極限的論文成果,指出兩個(gè)重要極限在微積分的計(jì)算過程中 起到了重要的橋梁紐帶作用,主張學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)不但局限于課本, 要培養(yǎng)提升探究問題的水平,系統(tǒng)全面的看待問題,深刻細(xì)致的體 會(huì)微積分思想的嚴(yán)謹(jǐn)性.關(guān)鍵詞：重要極限；重要性；證實(shí)；應(yīng)用1 .緒論兩個(gè)重要極限在微積分的計(jì)算和整個(gè)微積分思想中起著舉足輕重 的作用,目前,關(guān)于這方面的分析已經(jīng)很成熟,有關(guān)于它們的來 源,證實(shí),應(yīng)用和深入擴(kuò)展,本文系統(tǒng)的總結(jié)了局部具有代表性的 成果,從而可以直觀全面的熟悉和體會(huì)兩個(gè)重要極限的重要性,對(duì) 剛接觸極限理論,沒有

2、深入熟悉兩個(gè)重要極限的學(xué)生來說,具有指 導(dǎo)意義.?數(shù)學(xué)分析?課程在講述關(guān)于兩個(gè)重要極限和時(shí),著重強(qiáng)調(diào)了它在整個(gè)極限計(jì)算中有重要地位.它能將許多復(fù)雜的極限計(jì)算迅速簡化,應(yīng)用非常靈活.因此,這兩個(gè)重要的極限可以說是全部微積分學(xué)計(jì)算的根底,其重要性就不難理解了.試想,假設(shè)沒有它們,那么只要遇見微積分相關(guān)的計(jì)算題 ,必須用最根本的方法,有些還紛歧定求得出來,更不必說由它們推廣出的更復(fù)雜的應(yīng)用了.2 .兩個(gè)重要極限的證實(shí)兩個(gè)重要極限是極限理論的重要內(nèi)容,也是解決極限問題的一種有效方法,在學(xué)生的學(xué)習(xí)中,起著重要作用,了解它們的證實(shí)方lim snx1 lim (1 -)x ex 0 xxx法對(duì)充分理解和熟悉

3、它們是十分需要的,它的證實(shí)過程 也是對(duì)兩邊夾定理及單調(diào)有界數(shù)列必有極限這一準(zhǔn)那么的 恰當(dāng)應(yīng)用.sin x lim, 12. 1第一個(gè)重要極限：x 0 x證實(shí)：作單位圓,如圖 1:設(shè)X為圓心角aob ,并設(shè)0 x2見圖不難發(fā)現(xiàn)：S AOBS扇形 AOBS aod二1sin x - x 即：221tanx2 ,即 sin x x tan x,0 x(由于2 ,所以上不等式不改變方向xcosx,- 的值均不變,故對(duì)滿足當(dāng)x改變符號(hào)時(shí),s1nx及1sin x ,cosx 1x o一 ,cosx 1又由于(12 X.cosx) 1 2sin (-) 22x1 cosx 所以 2lim cosx 1 x

4、0lim cosx lim 1 1.sin xlim 1x 0 x ,證畢. 人 一,- lim 1 第二個(gè)重要極限：x1、x一e x先考慮x取正整數(shù)時(shí)的情形:lim (1 n1)n n對(duì)于b.,有不等式:bn 1b(n 1)bn即:1 (n 1)bn (ba)即:(n1)anb(n 1)anb-,b1(n1)1將其代入,所以(1(1 -)n(1所以1) n為單調(diào)數(shù)列,記作x(ii )又令12n(n 1)anb(n-)-221 (1所以(14 (1即對(duì)n,X2n4,又對(duì)(12n 1)2n 1(12n 2)2n 2(1所以1)n弗n,是有界的.由單調(diào)有界定理知存在,并使用來暗木,1 nlim (

5、1 -)n e 2.7182818284 59045即x n,在函數(shù)的學(xué)習(xí)中,我們熟悉的根本初等函數(shù)有以下五類:哥函數(shù)y指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)R),(a 0,a 1),y logaX( a 0,a 1),y=sin x, y=cos x , y=tan x, y=cot x,反三 角函數(shù) y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx.,就是計(jì)算極限(3.1 )但這僅僅是停留在導(dǎo)數(shù)3.1的話,顯然是非 事實(shí)上,在求函數(shù)由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么混合運(yùn)算與符合運(yùn)算所得到 的函數(shù),統(tǒng)稱為初等函數(shù),微積分中我們經(jīng)常需要計(jì)算初等函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),微分學(xué)的

6、根本概念一一導(dǎo)數(shù)是建立在極限概念根底上f1(x) 的.即求一個(gè)函數(shù)f ( xf)(4點(diǎn)xx f明導(dǎo)數(shù)當(dāng)這一極限存在時(shí),其值就昌x)定義上的,如果求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都要計(jì)算極限 常復(fù)雜和繁瑣的,勢(shì)必限制導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用的導(dǎo)數(shù)時(shí),其實(shí)不都需要計(jì)算極限3.1 ,而只需根據(jù)根本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法那么就可以很方便地求得任何一個(gè)初等函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).因此,兩個(gè)重要極限對(duì)于以上六類根本初等函數(shù)的求導(dǎo) 起到了至關(guān)重要的作用.關(guān)于根本初等函數(shù)的求導(dǎo),我們可以大致分為三類函數(shù)：第 一類是哥岬鱷多五類是三角函數(shù)和反三角函數(shù),第三類是指數(shù) 函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù).對(duì)于第一類函數(shù)的求導(dǎo),要利用二項(xiàng)式定理和 導(dǎo)數(shù)定義便求得.對(duì)于第二

7、類函數(shù)的求導(dǎo),需要利用到 這個(gè)重要極限.對(duì)于第三犧徵南求導(dǎo),需要利用到1 7lim (1 一) e lim (1 -)x e 這個(gè)極限. xxx x下面來看一看根本求導(dǎo)公式是如何得來的.1.1 重要極限在三角函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用以正弦函數(shù)sin x_一 x sin2 sint limJ lim 1m 小 1?0 t其中應(yīng)用了第一個(gè)重要極限X.0 x ,即 2求得(sin x) ' =c0sx后,其余的三角函數(shù)和反三角函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)公式就可以利用多個(gè)求導(dǎo)法那么得到了.1.2 重要極限在指數(shù)函數(shù)和募函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用其次,再看看對(duì)數(shù)函數(shù)10g ax的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程.由導(dǎo)數(shù)定義其中應(yīng)用了

8、第二個(gè)重要極限lim(1 X)xx 二1 ulim loga(1 一)x lim(1 )u ex0x L u (令 x/ x u ) o求得了(logax)以后,指數(shù)函數(shù)和募函數(shù)的求導(dǎo)公式就容易得 出了.可見,兩個(gè)重要極限在導(dǎo)出根本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式的過程中, 特別是涉及三角函數(shù)的過程中起到了關(guān)鍵性的作用,沒有這兩個(gè) 重要極限,兩類函數(shù)的求導(dǎo)公式就不成能得出.兩個(gè)重要極限在 初等函數(shù)求導(dǎo)過程中起到了重要的紐帶作用,由于推倒正弦函數(shù) 和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的過程中要用到這兩個(gè)極限,而所有的初 等函數(shù)都可以從這兩類函數(shù)以及它們的反函數(shù)出發(fā),經(jīng)過有限的 四那么運(yùn)算復(fù)合得到.因此,從這兩類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)出發(fā)

9、,利用函數(shù) 的四那么運(yùn)算、復(fù)合和反函數(shù)求導(dǎo)法那么,就能求得全部初等函數(shù)的 導(dǎo)數(shù).再由于積分是微分的逆運(yùn)算,可以得到根本積分表,依靠 他們能算出大量初等函數(shù)的積分.可以說,兩個(gè)重要極限可以說 是全部微分積分學(xué)的根底,在微積分的計(jì)算過程中起到了重要的 橋梁紐帶作用,所以這兩個(gè)重要極限極其重要.第一個(gè)重要極限實(shí)際上是兩個(gè)無窮小之比的極限.假設(shè)分子分母分別求極限便得 這一不定的結(jié)果,因此稱這一類型的極限為型未定式.類似地,第二個(gè)重要極限是屬于 1型未定式.綜上所述,可以得出這樣的結(jié)論,但凡含有三角函數(shù)的型未定式和1型未定式,我們都可無妨用兩個(gè)重要極限來試試,看能否求出它 的結(jié)果,以下舉例來說明如何應(yīng)用

10、這兩個(gè)重要極限于極限運(yùn)算中 的.1 cosx,lim 2例1求x 0 x .解:lim解：呵tanx解:于是解:lim1 cosx x 0sin x-3 x,lim (1求x2 x 2sin 22x. 2 x sin 一 lim22(2)21 lim x 0 2_ xsin-2x2_ xsin 一2x2tanxsin x-3 xxm02)x xsin x .sin x cosxsin xcosxlim令一x =t ,貝U x= t .時(shí)t 0,lim (1x2) xx二網(wǎng)(1 t)lim (求x2x)令 2 x=1+u,那么 x=2-時(shí)u 0,于是limx(產(chǎn))x2 x二呵12u)lim(1u

11、 01u)u2lim(1 u)2u 0-1=ecotx網(wǎng)(1 tan x)xim0sinxlim呵(11解：設(shè) t =tan x,那么 t = cot x.當(dāng)x 0時(shí)t 0,阿(1cosx-3 xcosx1 cosx2x1t)2=e(1 u)21于是網(wǎng)(1 tanx)8tL t)t=e.sin x1、E的應(yīng)用lim SlnUX,y 1極限ux,y 0 ux,y是一元函數(shù)第一個(gè)重要極限的推廣,其中,x,y%,yo時(shí),ux,y0,把ux,y看作新變量t ,考慮極限過程t 0.sinx3 y3 lim 22-例 1 求極限x,y 0,0 x ysinx y .sinx3 y3 x3y3lim 22l

12、im解：x,y0,.x yx,yn0,0x3 y3x2y2極限運(yùn)算過程中第一個(gè)等號(hào)是一個(gè)恒等變形sin(x3 y3)我們?cè)O(shè) f(x,y)x2 y2,定義域是 D (x,y)(x,y) (0,0)33、33f1(x, y) 再設(shè)定義域D1sin(x y ) x y3322x y x y x, y (x, y) (0,0)且y x,顯然有 D1 D o可以看到,從函數(shù) “丫到"%丫定義域變小了,但fx,y, f1x,y分別在各自的定義域 d與D1內(nèi),當(dāng)x,y 0,0時(shí),可以證實(shí)極限都是存在的,證實(shí)如下：33.十日“x,y sM（1） 以下是對(duì)xy 在定義域D22 y,yx,y0,0內(nèi)極限

13、的證實(shí).由于當(dāng)x,y.,.時(shí),有：,33、lim sinx y 所以由夾逼準(zhǔn)那么得x,y 0,0 x2 y2=033、33sinx y x y fi x, y3一322（2） 對(duì)x y x y 在 定 義 域Di x,yx,y 0,0且y x,內(nèi)極限的存在性,由極限的四那么運(yùn)算法那么容易知道,而且其值易算得為0.D x,yx,yQ0內(nèi)極限存在,33、sin(x y )f (x, y) 2既然x y在定義域那么極限必唯一.我們可以在d內(nèi)任找x,y9.的方式來計(jì)算出極限值.由 D與Di的關(guān)系Di D),知道在DiD Di中兩函數(shù)相等,所以在求極限找x,y0.的方式時(shí),我們可以在D1 (DD中找,顯

14、然,兩函數(shù)的極限是相等的.f(x,y)sin(x3 y3)22fi(x,y)x y3333sin(x y ) x y3 y_2 y3 x 2 xlim嗎3)(x,y) (0,0)x3y3,33、lim嗎愛(x,y) (0,0) x2 y2(x,yl)m：0,0)fix, y是成立的.所以在(x,y)0,0時(shí),兩函數(shù)的極限是相等的.同理可以計(jì)算下面例子.例2求極限sin xy lim -(x,y)(0,0) ysin xysin xy sin xylim lim x lim lim解 (x,y) (0,0) y (x,y) (0,0)xyxy 0xy(x,y) (0,0)在一元函數(shù)中由第一個(gè)重要

15、極限可以得到幾個(gè)經(jīng)常使用的等i 2 ,、sin u(x, y) u(x, y);i cosu(x,y) u (x, y); 2ln i u(x, y) u(x, y); tan u(x, y) u(x, y);u(x,y)e i u(x, y)價(jià)無窮小,推廣到二元函數(shù)中得到：同一元函數(shù)一樣,等價(jià)無窮小代換只能在乘法和除法中應(yīng)用lim例3求極限x,y 0 ,°sin xy)tan(x y)解:sin xyxylim lim (x,y)(0 ,0 ) tan(x y) =(x,y)(.,.)x y =0lim求極限(x,y) (0,0)22、1 cos(x y )/ 22 2 2-(x

16、y )x y解:x,ymo,o21 cos(x(x* 24.2.2重要極限y2)2、 2 2 y )x ylim1 / 2 2(x_ (x,y) (0.0)(x!2、2y)1y2)x2y22lim (1 1)x elim (1 -)u(x,y) 極限 u(x,y) u(x,y)e是一元函數(shù)中第二個(gè)重要極限的推廣.下面舉例說明它的應(yīng)用.x21 lim 1x例5求極限x,yx,x21 lim (1)x y lim解：(x,y) ( ,1)( x =(x,y)(.1)(1x y x-)x x. x lim 1(x,y) ( ,1)x y極限問題.5.總結(jié)關(guān)于兩個(gè)重要極限的公式自己十分簡單,但由它們上

17、面卻引出許多的話題.關(guān)于它的證實(shí)方法還有很多,本文選取了最能表達(dá)數(shù)學(xué)思想 的證法,還談及了它們的一些應(yīng)用,這些話題都反映一個(gè)共同思想 在研究函數(shù)在一點(diǎn)的無窮小領(lǐng)域內(nèi)的變更性態(tài)時(shí),用某個(gè)與自變量增量成比例的量即微分,替代函數(shù)的增量,經(jīng)常是簡化并解決問題 的法子.這就是微分學(xué)的根本思想,對(duì)于微積分,只有深入理解和掌 握了這一思想,才會(huì)深刻理解和學(xué)習(xí).著名日本科學(xué)家米山國藏指出：作為知識(shí)的數(shù)學(xué),出校門不到年 可能就忘了,唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精髓、數(shù)學(xué)的思想研究 方法和著眼點(diǎn)等,這些都隨時(shí)隨地發(fā)生作用,使人們終身受益.這句話 揭示了數(shù)學(xué)的精髓不在于知識(shí)自己 ,而在于數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思 想方法,因此,我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要注意知識(shí)間的思維關(guān)系,從而 更好的掌握知