對兩個重要極限的重要性的認識

1、對兩個重要極限的重要性的熟悉之老陽三干創(chuàng)作摘要：通過對兩個重要極限重要性的理解和熟悉,總結(jié)有關(guān)兩個重要極限的論文成果,指出兩個重要極限在微積分的計算過程中 起到了重要的橋梁紐帶作用,主張學(xué)習數(shù)學(xué)知識不但局限于課本, 要培養(yǎng)提升探究問題的水平,系統(tǒng)全面的看待問題,深刻細致的體 會微積分思想的嚴謹性.關(guān)鍵詞：重要極限；重要性；證實；應(yīng)用1 .緒論兩個重要極限在微積分的計算和整個微積分思想中起著舉足輕重 的作用,目前,關(guān)于這方面的分析已經(jīng)很成熟,有關(guān)于它們的來 源,證實,應(yīng)用和深入擴展,本文系統(tǒng)的總結(jié)了局部具有代表性的 成果,從而可以直觀全面的熟悉和體會兩個重要極限的重要性,對 剛接觸極限理論,沒有

2、深入熟悉兩個重要極限的學(xué)生來說,具有指 導(dǎo)意義.?數(shù)學(xué)分析?課程在講述關(guān)于兩個重要極限和時,著重強調(diào)了它在整個極限計算中有重要地位.它能將許多復(fù)雜的極限計算迅速簡化,應(yīng)用非常靈活.因此,這兩個重要的極限可以說是全部微積分學(xué)計算的根底,其重要性就不難理解了.試想,假設(shè)沒有它們,那么只要遇見微積分相關(guān)的計算題 ,必須用最根本的方法,有些還紛歧定求得出來,更不必說由它們推廣出的更復(fù)雜的應(yīng)用了.2 .兩個重要極限的證實兩個重要極限是極限理論的重要內(nèi)容,也是解決極限問題的一種有效方法,在學(xué)生的學(xué)習中,起著重要作用,了解它們的證實方lim snx1 lim (1 -)x ex 0 xxx法對充分理解和熟悉

3、它們是十分需要的,它的證實過程 也是對兩邊夾定理及單調(diào)有界數(shù)列必有極限這一準那么的 恰當應(yīng)用.sin x lim, 12. 1第一個重要極限：x 0 x證實：作單位圓,如圖 1:設(shè)X為圓心角aob ,并設(shè)0 x2見圖不難發(fā)現(xiàn)：S AOBS扇形 AOBS aod二1sin x - x 即：221tanx2 ,即 sin x x tan x,0 x(由于2 ,所以上不等式不改變方向xcosx,- 的值均不變,故對滿足當x改變符號時,s1nx及1sin x ,cosx 1x o一 ,cosx 1又由于(12 X.cosx) 1 2sin (-) 22x1 cosx 所以 2lim cosx 1 x

4、0lim cosx lim 1 1.sin xlim 1x 0 x ,證畢. 人 一,- lim 1 第二個重要極限：x1、x一e x先考慮x取正整數(shù)時的情形:lim (1 n1)n n對于b.,有不等式:bn 1b(n 1)bn即:1 (n 1)bn (ba)即:(n1)anb(n 1)anb-,b1(n1)1將其代入,所以(1(1 -)n(1所以1) n為單調(diào)數(shù)列,記作x(ii )又令12n(n 1)anb(n-)-221 (1所以(14 (1即對n,X2n4,又對(12n 1)2n 1(12n 2)2n 2(1所以1)n弗n,是有界的.由單調(diào)有界定理知存在,并使用來暗木,1 nlim (

5、1 -)n e 2.7182818284 59045即x n,在函數(shù)的學(xué)習中,我們熟悉的根本初等函數(shù)有以下五類:哥函數(shù)y指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)R),(a 0,a 1),y logaX( a 0,a 1),y=sin x, y=cos x , y=tan x, y=cot x,反三 角函數(shù) y=arc sinx, y=arc cosx, y=arc tanx, y=arc cotx.,就是計算極限(3.1 )但這僅僅是停留在導(dǎo)數(shù)3.1的話,顯然是非 事實上,在求函數(shù)由根本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四那么混合運算與符合運算所得到 的函數(shù),統(tǒng)稱為初等函數(shù),微積分中我們經(jīng)常需要計算初等函數(shù) 的導(dǎo)數(shù),微分學(xué)的

6、根本概念一一導(dǎo)數(shù)是建立在極限概念根底上f1(x) 的.即求一個函數(shù)f ( xf)(4點xx f明導(dǎo)數(shù)當這一極限存在時,其值就昌x)定義上的,如果求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都要計算極限 常復(fù)雜和繁瑣的,勢必限制導(dǎo)數(shù)的廣泛應(yīng)用的導(dǎo)數(shù)時,其實不都需要計算極限3.1 ,而只需根據(jù)根本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及求導(dǎo)法那么就可以很方便地求得任何一個初等函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).因此,兩個重要極限對于以上六類根本初等函數(shù)的求導(dǎo) 起到了至關(guān)重要的作用.關(guān)于根本初等函數(shù)的求導(dǎo),我們可以大致分為三類函數(shù)：第 一類是哥岬鱷多五類是三角函數(shù)和反三角函數(shù),第三類是指數(shù) 函數(shù)和對數(shù)函數(shù).對于第一類函數(shù)的求導(dǎo),要利用二項式定理和 導(dǎo)數(shù)定義便求得.對于第二

7、類函數(shù)的求導(dǎo),需要利用到 這個重要極限.對于第三犧徵南求導(dǎo),需要利用到1 7lim (1 一) e lim (1 -)x e 這個極限. xxx x下面來看一看根本求導(dǎo)公式是如何得來的.1.1 重要極限在三角函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用以正弦函數(shù)sin x_一 x sin2 sint limJ lim 1m 小 1?0 t其中應(yīng)用了第一個重要極限X.0 x ,即 2求得(sin x) ' =c0sx后,其余的三角函數(shù)和反三角函數(shù)的導(dǎo) 數(shù)公式就可以利用多個求導(dǎo)法那么得到了.1.2 重要極限在指數(shù)函數(shù)和募函數(shù)求導(dǎo)過程中的作用其次,再看看對數(shù)函數(shù)10g ax的求導(dǎo)公式的推導(dǎo)過程.由導(dǎo)數(shù)定義其中應(yīng)用了

8、第二個重要極限lim(1 X)xx 二1 ulim loga(1 一)x lim(1 )u ex0x L u (令 x/ x u ) o求得了(logax)以后,指數(shù)函數(shù)和募函數(shù)的求導(dǎo)公式就容易得 出了.可見,兩個重要極限在導(dǎo)出根本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式的過程中, 特別是涉及三角函數(shù)的過程中起到了關(guān)鍵性的作用,沒有這兩個 重要極限,兩類函數(shù)的求導(dǎo)公式就不成能得出.兩個重要極限在 初等函數(shù)求導(dǎo)過程中起到了重要的紐帶作用,由于推倒正弦函數(shù) 和指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的過程中要用到這兩個極限,而所有的初 等函數(shù)都可以從這兩類函數(shù)以及它們的反函數(shù)出發(fā),經(jīng)過有限的 四那么運算復(fù)合得到.因此,從這兩類函數(shù)的導(dǎo)數(shù)出發(fā)

9、,利用函數(shù) 的四那么運算、復(fù)合和反函數(shù)求導(dǎo)法那么,就能求得全部初等函數(shù)的 導(dǎo)數(shù).再由于積分是微分的逆運算,可以得到根本積分表,依靠 他們能算出大量初等函數(shù)的積分.可以說,兩個重要極限可以說 是全部微分積分學(xué)的根底,在微積分的計算過程中起到了重要的 橋梁紐帶作用,所以這兩個重要極限極其重要.第一個重要極限實際上是兩個無窮小之比的極限.假設(shè)分子分母分別求極限便得 這一不定的結(jié)果,因此稱這一類型的極限為型未定式.類似地,第二個重要極限是屬于 1型未定式.綜上所述,可以得出這樣的結(jié)論,但凡含有三角函數(shù)的型未定式和1型未定式,我們都可無妨用兩個重要極限來試試,看能否求出它 的結(jié)果,以下舉例來說明如何應(yīng)用

10、這兩個重要極限于極限運算中 的.1 cosx,lim 2例1求x 0 x .解:lim解：呵tanx解:于是解:lim1 cosx x 0sin x-3 x,lim (1求x2 x 2sin 22x. 2 x sin 一 lim22(2)21 lim x 0 2_ xsin-2x2_ xsin 一2x2tanxsin x-3 xxm02)x xsin x .sin x cosxsin xcosxlim令一x =t ,貝U x= t .時t 0,lim (1x2) xx二網(wǎng)(1 t)lim (求x2x)令 2 x=1+u,那么 x=2-時u 0,于是limx(產(chǎn))x2 x二呵12u)lim(1u

11、 01u)u2lim(1 u)2u 0-1=ecotx網(wǎng)(1 tan x)xim0sinxlim呵(11解：設(shè) t =tan x,那么 t = cot x.當x 0時t 0,阿(1cosx-3 xcosx1 cosx2x1t)2=e(1 u)21于是網(wǎng)(1 tanx)8tL t)t=e.sin x1、E的應(yīng)用lim SlnUX,y 1極限ux,y 0 ux,y是一元函數(shù)第一個重要極限的推廣,其中,x,y%,yo時,ux,y0,把ux,y看作新變量t ,考慮極限過程t 0.sinx3 y3 lim 22-例 1 求極限x,y 0,0 x ysinx y .sinx3 y3 x3y3lim 22l

12、im解：x,y0,.x yx,yn0,0x3 y3x2y2極限運算過程中第一個等號是一個恒等變形sin(x3 y3)我們設(shè) f(x,y)x2 y2,定義域是 D (x,y)(x,y) (0,0)33、33f1(x, y) 再設(shè)定義域D1sin(x y ) x y3322x y x y x, y (x, y) (0,0)且y x,顯然有 D1 D o可以看到,從函數(shù) “丫到"%丫定義域變小了,但fx,y, f1x,y分別在各自的定義域 d與D1內(nèi),當x,y 0,0時,可以證實極限都是存在的,證實如下：33.十日“x,y sM（1） 以下是對xy 在定義域D22 y,yx,y0,0內(nèi)極限

13、的證實.由于當x,y.,.時,有：,33、lim sinx y 所以由夾逼準那么得x,y 0,0 x2 y2=033、33sinx y x y fi x, y3一322（2） 對x y x y 在 定 義 域Di x,yx,y 0,0且y x,內(nèi)極限的存在性,由極限的四那么運算法那么容易知道,而且其值易算得為0.D x,yx,yQ0內(nèi)極限存在,33、sin(x y )f (x, y) 2既然x y在定義域那么極限必唯一.我們可以在d內(nèi)任找x,y9.的方式來計算出極限值.由 D與Di的關(guān)系Di D),知道在DiD Di中兩函數(shù)相等,所以在求極限找x,y0.的方式時,我們可以在D1 (DD中找,顯

14、然,兩函數(shù)的極限是相等的.f(x,y)sin(x3 y3)22fi(x,y)x y3333sin(x y ) x y3 y_2 y3 x 2 xlim嗎3)(x,y) (0,0)x3y3,33、lim嗎愛(x,y) (0,0) x2 y2(x,yl)m：0,0)fix, y是成立的.所以在(x,y)0,0時,兩函數(shù)的極限是相等的.同理可以計算下面例子.例2求極限sin xy lim -(x,y)(0,0) ysin xysin xy sin xylim lim x lim lim解 (x,y) (0,0) y (x,y) (0,0)xyxy 0xy(x,y) (0,0)在一元函數(shù)中由第一個重要

15、極限可以得到幾個經(jīng)常使用的等i 2 ,、sin u(x, y) u(x, y);i cosu(x,y) u (x, y); 2ln i u(x, y) u(x, y); tan u(x, y) u(x, y);u(x,y)e i u(x, y)價無窮小,推廣到二元函數(shù)中得到：同一元函數(shù)一樣,等價無窮小代換只能在乘法和除法中應(yīng)用lim例3求極限x,y 0 ,°sin xy)tan(x y)解:sin xyxylim lim (x,y)(0 ,0 ) tan(x y) =(x,y)(.,.)x y =0lim求極限(x,y) (0,0)22、1 cos(x y )/ 22 2 2-(x

16、y )x y解:x,ymo,o21 cos(x(x* 24.2.2重要極限y2)2、 2 2 y )x ylim1 / 2 2(x_ (x,y) (0.0)(x!2、2y)1y2)x2y22lim (1 1)x elim (1 -)u(x,y) 極限 u(x,y) u(x,y)e是一元函數(shù)中第二個重要極限的推廣.下面舉例說明它的應(yīng)用.x21 lim 1x例5求極限x,yx,x21 lim (1)x y lim解：(x,y) ( ,1)( x =(x,y)(.1)(1x y x-)x x. x lim 1(x,y) ( ,1)x y極限問題.5.總結(jié)關(guān)于兩個重要極限的公式自己十分簡單,但由它們上

17、面卻引出許多的話題.關(guān)于它的證實方法還有很多,本文選取了最能表達數(shù)學(xué)思想 的證法,還談及了它們的一些應(yīng)用,這些話題都反映一個共同思想 在研究函數(shù)在一點的無窮小領(lǐng)域內(nèi)的變更性態(tài)時,用某個與自變量增量成比例的量即微分,替代函數(shù)的增量,經(jīng)常是簡化并解決問題 的法子.這就是微分學(xué)的根本思想,對于微積分,只有深入理解和掌 握了這一思想,才會深刻理解和學(xué)習.著名日本科學(xué)家米山國藏指出：作為知識的數(shù)學(xué),出校門不到年 可能就忘了,唯有深深銘記在頭腦中的數(shù)學(xué)的精髓、數(shù)學(xué)的思想研究 方法和著眼點等,這些都隨時隨地發(fā)生作用,使人們終身受益.這句話 揭示了數(shù)學(xué)的精髓不在于知識自己 ,而在于數(shù)學(xué)知識中所蘊含的數(shù)學(xué)思 想方法,因此,我們在平時的學(xué)習中要注意知識間的思維關(guān)系,從而 更好的掌握知