第8講[1].抽屜原理(二).教師版

1、第八講：抽屜原理（二）一、知識點介紹抽屜原理有時也被稱為鴿籠原理，它由德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來并用來證明一些數(shù)論中的問題，因此，也被稱為狄利克雷原則抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個重要而又基本的數(shù)學(xué)原理，利用它可以解決很多有趣的問題，并且常常能夠起到令人驚奇的作用許多看起來相當復(fù)雜，甚至無從下手的問題，在利用抽屜原則后，能很快使問題得到解決二、抽屜原理的定義（1）舉例桌上有十個蘋果，要把這十個蘋果放到九個抽屜里，無論怎樣放，有的抽屜可以放一個，有的可以放兩個，有的可以放五個，但最終我們會發(fā)現(xiàn)至少我們可以找到一個抽屜里面至少放兩個蘋果。（2）定義一般情況下，把n1或多于n1個蘋果放到n個抽屜里，

2、其中必定至少有一個抽屜里至少有兩個蘋果。我們稱這種現(xiàn)象為抽屜原理。三、抽屜原理的解題方案（一）、利用公式進行解題蘋果抽屜商余數(shù)余數(shù)：（1）余數(shù)1， 結(jié)論：至少有（商1）個蘋果在同一個抽屜里 （2）余數(shù)， 結(jié)論：至少有（商1）個蘋果在同一個抽屜里 （3）余數(shù)0， 結(jié)論：至少有“商”個蘋果在同一個抽屜里（二）、利用最值原理解題將題目中沒有闡明的量進行極限討論，將復(fù)雜的題目變得非常簡單，也就是常說的極限思想“任我意”方法、特殊值方法【例 1】 在一只口袋中有紅色、黃色、藍色球若干個，小聰明和其他六個小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出個球，那么不管怎樣挑選，總有兩個小朋友取出的兩個球的顏色完全

3、一樣你能說明這是為什么嗎？【解析】 從三種顏色的球中挑選兩個球，可能情況只有下面種：紅、紅；黃、黃；藍、藍；紅、黃；紅、藍；黃、藍，我們把種搭配方式當作個“抽屜”，把個小朋友當作個“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個“蘋果”要放進一個“抽屜”中，也就是說，至少有兩個人挑選的顏色完全一樣【鞏固】 11名學(xué)生到老師家借書，老師的書房中有文學(xué)、科技、天文、歷史四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本試說明：必有兩個學(xué)生所借的書的類型相同【解析】 設(shè)不同的類型書為、四種，若學(xué)生只借一本書，則不同的類型有、四種；若學(xué)生借兩本不同類型的書，則不同的類型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六種共有1

4、0種類型，把這10種類型看作10個“抽屜”，把11個學(xué)生看作11個“蘋果”如果誰借哪種類型的書，就進入哪個抽屜，由抽屜原理，至少有兩個學(xué)生，他們所借的書的類型相同【鞏固】 體育用品的倉庫里有許多足球、排球和籃球，有66個同學(xué)來倉庫拿球，要求每個人至少拿一個，最多拿兩個球，問至少有多少名同學(xué)所拿的球的種類是完全一樣的？【解析】 以拿球配組的方式為抽屜，每人拿一個或兩個球，所以抽屜有：足、排、籃、足足、排排、籃籃、足排、足籃、排籃共9種情況，即有9個抽屜，則：，即至少有8名同學(xué)所拿球的種類是一樣的【鞏固】 幼兒園買來很多玩具小汽車、小火車、小飛機，每個小朋友任意選擇兩件不同的，那么至少要有幾個小朋

5、友才能保證有兩人選的玩具是相同的？【解析】 根據(jù)題意列下表：小汽車小火車小飛機第一個小朋友第二個小朋友第三個小朋友第四個小朋友有個小朋友就有三種不同的選擇方法，當?shù)谒膫€小朋友準備拿時，不管他怎么選擇都可以跟前面三個同學(xué)其中的一個選法相同所以至少要有個小朋友才能保證有兩人選的玩具是相同的總結(jié)： 本題是抽屜原理應(yīng)用的典型例題，作為重點講解學(xué)生們可能會這么認為：鋪墊：件種件，件個人，要保證有相同的所以至少要有人；對于例題中的題目同樣件種件，件個人，要保證有相同的所以至少要有人因為鋪墊是正好配上數(shù)了，而例題中的問題在于種東西任選兩種的選擇有幾種可以簡單跟學(xué)生講一下簡單乘法原理的思想，但建議還是運用枚舉

6、法列表進行分析，按順序列表可以做到不遺漏，不重復(fù)【例 2】 紅、藍兩種顏色將一個方格圖中的小方格隨意涂色（見下圖），每個小方格涂一種顏色是否存在兩列，它們的小方格中涂的顏色完全相同？ 【解析】 用紅、藍兩種顏色給每列中兩個小方格隨意涂色，只有下面四種情形：將上面的四種情形看成四個“抽屜”，把五列方格看成五個“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，將五個蘋果放入四個抽屜，至少有一個抽屜中有不少于兩個蘋果，也就是至少有一種情形占據(jù)兩列方格，即這兩列的小方格中涂的顏色完全相同【例 3】 從、這個偶數(shù)中至少任意取出多少個數(shù)，才能保證有個數(shù)的和是？ 【解析】 構(gòu)造抽屜：，共種搭配，即個抽屜，所以任意取出個數(shù)，無論怎樣取

7、，有兩個數(shù)必同在一個抽屜里，這兩數(shù)和為，所以應(yīng)取出個數(shù)或者從小數(shù)入手考慮，、，當再取時，與其中的一個去陪，總能找到一個數(shù)使這兩個數(shù)之和為【鞏固】 證明：在從1開始的前10個奇數(shù)中任取6個，一定有2個數(shù)的和是20.【解析】 將10個奇數(shù)分為五組(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取6個必有兩個奇數(shù)在同一組中，這兩個數(shù)的和為20.【鞏固】 從1，4，7，10，37，40這14個數(shù)中任取8個數(shù)，試證：其中至少有2個數(shù)的和是41.【解析】 構(gòu)造和為的抽屜：，現(xiàn)在取個數(shù)，一定有兩個數(shù)取在同一個抽屜，所以至少有2個數(shù)的和是41.【鞏固】 從2、4、6、30這15個偶數(shù)中

8、，任取9個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)之和是34【解析】 我們用題目中的15個偶數(shù)制造8個抽屜，,，,凡是抽屜中的有兩個數(shù)，都具有一個共同的特點：這兩個數(shù)的和是34 現(xiàn)從題目中的15個偶數(shù)中任取9個數(shù)，由抽屜原理（因為抽屜只有8個），必有兩個數(shù)在同一個抽屜中.由制造的抽屜的特點，這兩個數(shù)的和是34【例 4】 （北京市第十一屆“迎春杯”刊賽）從1，2，3，4，1994這些自然數(shù)中，最多可以取 個數(shù)，能使這些數(shù)中任意兩個數(shù)的差都不等于9【解析】 方法一：把1994個數(shù)一次每18個分成一組，最后14個數(shù)也成一組，共分成111組即1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16

9、，17，18；19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；1963，1964，1979，1980；1981，1982，1994每一組中取前9個數(shù)，共取出（個）數(shù)，這些數(shù)中任兩個的差都不等于9因此，最多可以取999個數(shù)方法二：構(gòu)造公差為的個數(shù)列（除以的余數(shù)），共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)，共計個數(shù)每個數(shù)列相鄰兩項的差是9，因此，要使取出的數(shù)中，每兩個的差不等于9，每個數(shù)列中不能取相鄰的項因此，前五個數(shù)列只能取出一半，后四個數(shù)列最多能取出一半多一個數(shù)，所以最多取個數(shù)【鞏固】 從1、2、

10、3、4、19、20這20個自然數(shù)中，至少任選幾個數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，它們的差是12【解析】 在這20個自然數(shù)中，差是12的有以下8對：20，8，19，7，18，6，17，5，16，4，15，3，14，2，13，1另外還有4個不能配對的數(shù)9，10，11，12，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要有兩個數(shù)取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個數(shù)，即可辦到（取12個數(shù)：從12個抽屜中各取一個數(shù)（例如取1，2，3，12），那么這12個數(shù)中任意兩個數(shù)的差必不等于12）【鞏固】 （小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽）從1，2，3，4，1988，1989這些自然數(shù)中，最

11、多可以取_個數(shù)，其中每兩個數(shù)的差不等于4【解析】 將11989排成四個數(shù)列：1，5，9，1985，19892，6，10，19863，7，11，19874，8，12，1988每個數(shù)列相鄰兩項的差是4，因此，要使取出的數(shù)中，每兩個的差不等于4，每個數(shù)列中不能取相鄰的項因此，第一個數(shù)列只能取出一半，因為有項，所以最多取出249項，例如1，9，17，1985同樣，后三個數(shù)列每個最多可取249項因而最多取出個數(shù)，其中每兩個的差不等于4【例 5】 （2008年第八屆“春蕾杯”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請賽決賽）從、和中至多選出 個數(shù)，使得在選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍【解析】 把這12個數(shù)分成6個組： 第1組：

12、1，2，4，8 第2組：3，6，12 第3組：5，10 第4組：7 第5組：9 第6組：11 每組中相鄰兩數(shù)都是2倍關(guān)系，不同組中沒有2倍關(guān)系 選沒有2倍關(guān)系的數(shù)，第1組最多2個（1，4或2，8或，），第2組最多2個（3，12），第3組只有1個，第4，5，6組都可以取，一共個 如果任意取9個數(shù)，因為第3，4，5，6組一共5個數(shù)中，最多能取4個數(shù)，剩下個數(shù)在2個組中，根據(jù)抽屜原理，至少有3個數(shù)是同一組的，必有2個數(shù)是同組相鄰的數(shù)，是2倍關(guān)系 【鞏固】 從1到20這20個數(shù)中，任取11個不同的數(shù)，必有兩個數(shù)其中一個是另一個數(shù)的倍數(shù)【解析】 把這20個數(shù)分成以下10組，看成10個抽屜：(1，2，4，

13、8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5個抽屜中，任意兩個數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系從這10個抽屜中任選11個數(shù)，必有一個抽屜中要取2個數(shù)，它們只能從前5個抽屜中取出，這兩個數(shù)就滿足題目要求【鞏固】 從1，3，5，7，97，99中最多可以選出多少個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)?【解析】 方法一：因為均是奇數(shù)，所以如果存在倍數(shù)關(guān)系，那么也一定是3、5、7等奇數(shù)倍.333：99，于是從35開始，199的奇數(shù)中沒有一個是3599的奇數(shù)倍(不包括1倍)，所以選出35，37，39，99這些奇數(shù)即可共可選出

14、33個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)方法二：利用3的若干次冪與質(zhì)數(shù)的乘積對這50個奇數(shù)分組(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，(97)共33組前11組，每組內(nèi)任意兩個數(shù)都存在倍數(shù)關(guān)系，所以每組內(nèi)最多只能選擇一個數(shù)即最多可以選出33個數(shù)，使得選出的數(shù)中，每一個數(shù)都不是另一個數(shù)的倍數(shù)評注：12n個自然數(shù)中，任意取出n+1個數(shù)，則其中必定有兩個數(shù)，它們一個是另一個的整數(shù)倍；從2，3，2

15、n+1中任取n+2個數(shù)，必有兩個數(shù)，它們一個是另一個的整數(shù)倍；從1，2，33n中任取2n+1個數(shù)，則其中必有兩個數(shù)，它們中一個是另一個的整數(shù)倍，且至少是3倍；從1，2，3， mn中任取(m-1)n+1個數(shù)，則其中必有兩個數(shù)，它們中一個是另一個的整數(shù)倍，且至少是m倍(m、n為正整數(shù)).【鞏固】 從整數(shù)1、2、3、199、200中任選101個數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個數(shù)，其中的一個是另一個的倍數(shù).【解析】 把這個數(shù)分類如下：1，3，5，99，101，103，199，以上共分為100類，即100個抽屜，顯然在同一類中的數(shù)若不少于兩個，那么這類中的任意兩個數(shù)都有倍數(shù)關(guān)系.從中任取101個數(shù)

16、，根據(jù)抽屜原理，一定至少有兩個數(shù)取自同一類，因此其中一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù).【例 6】 從1，2，3，49，50這50個數(shù)中取出若干個數(shù)，使其中任意兩個數(shù)的和都不能被7整除，則最多能取出多少個數(shù)？【解析】 將至這個數(shù)，按除以的余數(shù)分為類：，所含的數(shù)的個數(shù)分別為，.被7除余1與余6的兩個數(shù)之和是7的倍數(shù)，所以取出的數(shù)只能是這兩種之一； 同樣的，被7除余2與余5的兩個數(shù)之和是7的倍數(shù)，所以取出的數(shù)只能是這兩種之一； 被7除余3與余4的兩個數(shù)之和是7的倍數(shù)，所以取出的數(shù)只能是這兩種之一； 兩個數(shù)都是7的倍數(shù)，它們的和也是7的倍數(shù)，所以7的倍數(shù)中只能取1個 所以最多可以取出個 【例 7】 從1，2，3

17、，99，100這100個數(shù)中任意選出51個數(shù)證明：(1)在這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)互質(zhì)；(2)在這51個數(shù)中，一定有兩個數(shù)的差等于50；(3)在這51個數(shù)中，一定存在9個數(shù)，它們的最大公約數(shù)大于1【解析】 (1)我們將1100分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(7，8)，(99，100)這50組，每組內(nèi)的數(shù)相鄰而相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)將這50組數(shù)作為50個抽屜，同一個抽屜內(nèi)的兩個數(shù)互質(zhì)而現(xiàn)在51個數(shù)，放進50個抽屜，則必定有兩個數(shù)在同一抽屜，于是這兩個數(shù)互質(zhì)問題得證(2)我們將1100分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，(40，90)，(50，100)這50組，每組內(nèi)的數(shù)相差5

18、0將這50組數(shù)視為抽屜，則現(xiàn)在有51個數(shù)放進50個抽屜內(nèi)，則必定有2個數(shù)在同一抽屜，那么這兩個數(shù)的差為50問題得證(3)我們將1100按2的倍數(shù)、3的奇數(shù)倍、既不是2又不是3的倍數(shù)的情況分組，有(2，4，6，8，98，100)，(3，9，15，21，27，93，99)，(5，7，11，13，17，19，23，95，97)這三組第一、二、三組分別有50、17、33個元素最不利的情況下，51個數(shù)中有33個元素在第三組，那么剩下的18個數(shù)分到第一、二兩組內(nèi)，那么至少有9個數(shù)在同一組所以這9個數(shù)的最大公約數(shù)為2或3或它們的倍數(shù)，顯然大于1【例 8】 有49個小孩，每人胸前有一個號碼，號碼從1到49各不

19、相同現(xiàn)在請你挑選若干個小孩，排成一個圓圈，使任何相鄰兩個小孩的號碼數(shù)的乘積小于100，那么你最多能挑選出多少個孩子?【解析】 將1至49中相乘小于100的兩個數(shù)，按被乘數(shù)分成9組，如下：(12)、(13)、(14)、(149)；(23)、(24)、(25)、(249)； (89)、(810)、(8 11)、(812)；(910)、(911).因為每個數(shù)只能與左右兩個數(shù)相乘，也就是每個數(shù)作為被乘數(shù)或乘數(shù)最多兩次，所以每一組中最多會有兩對數(shù)出現(xiàn)在圓圈中，最多可以取出18個數(shù)對，共18 2=36次，但是每個數(shù)都出現(xiàn)兩次，故出現(xiàn)了18個數(shù)例如：(109)、(911)、(18)、(812)、(127)、

20、(713)、(136)、(614)、(145)、(515)、(154)、(4 16)、(16 X 3)、(317)、(172)、(218)、(18 1)、(110)共出現(xiàn)l18號，共18個孩子若隨意選取出19個孩子，那么共有19個號碼，由于每個號碼數(shù)要與旁邊兩數(shù)分別相乘，則會形成19個相乘的數(shù)對那么在9組中取出19個數(shù)時，有19=92+1，由抽屜原則知，必有三個數(shù)對落入同一組中，這樣某個數(shù)字會在數(shù)對中出現(xiàn)三次(或三次以上)，由分析知，這是不允許的故最多挑出18個孩子【例 9】 要把61個乒乓球分裝在若干個乒乓球盒中，每個盒子最多可以裝5個乒乓球，問：至少有多少個盒子中的乒乓球數(shù)目相同？【解析】

21、 每個盒子不超過5個球，最“壞”的情況是每個盒子的球數(shù)盡量不相同，為1、2、3、4、5這5種各不相同的個數(shù)，共有：，最不利的分法是：裝1、2、3、4、5個球的各4個，還剩1個球，要使每個盒子不超過5個球，無論放入哪個盒子，都會使至少有5個盒子的球數(shù)相同【例 10】 有蘋果和桔子若干個，任意分成堆，能否找到這樣兩堆，使蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)？【解析】 需先跟學(xué)生介紹奇偶性：奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)；奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)；偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)。先用列表法進行搭配。由于題目只要求判斷兩堆水果的個數(shù)關(guān)系，因此可以從水果個數(shù)的奇、偶性上來考慮抽屜的設(shè)計對于每堆水果中的蘋果、桔子的個數(shù)分別都有奇數(shù)與偶數(shù)兩種可能，所以每堆水果

22、中蘋果、桔子個數(shù)的搭配就有種情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括號中的第一個字表示蘋果數(shù)的奇偶性，第二個字表示桔子數(shù)的奇偶性將這種情形看成個抽屜，現(xiàn)有堆水果，根據(jù)抽屜原理可知，這堆水果里至少有堆屬于上述種情形的同一種情形由于奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)，偶數(shù)加偶數(shù)仍為偶數(shù)，所以在同一個抽屜中的兩堆水果，其蘋果的總數(shù)與桔子的總數(shù)都是偶數(shù)【例 11】 在長度是厘米的線段上任意取個點，是否至少有兩個點，它們之間的距離不大于厘米？【解析】 把長度厘米的線段等分，那么每段線段的長度是厘米（見下圖）將每段線段看成是一個“抽屜”，一共有個抽屜現(xiàn)在將這個點放到這個抽屜中去根據(jù)抽屜原理，至少有一個抽

23、屜里有兩個或兩個以上的點（包括這些線段的端點）由于這兩個點在同一個抽屜里，它們之間的距離當然不會大于厘米所以，在長度是厘米的線段上任意取個點，至少存在兩個點，它們之間的距離不大于厘米【鞏固】 在米長的直尺上任意點五個點，請你說明這五個點中至少有兩個點的距離不大于厘米【解析】 個點最多把米長的直尺分成段，要想使每一段都盡量長，應(yīng)采取平均分的辦法把米長的直尺平均劃分成四段，每一段厘米，把這四段看成四個抽屜當把五個點隨意放入四個抽屜時，根據(jù)抽屜原理，一定有一個抽屜里面有兩個或兩個以上的點，落在同一段上的這兩點間的距離一定不大于厘米，所以結(jié)論成立【鞏固】 在米長的水泥陽臺上放盆花，隨便怎樣擺放，請說明

24、至少有兩盆花它們之間的距離小于米【解析】 第盆花放在一個端點上，第盆花放在距第盆花恰為米處（這是兩盆花之間最近的距離了，再近就說明題目已經(jīng)正確了兩盆花之間距離小于米）第盆花放在距離第盆花的距離米處，這樣每隔米放盆花，直到陽臺的另一個盡頭，恰好放第盆花至此，陽臺上的盆花中任意兩盆花之間的距離都按你的設(shè)想不小于米放好了現(xiàn)在考慮最后盆花，它只能放在已放好的盆花所留出的個空檔內(nèi)了，這已說明必有兩盆花之間的距離小于米題目的結(jié)論是正確的【例 12】 在邊長為3的正三角形內(nèi)，任意放入10個點，求證：必有兩個點的距離不大于1【解析】 將邊長為3的正三角形等分為9個小正三角形，根據(jù)抽屜原理，10個點中必有兩個點

25、落入同一個小正三角形的內(nèi)部或邊上，那么這兩個點之間的距離不會超過小正三角形的邊長，故必有兩個點的距離不大于1【鞏固】 在邊長為3米的正方形中，任意放入28個點，求證：必定有四個點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形的面積不超過1平方米【解析】 將大正方形分成9個邊長為1米的小正方形，則9個小正方形為“抽屜”，有：，則必有一個小正方形里(上)至少有(個)點，若這四個點恰好落在這個小正方形的四個頂點，那么以這4個點為頂點的四邊形的面積為1平方米；若有一個點落在正方形的內(nèi)部或邊上，則面積將小于1平方米綜上所述，不論怎么放，必定有四個點，以它們?yōu)轫旤c的四邊形的面積不超過1平方米【鞏固】 在一個矩形內(nèi)任意放五點，其中

26、任意三點不在一條直線上。證明：在以這五點為頂點的三角形中，至少有一個的面積小于矩形面積的四分之一?！窘馕觥?如右圖，將長方形按中線分為兩部分，則由抽屜原理知必然有3個點在同一個區(qū)域，那么由這3個點所構(gòu)成的三角形的面積必然小于該區(qū)域的一半，即長方形面的四分之一?！纠?13】 在一個直徑為厘米的圓內(nèi)放入七個點，請證明一定有兩個點的距離不大于厘米【解析】 將圓分成六個面積相等的扇形，這六個扇形可以看成六個抽屜，七個點看成七個蘋果，這樣必有一個抽屜有兩個蘋果，即一定有兩個點的距離不大于厘米【鞏固】 平面上給定17個點，如果任意三個點中總有兩個點之間的距離小于1，證明：在這17個點中必有9個點可以落在同

27、一半徑為1的圓內(nèi)。【解析】 如果17個點中，任意兩點之間的距離都小于1，那么，以這17個點中任意一點為圓心，以1為半徑作一個圓，這17個點必然全落在這個圓內(nèi)。如果這17點中，有兩點之間距離不小于1(即大于或等于1)，設(shè)這兩點為、，分別以、為圓心，1為半徑作兩個圓(如圖)。把這兩個圓看作兩個抽屜，由于任意三點中總有兩個點之間的距離小于1，因此其他15個點中每一點，到、的距離必有一個小于1。也就是說這些點必落在某一個圓中。根據(jù)抽屜原理必有一個圓至少包含這15個點中的8個點。由于圓心是17個點中的一點，因此這個圓至少包含17個點中的9個點?！纠?14】 9條直線的每一條都把一個正方形分成兩個梯形，而

28、且它們的面積之比為23。證明：這9 條直線中至少有3 條通過同一個點?！窘馕觥?設(shè)正方形為，、分別是，的中點。設(shè)直線把正方形分成兩個長方形和，并且與相交于（如圖）,長方形的面積長方形的面積，如果把直線繞點旋轉(zhuǎn)一定角度后，原來的兩個長方形就變成兩個梯形，根據(jù)割補法兩個梯形的面積比也為，所以只要直線繞點旋轉(zhuǎn)，得到的兩個梯形的面積比為，所以將長方形分成的兩個梯形必定經(jīng)過點，同樣根據(jù)對稱經(jīng)過點的直線也是滿足條件的直線，同理我們還可以找到把長方形分成上下兩個梯形的兩個點這樣，在正方形內(nèi)就有4個固定的點，凡是把正方形面積分成兩個面積為23 的梯形的直線，一定通過這4點中的某一個。我們把這4個點看作4個抽屜

29、，9條直線看作9個蘋果，由抽屜原理可知，所以，必有一個抽屜內(nèi)至少放有3個蘋果，也就是，必有三條直線要通過一個點。【例 15】 如圖，能否在行列的方格表的每一個空格中分別填上，這三個數(shù)，使得各行各列及對角線上個數(shù)的和互不相同？并說明理由【解析】 從問題入手：因為問的是和，所以就從和的種類入手。由，組成的和中最小為，最大的為，中共有種結(jié)果，而行列加上對角線共有個和，根據(jù)抽屜原理，必有兩和是相同的，所以此題不能滿足要求【鞏固】 能否在10行10列的方格表的每個空格中分別填上1，2，3這三個數(shù)之一，使得大正方形的每行、每列及對角線上的10個數(shù)字之和互不相同？對你的結(jié)論加以說明【解析】 大正方形的每行、

30、每列及對角線上的10個數(shù)字之和最小是10，最大是30因為從10到30之間只有21個互不相同的整數(shù)值，把這21個互不相同的數(shù)值看作21個“抽屜”，而10行、10列及兩條對角線上的數(shù)字和共有22個整數(shù)值，這樣元素的個數(shù)比抽屜的個數(shù)多1個，根據(jù)抽屜原理可知，至少有兩個和同屬于一個抽屜，故要使大正方形的每行、每列及對角線上的10個數(shù)字之和互不相同是不可能的【例 16】 （南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽C卷第12題）如下圖 ，、四只小盤拼成一個環(huán)形，每只小盤中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盤中應(yīng)各有 粒

31、糖果.把各只盤中糖果的粒數(shù)填在下圖中.圖 圖 【解析】 有兩種方法（填出一種即可），如下圖【鞏固】 (南京市第三屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽D卷第12題)如右圖、四只小盤拼成一個環(huán)形，每只小盤中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4只盤中的全部糖果，也可取出2只相鄰盤中的全部糖果.這樣取出的糖果數(shù)最多有幾種？請說明理由. 【解析】 最多為種.因為取只盤子有種取法；取只盤子（即有1種盤子不取），也有四種取法；取4只盤子只有1只取法；取兩只相鄰的盤子，在第1只取定后，（依順時針方向），第2只也就確定了，所以也有4種取法.共有種取法.滿足13種取法的糖果放法可以有無數(shù)多種.例題的解表明糖果數(shù)可以

32、為113這13種.【例 17】 如右圖，分別標有數(shù)字的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個圓環(huán)上，開始時相對的滾珠所標的數(shù)字都不相同當兩個圓環(huán)按不同方向轉(zhuǎn)動時，必有某一時刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對【分析】 內(nèi)外兩個圓環(huán)對轉(zhuǎn)可以看成一個靜止，只有一個環(huán)轉(zhuǎn)動，一個環(huán)轉(zhuǎn)動一周后，每個滾珠都會有一次與標有相同數(shù)字的滾珠相對的局面出現(xiàn)，那么這種局面共要出現(xiàn)次.將這次局面看成個蘋果，注意到一環(huán)每轉(zhuǎn)動角就有一次滾珠相對的局面出現(xiàn)，轉(zhuǎn)動一周共有次滾珠相對的局面，而最初相對滾珠所標數(shù)字都不相同，所以相對的滾珠所標的數(shù)字相同的情況只出現(xiàn)在以后的次轉(zhuǎn)動中，將次轉(zhuǎn)動看做個抽屜，根據(jù)抽屜原理至少有次數(shù)字相對的局面出現(xiàn)

33、在同一次轉(zhuǎn)動中即必有某一時刻，內(nèi)外兩環(huán)中至少有兩對數(shù)字相同的滾珠相對【鞏固】 8位小朋友圍著一張圓桌坐下，在每位小朋友面前都放著一張紙條，上面分別寫著這8位小朋友的名字開始時，每位小朋友發(fā)現(xiàn)自己面前所對的紙條上寫的都不是自己的名字，請證明：經(jīng)過適當轉(zhuǎn)動圓桌，一定能使至少兩位小朋友恰好對準自己的名字【解析】 沿順時針方向轉(zhuǎn)動圓桌，每次轉(zhuǎn)動一格，使每位小朋友恰好對準桌面上的字條，經(jīng)過8次轉(zhuǎn)動后，桌面又回到原來的位置在這個轉(zhuǎn)動的過程中，每位小朋友恰好對準桌面上寫有自己名字的字條一次，我們把每位小朋友與自己名字相對的情況看作“蘋果”，共有8只“蘋果”另一方面，由于開始時每個小朋友都不與自己名字相對，所

34、以小朋友與自己名字相對的情況只發(fā)生在7次轉(zhuǎn)動中，這樣7次轉(zhuǎn)動(即7個“抽屜”)將產(chǎn)生8位小朋友對準自己名字的情況，由抽屜原理可知，至少在某一次轉(zhuǎn)動后，有兩個或兩個以上的小朋友對準自己的名字【例 18】 時鐘的表盤上按標準的方式標著1，2，3，11，12這12個數(shù)，在其上任意做n個120的扇形，每一個都恰好覆蓋4個數(shù)，每兩個覆蓋的數(shù)不全相同如果從這任做的n個扇形中總能恰好取出3個覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù)，求n的最小值 【解析】 （1）當時，有可能不能覆蓋12個數(shù)，比如每塊扇形錯開1個數(shù)擺放，蓋住的數(shù)分別是：（12，1，2，3）；（1，2，3，4）；（2，3，4，5）；（3，4，5，6）；（4，

35、5，6，7）；（5，6，7，8）；（6，7，8，9）；（7，8，9，10），都沒蓋住11，其中的3個扇形當然也不可能蓋住全部12個數(shù) （2）每個扇形覆蓋4個數(shù)的情況可能是： （1，2，3，4）（5，6，7，8）（9，10，11，12）覆蓋全部12個數(shù) （2，3，4，5）（6，7，8，9）（10，11，12，1）覆蓋全部12個數(shù) （3，4，5，6）（7，8，9，10）（11，12，1，2）覆蓋全部12個數(shù) （4，5，6，7）（8，9，10，11）（12，1，2，3）覆蓋全部12個數(shù) 當時，至少有3個扇形在上面4個組中的一組里，恰好覆蓋整個鐘面的全部12個數(shù) 所以n的最小值是9 【鞏固】 (200

36、9年清華附中入學(xué)測試題)如圖，在時鐘的表盤上任意作個的扇形，使得每一個扇形都恰好覆蓋個數(shù)，且每兩個扇形覆蓋的數(shù)不全相同，求證：一定可以找到個扇形，恰好覆蓋整個表盤上的數(shù)并舉一個反例說明，作個扇形將不能保證上述結(jié)論成立【解析】 在表盤上共可作出12個不同的扇形，且112中的每個數(shù)恰好被4個扇形覆蓋將這12個扇形分為4組，使得每一組的3個扇形恰好蓋住整個表盤那么，根據(jù)抽屜原理，從中選擇9個扇形，必有個扇形屬于同一組，那么這一組的3個扇形可以覆蓋整個表盤另一方面，作8個扇形相當于從全部的12個扇形中去掉4個，則可以去掉蓋住同一個數(shù)的4個扇形，這樣這個數(shù)就沒有被剩下的8個扇形蓋住，那么這8個扇形不能蓋

37、住整個表盤課后練習(xí)練習(xí)1. 籃子里有蘋果、梨、桃和桔子，現(xiàn)有若干個小朋友，如果每個小朋友都從中任意拿兩個水果，那么至少有多少個小朋友才能保證有兩個小朋友拿的水果是相同的？【解析】 首先應(yīng)弄清不同的水果搭配有多少種兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子所以不同的水果搭配共有（種）將這10種搭配作為10個“抽屜”由抽屜原理知至少需個小朋友才能保證有兩個小朋友拿的水果是相同的練習(xí)2. 將每一個小方格涂上紅色、黃色或藍色（每一列的三小格涂的顏色不相同），不論如何涂色，其中至少有兩列，它們的涂色方式相同，你同意嗎？【解析】 這道題是例題的拓

38、展提高，通過列舉我們發(fā)現(xiàn)給這些方格涂色，要使每列的顏色不同，最多有種不同的涂法，涂到第六列以后，就會跟前面的重復(fù)所以不論如何涂色，其中至少有兩列它們的涂色方式相同練習(xí)3. 從，這個數(shù)中任意挑出個數(shù)來，證明在這個數(shù)中，一定有兩個數(shù)的差為?！窘馕觥?將個數(shù)分成組：，將其看作個抽屜，在選出的個數(shù)中，必有兩個屬于一組，這一組的差為這道題也同樣可以從小數(shù)入手考慮練習(xí)4. (南京市首屆“興趣杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽)從1至36個數(shù)中，最多可以取出_個數(shù)，使得這些數(shù)種沒有兩數(shù)的差是5的倍數(shù)【解析】 構(gòu)造公差為的數(shù)列，如圖，有五條鏈，看成個抽屜，每條鏈上取1個數(shù)，最多取5個數(shù)16111621263136271217

39、2227323813182328334914192429345101520253035練習(xí)5. (小數(shù)報數(shù)學(xué)競賽初賽試題)在米長的水泥陽臺上放盆花，隨便怎樣擺放，至少有幾盆花之間的距離不超過米【解析】 如果每兩盆之間的距離都超過米，那么總距離超過(米)另一方面，可以使開始的盆每兩盆之間距離略大于2米，而最后兩盆之間小于2米所以，至少有兩盆之間的距離不超過2米練習(xí)6. 用數(shù)字1，2，3，4，5，6填滿一個的方格表，如右圖所示，每個小方格只填其中一個數(shù)字，將每個正方格內(nèi)的四個數(shù)字的和稱為這個正方格的“標示數(shù)”問：能否給出一種填法，使得任意兩個“標示數(shù)”均不相同？如果能，請舉出一例；如果不能，請說明理由【解析】 先計算出每個正方格內(nèi)的四個數(shù)字的和最小為4，最大為24，從4到24共有21個不同的值，即有21個“抽屜”；再找出在的方格表最多有：(個)正方格的“標示數(shù)”，即有25個“蘋果”,根據(jù)抽屜原理，必有兩個“標示數(shù)”相同練習(xí)7. 將400本書隨意分給若干同學(xué)，但是每個人不許超過11本，問：至少有多少個同學(xué)分到的書的本數(shù)相同？【解析】 每人不許超過11本，最“壞”的情況是每人得到的本數(shù)盡量不相同，為：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10