隨機(jī)變量及其分布知識點(diǎn)整理

1、隨機(jī)變量及其分布知識點(diǎn)整理、離散型隨機(jī)變量的分布列1,2, ,n)的概率般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為Xi,X2, ,Xi, ,Xn, X取每一個值x(iP(X x) Pi ,則稱以下表格XX1X2XiXnPP1P2PiPn為隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱 X的分布列.離散型隨機(jī)變量的分布列具有下述兩個性質(zhì):(1) P0,i 1,2, ,n (2) PiP2Pn 1如果隨機(jī)變量X的分布列為則稱X服從兩點(diǎn)分布，并稱p=P(X=1)為成功概率.X01P1-PP可編輯2.超幾何分布般地，在含有 M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件xk發(fā)生的概率為:k n k0,1,2,3，m

2、P(X k) CMCN M , k CN則隨機(jī)變量x的概率分布列如下:X01mPo 0n 0CM CN MCN1n 1CMCN MCNmn mCM CN MCN其中 m min M , n，且n N, M N,n,M,N N 。注：超幾何分布的模型是不放回抽樣、條件概率般地，設(shè)A,B為兩個事件，且P(A) 0,稱P(B|A)P空)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條P(A)件概率.0 W P(B | A) < 1如果 B 和 C 互斥，那么 P(BUC)|A P(B|A) P(C | A)三、相互獨(dú)立事件 設(shè)A,B兩個事件，如果事件A是否發(fā)生對事件 B發(fā)生的概率沒有影響(即P(AB)

3、P(A)P(B),則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。即A、B相互獨(dú)立P(AB) P(A)P(B)一般地，如果事件 Ai,A2,nA兩兩相互獨(dú)立，那么這 n個事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即 P(AiA2.An) P(A)P(A2).P(An).注：(1)互斥事件：指同一次試驗(yàn)中的兩個事件不可能同時發(fā)生；(2)相互獨(dú)立事件：指在不同試驗(yàn)下的兩個事件互不影響四、n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地，在相同條件下，重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，記 A是“第i次試驗(yàn)的結(jié)果”，顯然，P(AA2An) P(A)P(Az) P(An)“相同條件下”等價于 各次試驗(yàn)的結(jié)果不會受其他

4、試驗(yàn)的影響注：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜐M足以下三方面特征第一：每次試驗(yàn)是在同樣條件下進(jìn)行；第二：各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；第三：每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的公式：一般地，在 成獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件 A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的1率為p,那么在n次 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X k) Ckpk(1 p)nk Ckpkqnk,k 0,1,2,., n.(其中 q 1 p),而稱 p 為成功概率.五、二項(xiàng)分布一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用 X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,則_ k kn kP(X k

5、) CnP (1 p) , k 0,1,2, ,nX01knPC° OnCn P q八 11 n 1CnP q八 k k n kCn P qxn n 0CnP q此時稱隨機(jī)變量 X服從二項(xiàng)分布，記作 X B(n, p),并稱P為成功概率.六、離散隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)般地，隨機(jī)變量X的概率分布列為XX1X2XiXnPP1P2PiPn則稱 E(X) Xi Pi X2P2XiPiXnPn為X的數(shù)學(xué)期望或均值，簡稱為期望 .它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平1 .若Y aX b,其中a, b為常數(shù)，則丫也是變量YaX1 baX 2 baXi baXn bPP1P2PiPn則 EY aE(X) b ,即 E(aX b) aE(X) b2 . 一般地，如果隨機(jī)變量 X服從兩點(diǎn)分布，那么E(X)=1 P 0 (1 P) P即若X服從兩點(diǎn)分布，則 E(X) P3 .若 X B(n, P),則 E(X) nP七、離散型隨機(jī)變量取值的方差和標(biāo)準(zhǔn)差般地，若離散型隨機(jī)變量 x的概率分布列為XXiX2XiXnPpip2pipn222則稱 DX (Xi E(X) Pi (X2 E(X) P2(Xn E(X) Pn 為隨機(jī)變量 X 的萬差.并稱VDX