同濟(jì)大學(xué)工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)第六版答案(全).整理版

1、第一章 行列式利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式2 0 11 -4 -1-18 32 0 1 解 1 -4 -1 -18 3=2 (-4) 3 0 (-1) (-1) 1 1 8-0 1 3-2 (-1) 8-1 (-4) (-1)-24 8 16-4-4a b c(2) b c a ； caba b c解 b c a cab=acb bac cba-bbb-aaa-ccc333=3abc-a -b -c1 C2C 1bb21a2a1 C2C 1bD1 a2a=bc2 ca2 ab2-ac2-ba2-cb2一(a-b)(b-c)(c-a)生活不會(huì)辜負(fù)努力的人二x(x y)y yx(x y) (x

2、 y)yx-y3-(x y)3-x3=3xy(x y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3-2(x3 y3)-2 .按自然數(shù)從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.求下列各排列的逆序(1)1 2 3 4解逆序數(shù)為(2)4 1 3 2解逆序數(shù)為41-43.42-32(3)3 4 2 1解逆序數(shù)為3 2- 3 1- 4 2- 4 1, 2 1(4)2 4 1 3解逆序數(shù)為2 1- 4 1- 4 3(5)1 3- (2n-1) 2 4- (2n)解逆序數(shù)為nn產(chǎn)：3 2 (1 個(gè))5 2- 5 4(2 個(gè))7 2 7 4- 7 6(3 個(gè))生活不會(huì)辜負(fù)努力的人(2n-1)2. (2n-1)4. (2n-1)6. (2n

3、-1)(2n-2) (n-1 個(gè))(6)1 3(2n-1) (2n) (2n-2)2解逆序數(shù)為n(n-1):3 2(1 個(gè))5 2. 5 4 (2 個(gè))(2n-1)2. (2n-1)4. (2n-1)6.- (2n-1)(2n-2) (n-1 個(gè))6 2(1 個(gè))7 2. 6 4(2 個(gè))(2n)2. (2n)4. (2n)6,(2n)(2n-2) (n-1 個(gè))3 寫出四階行列式中含有因子awa23的項(xiàng),解 含因子awa23的項(xiàng)的一般形式為(-1) aa23a3a4s其中rs是2和4構(gòu)成的排列這種排列共有兩個(gè)即24和42,所以含因子awa23的項(xiàng)分別是(- 1)ta11 a23a32a44

4、= (- 1)1a11 a23a32a44 =一 a11 a23a32a44(T)ta11 a23a34a42 = (_ 1)2an a23a34a42=a 11a23a34a424 .計(jì)算下列各行列式：0 4 121-1234110-0 4 112 1O- -2021 72 3041 oo4207c2+c3 9 9 10=0 0 -2 = 0 01 + 203 17 17 1410-2142 40 22 01 71 25 1411004 1 21 2 010 5 20 1 1J 234110-1122423617 202315c 2CC 4 234 1-121 2 312 L 一一-Q 一一

5、0 20 2 4236 1720 231502-04-1122 4236 17 20 2315二00 2004 230 1202 310ri -r -Q -(1)e eef ad- ucdf a-cc bJJ-abdbf-bbb11 =4abcdef .-1f adIbt池bdbf角-1 1=adfbce 1 -11 1生活不會(huì)辜負(fù)努力的人Oo1dO1 c-11b-1oa-1oo由oo 1da 1 c-1 bab-1o107 oo口 -a 一一+ -RI -oo 1dO1 CT 1b T oa-1oo 角1 + ab a= ( 1)(1)-1 c0-1c3 + dc2l + ab a ad=-

6、1 c 1 + cd 0-10=(-1)(-1)3421 tab 1 aCd =abcd+ab+cd+ad+1 .5證明:a2 ab b2. 2a a+b 2b =(a-b)3;111證明a22a1aba b1b22b1c2 - c1 a2 ab - a2 = = =2a b- ac3 - c1 10b2-a22b-2a0= (-1)31ab - a2b -ab2-a22b-2a= (b-a)(b-a)a b2a =(a-b)3.ax + by(2) ay + bz az + bxay + bz az + bx az + bx ax+by ax + by ay + bzx=(a3 b3) y

7、z證明ax by ay bz az bxay + bz az+bx az+bx ax + by ax + by ay + bzx =ay zay bz az bx ax byaz + bxax + byay+ bzy ay bz + bz az+bxx ax+byaz bx ax by ay bzx_2二 a2y zy十b2 zay bz az bx ax byaz + bx ax + by ay+ bzx= a3y zy z yz x + b3 zx+ b3yz= (a3 b3)a2 b2 c2 d2證明(a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 (d 1)2(a 2)2(b 2)2 (c 2

8、)2 (d 2)2(a +3)2(b + 3)2(c+3)2(d + 3)2(C4-C3- C3-C2- C2-Cl 得)(a2十(d2+ + + +abed21 +c21 十dI r>22 cda22a12a32a5(C4C3 c3C2 得)b22b12b32b5c22c12c32c5d22d+12d+32d+5o-2 2 2 222 22a2 2a 1b2 2b 1c2 2c 1d2 2d 12 4 1dd d 1 c/c4 1bt)2b4 1 a2a4a=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a b c d);證明2 4 1dd d 1 c/c4 1bt)2

9、b4 1 acl2a411110 b-ac-a d-a- 0 b(b-a) c(c - a) d(d-a)0 b2(b2-a2) c2(c2 - a2) d2(d2-a2)111= (b-a)(c-a)(d-a) bcdb2(b+a) c2(c + a) d2(d + a)111= (b-a)(c-a)(d -a)0c-bd-b0 c(c-b)(c + b + a) d(d - b)(d + b+a)" (b-a)(c-a)(d -a)(c - b)(d -b)c(c+b+a) d(d + b+a)=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a b c d)0-1

10、ooo- X %oo 一X1 a '+ MX -證明用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng) n=2 時(shí).D2 =x -1a2 x + a1= x2 + a1x+a2.命題成立，假設(shè)對(duì)于(n-1)階行列式命題成立.即Dn=Xn' a1 Xn?anX - an-1則Dn按第一列展開有工二乂工an(7)n1-1 x0-1= xDn.an=Xn a1Xn-1an -1X an ,因此.對(duì)于n階行列式命題成立.6 .設(shè)n階行列式D=det(aj),把D上下翻轉(zhuǎn)、或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 口、或依副對(duì)角線翻轉(zhuǎn)依次得an1" ann-D2 =a11, a1na1nannannalnD3 =allanlan1

11、" a11n(n -1)證明 D1 = D2 =(-1) 2 D D3;D證明因?yàn)镈=det(aj).所以Di 二an1" ann=(-1產(chǎn)a11 an1a11a1n= (-1)n(-1)n2aii a21 an1ain a2n anna3nn（n）= (_1) 2 (n(n-d = (-1) 2 d同理可證n(n)D2=( - 1) 2n（n）ai1an1ainannn(n -1)n(n-1)=(-1尸 DT =(-1產(chǎn) Dn（n）n（n）D3 = (- 1)k D2 = (- 1)k (- 1)k D = (- 1)n(n-1) D = D7計(jì)算下列各行列式（Dk為k階

12、行列式尸Dn =1，,其中對(duì)角線上元素都是a-未寫出的元素生活不會(huì)辜負(fù)努力的人Dnooo oo a o ao1n1OOooo+ (-1)2n a(n T) (n-1)a(nT) (n-1)都是0= (-1)n 1 (-1)nn n n-2 n-22an二a -a =a (a -1)(n2)(nN)(2)以二解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行.得Dn =x a a- x x-a a- x 0a0x-aa- x 0x- a再將各列都加到第一列上Dn 二x (n -1)a00a a x-a 00 x-a=x (n-1)a(x- a)n-1x- aaan：(a-1)n(a-1)n-1(a-n)n(

13、a - n)n-1Dn 1a-11解根據(jù)第6題結(jié)果有n(n 1)D1 = (T)21a -1n 1 aan(a-1)"(a-1)n(a-n廣(a -n)n此行列式為范德蒙德行列式生活不會(huì)辜負(fù)努力的人n(n 1)D/1 = (-1) 2 ii (a-i 1)-(a-j 1) n 1 i j _1n(n 1)=(T尸 IT -(i-j)n 1 i j_1n(n 1) n (n)力= (T) 2 (T)2(i-j)n 1 i j _1二川(i-j)n 1 i j .1anbn(4)D獷n ；cndn解anbnD2n =a1 b1(按第1行展開)c1 d1cndnan -be 0a1 h=a

14、nC1 d1dnT 00 dn0 an 1bn-1a1 b1+ (-1)哪C1 d1生活不會(huì)辜負(fù)努力的人dn-10再按最后一行展開得遞推公式D2n = andnD2n_2-bnCnD2n-2 即 D2n = (andn -bnCn)D2n-2,n于是D2n=n (adi-bq)D2,i =2而D2 = a1 b1 = a1dl - Dg .G d1n所以D2n(aidi-hCi)，i 1(5) D=det(aj) .其中 aij = |i-j|；解ajTi-j卜Dn=det(aj) =n -1- 1 o 123 1n1012 一11-112101 一111-1n-2 n-3 n-43210 )

15、111101 234- o n n n noooooooOO-2-2222 一QJ 111102G. + qn-1 2n 3 2n4 2n 5 n-1=(-1)n1n-1)2ni1 + a1(6) Dn 二11 a21其中 a1a2an=01 anc2 - c3-a20111 an0-an 1 + an1 + a111 1 + a2110 0 a2 0 -a3 a30 0 0 0= a1a2an1-1 001-100a1T00a2100a31-11an110 -11+an": “a?an=(a1a20k0a210a1anLn0 1，ai-1 i Wn 1 aw if8.用克萊姆法則解

16、下列方程組x1 x2 x3 x4 = 5(1) x1 24 - x3 4x4 = -2'2% - 3x2 - x3 - 5x4 = - 2、3x1 +x2 + 2x3+11x4 = 0解因?yàn)?111D = 1 2 -1 4 = 142 .D 2 -3 -1 -51423 1 2 1114-51111125220-112 35 111“284D1= -2 2 1 4s = -142- D2 =1 2 一3 一1 520 1 2 11112 31 5 1 2-2 4 -3 -2 -51 0 11-426 D4 =112 31 1 52 -1 2_ 3 -1 - 21 2 0二 142所以一

17、工2“ 一 D3_q “ _D4_ dx1 - -1 -1x2 - -r - 2x3 - - - 3x4- 4 - 11 D2 D3 D4 D5% 6x21x1 5x2 6x30(2) x2 5x3 6x4=0x3 5x4 6% = 0x45%=1000= -1145o 0651 0 65101 OOO1 5 1000= 1507 D2 =-39500 06 51OOO 10651 o6510 05100 o=703 D4=212x4 =665-395x4- 66500 065 00651 06 510 65 1oo 1 51000 為 =因 D角o 0065 o 06510 65106 51

18、001 OOO10006 50065 11OOO 16510 05100 o1 o o o 100651065106510051000-51145703x2 = -665 x3 = 6651507為右所以X x2 x3 = 09 問九 N取何值時(shí)齊次線性方程組'為十%十x3= 0有非X1 2 lx2 x3 = 0零解？解系數(shù)行列式為1 1 1D=1 N 1 = N-N九.1 2卜1令D=0 .得N = 0 或 1= 1 .于是當(dāng)0或九=1時(shí)該齊次線性方程組有非零解(1 - )x1 - 2x2 4x3 = 010 .問九取何值時(shí).齊次線性方程組2x1 + (3-K)x2 + % = 0%

19、 X2 (1- 痰=0有非零解？解系數(shù)行列式為1-22 3-1141九1 = 21九 1-341-101-= (1- )3 ( -3)-4(1- )-2(1- )(-3-) =(1- )3 2(1- )2 - -3令D=0.得0=0 -九=2或九=3 -于是當(dāng)"0 九=2或九=3時(shí)該齊次線性方程組有非零解第二章矩陣及其運(yùn)算1'已知線性變換為二2乂 2y2 y3X2=3y y2 5y3X3=3y2y2 3y3求從變量Xi. X2 - X3到變量yi . y2 - y3的線性變換t；3<X3) 3件2V2<y2)133) lx：y22 一 4 人丫3)y1 = -7X

20、1 -4X2 +9x3 (y2 =6X1+3x2-7X3y3 = 3X1 2X2 一 4X32已知兩個(gè)線性變換為=2%十丫3W1 = -34十馬(x2 = -2y1+3y2 + 2y3y2 = 2z1 + z3 -%=41 y2 5y3,3二 一4 3z3求從Z1 Z2 Z3到X1 - X2 - X3的線性變換解由已知3 2 丫 y；1 5 人 y2 J(2 0 1 Y-3-2 3 2 2(4 1 5人 0-1 3 Z3_ 6 12_ 4 9 | z2 I - 1-10 -1 16 人 ZJX =-6.4 3z3 所以有 X2 =12Zj -4z2 9z3 .x3 = -10Zi - Z2 1

21、6z33.設(shè) A=1 1、1 -1-1 1 )2 3、. B= -1-2 4 .求 3AB-2A 及 ATB.1J解 3AB-2A-31111-1-1 -1 -24 -21 人0 5 1；11-11 -11 ),0=3 0125 8-5 6 -29 0ATB= 1-2-241 1 Y 11 -1 -1304=013 22 -17 2029 -25 8-5 69 04 計(jì)算下列乘積4 3 1丫7(1) 1 -2 3 2 ；15 7 0 人135615 70AUf 4父7十3父2+1父1 j =|戶7+(-2尸2 + 3父1 =I 5M7+7父2+0父1 ) <49J(2) (1 2 3)

22、2 ；<1J(1 2 3) 2 =(1父3+2父2+3父1)=(10).21(-1 2)；2、1 (-132父(1) 2M 2 j 2) = 1>(-1) V2 1 -3(-1) 3M 2 ,2 1 41 -1 30.0-1214, 1 -32 11 -1<4 0-214.(5)(為(X1 X2-2 4)-1 2-3 6；6 -74 00 -1 23 4； 1 -3 1 i 120 -5x2:12a13<4-286a12a22 a23a13x1a23 I X2a33X3a12 a13a22 a23 I X2a13 a23 a33X3二 (211x1 a12X2 a13X

23、3 a12x1 222x2 223x3為213X1 + 223X2+ 233X3) X2<x3.y: a11x2 a22X2 a33x3 2al2x1X2 2al3x1X3 2a23X2X35 .設(shè) A=(1 3- B=，?.問: 1 31 2(1)AB=BA 嗎？解 AB-BA因?yàn)锳B =3 4 1 ba<4 6 b BA（32）.所以ab曲.(2)(A+B)2=A2+2AB+B2 嗎?解(A B)2: A2 2AB B2因?yàn)锳 B=222 5(A B)2f8 14)12 5人2 5J <14 29 JA2 2AB B2 )1 0 = 10 16：4撲(8隊(duì)3 4人15 2

24、71所以(A B)2=A2 2AB B2(3)(A+B)(A-B)=A2-B2 嗎？解(A B)(A-B尸A2-B2因?yàn)?AB，22 AB=02A B 2 5 A B 0 18照-睨220 汛0 6),A2 - B2 ='3 8 )1 0=/2 8；4 11J13 4 J11 7 1故(A B)(A-B產(chǎn)A2-B26 .舉反列說明下列命題是錯(cuò)誤的：(1)若 A2=0.則 A=0；解取A=(0 1則A2=0 但A=0.(2)若 A2=A,則人=0或 A=E；解取 A=(0 ；：.貝U A2=A.但 A#0 且 A#E、(3)若 AX=AY,且 AM 則 X=Y .解取A/ 1 0 8 設(shè)

25、 A= 0 九 1 求 Ak , 0). X，1). Y1 1)10 0)1 1) Y 10 1)則AX=AY-且A，0但X、7 .設(shè)A=1 0 j .求A2 A<0 0刀.Ak.1解 A2= 1 0 1 0 = 21 0 I I2 IA3=A2AJ1。丫1 0J1 0A AA 0 1八九1八3% 1廣Ak: 1 0 .A k 1解首先觀察1 1 0丫九 1 0、八2 2A2 = 0 九 1 | 0 九 1 = 0 九2、0 0 7J0 0 b10 021八23 3 2 3A = A A= 03 3 20 034 43 6 2A4 = A3 A=|0 7一4 4兒3 .10 0九4)5

26、5 4 10 3A5 = A4 A= 0 后 5兒4(0 0 九5 ,Ak =k(k-1) 32 k'k，用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)k=2時(shí)顯然成立假設(shè)k時(shí)成立，則k+1時(shí),kAk1=Ak A = 00k k(k-1) k-2 2 A必k>2 00 必|101 0、1 10(k 1),k 10k(k 1)k u2(k 1) k-1k k由k(k-1)gk'k-1小由數(shù)學(xué)歸納法原理知：k k，kAk = 0 小009 .設(shè)A.B為n階矩陣，且A為對(duì)稱矩陣，證明 BTAB也是 對(duì)稱矩陣證明因?yàn)锳T=A.所以(BTAB)T=BT(BTA) T = BTATB = BTAB 從而BTAB

27、是對(duì)稱矩陣.10 .設(shè)A.B都是n階對(duì)稱矩陣，證明AB是對(duì)稱矩陣的充分 必要條件是 AB = BA證明充分性：因?yàn)锳T=A.BT=B.且AB=BA.所以(AB)T = (BA)T=ATBT=AB即AB是對(duì)稱矩陣,必要性：因?yàn)锳T=A，BT=B，且(AB)T=AB，所以AB = (AB)T = BTAT=BA11 求下列矩陣的逆矩陣：(1) 1 2(1) 2 5生活不會(huì)辜負(fù)努力的人!1 2 |A|=1 .故A存在因?yàn)? 5 1 1生活不會(huì)辜負(fù)努力的人% %-5 -2)一*廠2 1 J1A2 A2.2)(2)f 5 -2、2 1廠A=工A* =|A|-sin1cosA= cos -sin s i

28、n cos. AI=1#0.故a”存在.因?yàn)锳1 % ；cos sin9<-sin9 cos9)所以1AA =2a* = cos sin0 13<5|A|-1、- 2 ；1 J-sin cos1A= 3 4 -2 . |A|=2#0.故 A1 存在因?yàn)? -4所以A* =(Al A21 Al f-4 2A22 A32 -A23 A33A j 工 A* =|A|-2_13216-13 6k-32 141 013 -27 110 1 -1 .-2；a1 a20(4) I(a1a2an =0)0analA I00I 由對(duì)角矩陣的性質(zhì)知an12 .解下列矩陣方程(25%(2丹1但 51 f

29、4 -6)13 -5Y4 -6/2 -2311 3J 12 1 廠1 2 人2 1 廠 10 8 廠2111-1 3 1空工七理)X=431 2) 2 1314 3 2 3=1 1 T 3-I0 J, Jy 12- 3-2 528- 3f 2 0 13 1 7 .-1 2'1 1 廠 10 -1.i ：1_11 4、3 1 Y2 0、-1 2)0 -1-1 1J=工修-4Y3 1 Y1 0) 一1211 1 人0-1 八12J1 6 6Y1 0、一1213 0 JJ 2 廣1 1)40)01<00X010X= 1<00j1c 2-4 3 0 -1 .-2 0 J3 丫1 0

30、 0-1 0 0 10 人 0 1 010Y1 -4 3 Y1 0 0)2(0 00 2 0 -1 0 0 11 人 1 -2 0 人0 1 01<1- 4，-2；13 ,利用逆矩陣解下列線性方程組x1 2x2 3x3 = 1(1) 2% 2x2 5% = 23x1 5x2 x3 = 3解方程組可表示為123x1122 5x2=235 1x33x =1從而有X2 = 0X3 = 0(2) 2x1-x2-3x3=13x1 2% - 5x3 = 0方程組可表示為'1 -1 1、x1'； '2、2 21 或。<3 2-5 ；x =5故有x2 =0x3 = 314

31、.設(shè) Ak=O (k 為正整數(shù)).證明(E-A)-1 = E+A+A2+,一+Ak-1 .證明 因?yàn)锳k=O .所以E-Ak=E,又因?yàn)镋-Ak=(E-A)(E A A2Ak-1)所以(E-A)(E A A2Ak-1) = E由定理2推論知(E-A)可逆且-12k 1(E-A) 1 = E A A2Ak 1 證明 一方面.有E=(E-A)(E-A).另一方面.由Ak=O.有E = (E-A) (A-A2) A2-Ak-1 (Ak,-Ak)=(E A A2Ak')(E-A)故 (E-A)(E-A) = (E A A2Ak-1)(E-A)兩端同時(shí)右乘(E_A)1 就有(E-A)(E-A)

32、= E A A2Ak，15 .設(shè)方陣A滿足A2-A-2E=O.證明A及A+2E都可逆.弁 求A”及(A+2E),.證明由A2-A-2E=O得A2-A=2E.即 A(A-E)=2E，或 A；(A-E) = E由定理2推論知A可逆且A" = ：(A-E),由 A2-A-2E=O 得A2-A-6E=-4E. W(A+2E)(A-3E)=-4E-或 (A 2E) 1(3E-A) = E4由定理2推論知(A+2E)可逆且(A+2E)T=：(3E-A)，證明 由A2-A-2E=O得A2-A=2E .兩端同時(shí)取行列式得|A2-A| = 2即|A|A-E|=2故網(wǎng)0所以A可逆.而A+2E=A2. A

33、+2E|=Aj=|A|2#0.故A+2E也可逆.由A2-A-2E = O= A(A-E) = 2E二 AA(A-E)=2A-1E= A=2(A- E)又由 A2-A-2E = O- (A 2E)A-3(A 2E) = -4E=(A 2E)(A-3E) = -4 E所以 (A 2E)A 2E)(A-3E) = - 4(A 2 E) 一1(A + 2E)= 4(3E-A) .16 .設(shè)A為3階矩陣.網(wǎng)=2 求|(2A)-1-5A*|.解因?yàn)锳A* .所以|A|(2A)-5A*h|1A-5|A|A|=|A-1-2A-1|= |-2A-1h(-2)3A-1h-8|Ar1-8 2-1617,設(shè)矩陣 A可

34、逆.證明其伴隨陣 A*也可逆.且(A*)力外-1)*證明由A-=°A* -得A* = |A|A，所以當(dāng)A可逆時(shí)有網(wǎng)|A*| WAIqA*。從而A*也可逆，因?yàn)锳* = |A|A，所以(A*)= |A|,A又 A = r(A,)*=|A|(A)* .所以|A (A*) 一1 = |A|A= |A1|A|(A)* =(A,)* .18 ,設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A* .證明：(1)若|A卜0 .則 |A*|=0；(2)|A*|=|A|n，證明(1)用反證法證明.假設(shè)|A*產(chǎn)0.則有A*(A*)-1=E.由此得A=A A*(A*) = |A|E(A*) -1=0所以A*=0,這與|A*產(chǎn)0

35、矛盾,故當(dāng)|A|=0時(shí)，有|A*|=0.(2)由于A =A* -則AA*=|A|E.取行列式得到 |A|A|A*|=|A|n,若 |A|#0.則 |A*|=|A|n-1；若|A|=0 .由(1)知|A*|=0 .此時(shí)命題也成立.因此 |A*| =|A|n' .10 3 3，19 設(shè) A= 1 1 0 AB=A+2B-求 B<-1 2 3)解 由 AB=A+2E 可得(A-2E)B=A-故B = (A-2E)A =r-2 3 3TYo1L13、0Q0 = -13) 11”320 ,設(shè) A= 0 2 0 .且 AB+E=A2+B.求 B.J 0 1J解由AB+E=A2+B得 (A-E

36、)B=A2-E 即(A-E)B = (A-E)(A E)0 0 1因?yàn)閨A-E|=0 1 0 = -1#0.所以(A-E)可逆.從而 1 0 0201、B = A+E= 0 3 0 , J 0 2J21 設(shè) A=diag(1 2. 1).A*BA=2BA-8E.求 B.解 由 A*BA=2BA-8E 得(A*-2E)BA=-8E B-8(A*-2E)-1A-1= -8A(A*-2E)1 8(AA*-2A).1 8(|A|E-2A)T 8(-2E-2A)-1=4(E A)-1 =4diag(2-1- 2)-111= 4diag(2, -1, 2)=2diag(12.1).22,已知矩陣A的伴隨陣

37、A* =101<00 0 01 0 00 10-3 0 8且ABA'=BA'+3E.求B.解由 A*|=|A|3=8.得四=2.由 ABA1=BA1+3E 得AB=B 3A_ 一 一 -B=3(A-E) 1A=3A(E-A 1) 1A= 3(E-2A*) = 6(2E-A*)-11 0 00 1 0-1 0 1<0 3 0000-6;606<006030 00 06 00 -123 ,設(shè) P“AP八廿 1 _ 4 i A _ 1 0 ; A 11其中P =1 1卜a =、0 2求A由 p1AP=A.得 A=PApT.所以 A11= A=pA11p1.|P|=3

38、 P* = 1 4p-1 = 1 1 41P13P.11P 3 -1 -1I 00 21111上11 = 一1 00 21 43 3 - 2731 27321 _1-683 -6843 3q i 1r-124 .設(shè) AP=PA.其中 P= 1 0-2.a=1J -1 iJI5求(A)=A8(5E-6A A2).解 (a) = a8(5E-6a a2)= diag(1 1 58)diag(5 5 5)-diag(-6 6 30) diag(1 1 25)= diag(1 1 58)diag(12 0 0) = 12diag(1 0 0).(A) = P (上產(chǎn)一1P G)P*1|P|10-2 0

39、-11 人01Y10Y-20 -30A-1_ 2 - 20 32 -U11 n= 4111d 1125 .設(shè)矩陣A、B及A+B都可逆.證明AfB”也可逆弁求其逆陣證明因?yàn)锳-1(A B)B-1=B-1 A-1=A-1 B-1而A”(A+B)B-1是三個(gè)可逆矩陣的乘積所以A-1(A+B)B-1可逆 即A7 + B-可逆(A- B)t = AT(A B)BTT = B(A B)726-計(jì)算100<01 02 001003 12 -1-2 30-3；解設(shè) A=(02),為= (0316=("> B2=dOB11rA AB + 民】B2 。AA JAB + W-依 0-3H2所以

40、&B2 =(21 y-210 3人 03 - -4 3-30-9OiOB1 r B2A AB + B2)9AA )100221005 22 -4-4 30 -91210 103112520101012-1 '012-40021 00-23100-43A B. |A| |BC D |C| |D '<0003人000-3J<000-9J27.取 A=B = -C = D = 0 0)驗(yàn)證1 0-101 01 001012 0 0 0 0. 2 -0 O -10 10 0-1012 onr1 oo 2|A| |B|C| |DU0網(wǎng)|B|C| |D28,設(shè)ATO2

41、0 I-求|A8|及 a4,2 2(3 4、八 _i' 2 0、<4 -3,J, A2 一12 2),A* O) O AA8. A O 8一 A8 OAOA O A8|A8|=|A8II咽 TAIAJ8=1016,'A4 O-54 00 54A4O24 0 '26 24J29 .設(shè)n階矩陣A及s階矩陣B都可逆.求OA-1B O1倒C4）則、幾O A以B O由此得所以O(shè) ACiB OC3AC,IJEn O)BC2J <O Es/C2 .C4 一AC3 = En AC4=O = BC1=O BC2 = EsO A ' B O-1-1 A o o B -

42、3 4 12 c c c c1設(shè)AO喧D：1則(A O YD1 D2 AD1 AD2 E=fEn O、(C B 大D3 D4S + BD3 CDz + BD廠工O EJ由此得所以AD產(chǎn) En AD2=O CD1 BD3 = O CD? BD4 = EsD1 = A-1D2 = OD3 = -B/CAR=B1"（AO A O lc BJ 一BCABJ520930.求下列矩陣的逆陣 2 0 01 0 00 8 30 5 2；解設(shè)A=（2aB嚕3）則-1-1A，52)/1 -2L B83)/2 -3).12 1J <-2 5)©2/5 8J-1-5200.1-200于是2

43、10 0J'A ; JA -250 00 0 8 3 I BJ IBl002 -3|<0 0 5 2；1 0 0 -5 8)1 0 0 012 0 02 13 0<1 2 1 4J解設(shè) A=(12)B=141C=(22"-11 0 0 01200|JAO、J A O 2 13 0 - IC B J 一BCAB刃J 2 1 4J1-12二 1一 21< 8240 0I0 01031 112 4)第三章矩陣的初等變換與線性方程組1.把下列矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣110 2 -n（1） 2 0 3 1<3 0 4 -3；10 2 -T2 0 31 （下一步：22

44、）1/3犬_3）門，）1 0<0、3 0 4 -3 ,0 2-10 -13 （下一步：2子（一1）J3+（2）.）0-2 010 2 -T.! 0 0 1 -3 （下一步：r3T2.）2 0 1 0J10 2 -T 0 0 1 -3 （下一步：33）< 0 0 0 310 2T' 0 0 1 一3 （下一步：r243r3 .）< 0 0 0 1 ）102 -1' 0 0 10 （下一步 了1十（一2）2 J 1Ht3 .）9 0 0 1）1000、 0010'< 0001J0 2-3n（2） 0 3 -4 3 ；、0 4-7-1,p 2 -3 1

45、、解 0 3 43 （下一步：2父2寸的1/3穴-2）1.）9 4 -7 -10 2-3 1、 0 013 （下一步：r34r2143r2,）0 0 -1 -3；0 2 0 10、 0 0 1 3 （下一步：產(chǎn)2 ,）、0 0 0 00 1 0 50 0 1 3卜、0 0 0 0 J-1 3 -4 3-3 5-4 113-2 3 -2 0-3 4 -2 -1J1 -1 33-3 52-2 313 -3 4- 4- 4-2-231-1J:2-31 .3-2門 J4-3r1 J100<03 -43488.一36 一6 （下一步：r2丁（Y）/3?。ㄒ?） .r（5）-5 10 10100<03111-4-2-2-22):1-3r213214一2 ,)1 -1 0 2 -3001-220 0 00 02133 12 0-2 8-3 7<0 0 00