開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù).

1、開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù) 開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù)是根據(jù)教育部制訂的普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)) 選修系列4第10個(gè)專題“開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù)”的要求編寫(xiě)的，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的要求,教科書(shū)以開(kāi)關(guān)電路設(shè)計(jì)為背景引入一種類似數(shù)的對(duì)象并引入這些對(duì)象之間的運(yùn)算.因?yàn)?在初中物理中,我們都學(xué)習(xí)了基本電路串聯(lián)電路和并聯(lián)電路，已經(jīng)熟悉了這些電路的基本功能, 也能熟練地利用這些電路搭建較為復(fù)雜的電路，那么能不能用數(shù)學(xué)來(lái)幫助我們刻畫(huà)這些現(xiàn)象呢?于是,我們將對(duì)這種新的運(yùn)算系統(tǒng)進(jìn)行探討,得出類似于“數(shù)的運(yùn)算”的各種性質(zhì)，最后應(yīng)用這個(gè)數(shù)學(xué)理論, 徹底解決開(kāi)關(guān)電路的設(shè)計(jì)問(wèn)題，這就是本專題將要解決的問(wèn)題.本專題以設(shè)計(jì)由三人控制一個(gè)電燈的電路為

2、背景，從開(kāi)關(guān)電路設(shè)計(jì)，提出一個(gè)具體問(wèn)題，將電路設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)化為電路代數(shù)和電路多項(xiàng)式，再數(shù)學(xué)地研究電路和電路多項(xiàng)式，完全解決最初提出的問(wèn)題,完整地給出一個(gè)電路代數(shù)的數(shù)學(xué)模型，這也是布爾代數(shù)的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用,從中可感受到數(shù)學(xué)化的抽象過(guò)程，以及數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用價(jià)值.一、背景知識(shí)介紹布爾代數(shù)又稱邏輯代數(shù)，正是以它的創(chuàng)立者英國(guó)數(shù)學(xué)家喬治.布爾（G.Boole）而命名.1815年生于倫敦的布爾家境貧寒，父親是位鞋匠，無(wú)力供他讀書(shū).他的學(xué)問(wèn)主要來(lái)自于自學(xué).年僅12歲，布爾就掌握了拉丁文和希臘語(yǔ)，后來(lái)又自學(xué)了意大利語(yǔ)和法語(yǔ).16歲開(kāi)始任教以維持生活，從20歲起布爾對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚興趣，廣泛涉獵著名數(shù)學(xué)家牛頓、拉普拉斯

3、、拉格朗日等人的數(shù)學(xué)名著，并寫(xiě)下大量筆記.這些筆記中的思想，1847年被用于他的第一部著作邏輯的數(shù)學(xué)分析之中.1854年，已經(jīng)擔(dān)任柯克大學(xué)教授的布爾再次出版思維規(guī)律的研究邏輯與概率的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ).以這兩部著作，布爾建立了一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科.l      在布爾代數(shù)里，布爾構(gòu)思出一個(gè)關(guān)于0和1的代數(shù)系統(tǒng)，用基礎(chǔ)的邏輯符號(hào)系統(tǒng)描述物體和概念.這種代數(shù)不僅廣泛用于概率和統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域，更重要的是，它為今后數(shù)字計(jì)算機(jī)開(kāi)關(guān)電路設(shè)計(jì)提供了最重要數(shù)學(xué)方法.l      布爾一生發(fā)表了50多篇科學(xué)論文、兩部教科書(shū)和兩

4、卷數(shù)學(xué)邏輯著作.為了表彰他的成功，都柏林大學(xué)和牛津大學(xué)先后授予這位自學(xué)的成才的數(shù)學(xué)家榮譽(yù)學(xué)位，他還被推選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員. 開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù)的關(guān)系信息論的創(chuàng)始人克勞德·香農(nóng)（C. E. Shannon）對(duì)現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)的產(chǎn)生和發(fā)展有重要影響，是電子計(jì)算機(jī)理論的重要奠基人之一，1938年，香農(nóng)發(fā)表了著名的論文繼電器和開(kāi)關(guān)電路的符號(hào)分析，首次用布爾代數(shù)進(jìn)行開(kāi)關(guān)電路分析，并證明布爾代數(shù)的邏輯運(yùn)算，可以通過(guò)繼電器電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，明確地給出了實(shí)現(xiàn)加，減，乘，除等運(yùn)算的電子電路的設(shè)計(jì)方法.這篇論文成為開(kāi)關(guān)電路理論的開(kāi)端l      香農(nóng)在貝爾實(shí)驗(yàn)

5、室工作中進(jìn)一步證明，可以采用能實(shí)現(xiàn)布爾代數(shù)運(yùn)算的繼電器或電子元件來(lái)制造計(jì)算機(jī)，香農(nóng)的理論還為計(jì)算機(jī)具有邏輯功能奠定了基礎(chǔ)，從而使電子計(jì)算機(jī)既能用于數(shù)值計(jì)算，又具有各種非數(shù)值應(yīng)用功能，使得以后的計(jì)算機(jī)在幾乎任何領(lǐng)域中都得到了廣泛的應(yīng)用.l      1840年取得了博士學(xué)位，香農(nóng)在AT&T貝爾實(shí)驗(yàn)室里度過(guò)了碩果累累的15年.他用實(shí)驗(yàn)證實(shí)，完全可以采用繼電器元件制造出能夠?qū)崿F(xiàn)布爾代數(shù)運(yùn)算功能的計(jì)算機(jī).1948年，申龍又發(fā)表了另一篇至今還在閃爍光芒的論文通信的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)， 從而給自己贏來(lái)“信息論之父”的桂冠.l   

6、;1956年，他參與發(fā)起了達(dá)特默斯人工智能會(huì)議，成為這一新學(xué)科的開(kāi)山鼻祖之一.他不僅率先把人工智能運(yùn)用于電腦下棋方面，而且發(fā)明了一個(gè)能自動(dòng)穿越迷宮的電子老鼠，以此證明計(jì)算機(jī)可以通過(guò)學(xué)習(xí)提高智能.l   計(jì)算機(jī)運(yùn)行的時(shí)候，程序就象一系列或真或假的命題，當(dāng)命題進(jìn)入電路時(shí)，按布爾代數(shù)他們將電路打開(kāi)或關(guān)閉，例如當(dāng)兩個(gè)真的命題進(jìn)入一個(gè)電路時(shí).電路打開(kāi)，但是當(dāng)一個(gè)真的命題和一個(gè)假的命題進(jìn)入一個(gè)電路時(shí)，電路關(guān)閉，利用布爾代數(shù)，我們就可以把數(shù)以百計(jì)的電路結(jié)合起來(lái)，并編寫(xiě)出充滿想象力的計(jì)算機(jī)應(yīng)用程序. l 今天，布爾代數(shù)已成為我們生活中的一部分，因?yàn)槲覀兊钠嚒⒁繇?、電視和其它用?/p>

7、中都有計(jì)算機(jī)技術(shù)，它幾乎無(wú)處不在，無(wú)所不能.實(shí)際上大多數(shù)人還沒(méi)有意識(shí).二、開(kāi)關(guān)電路 開(kāi)關(guān)電路就是由開(kāi)關(guān)經(jīng)多次并聯(lián)、串聯(lián)與反演所得到的電路. 每一開(kāi)關(guān)有兩種狀態(tài):通和不通,每一電路也有兩種狀態(tài): 通和不通.下面將用小寫(xiě)英文字母表示開(kāi)關(guān), 大寫(xiě)英文字母表示電路, 但由一個(gè)開(kāi)關(guān)a組成的電路，仍記作a.并聯(lián)和串聯(lián)電路我們?cè)诔踔芯鸵?jiàn)過(guò)了，已經(jīng)很熟悉了，現(xiàn)簡(jiǎn)單說(shuō)下電路的反演，它就是指在開(kāi)關(guān)a“通”時(shí)，電路A的狀態(tài)是“不通”，開(kāi)關(guān)a“不通”時(shí)，電路A的狀態(tài)是“通”，這樣的電路在物理上是可以實(shí)現(xiàn)的. 一般地對(duì)任意電路A , B 也可經(jīng)并聯(lián),串聯(lián)或反演得到新的電路,它們順序記作“A 并聯(lián)B”、“A串聯(lián)B”、“A

8、 的反演”. 原來(lái)A 、B 的狀態(tài)與這些新作成的電路的狀態(tài)之間的關(guān)系列表如下:電路A 電路B A并聯(lián)B通 通 通通 不通 通不通 通 通不通 不通 不通電路A 電路B A串聯(lián)B通 通 通通 不通 不通不通 通 不通不通 不通 不通電路A A 的反演通 不通不通 通  我們已很習(xí)慣數(shù)學(xué)中常用的符號(hào)化方法. 只要把上面各表中的狀態(tài)“通”、“不通”用簡(jiǎn)單符號(hào)表示,就能大大簡(jiǎn)化. 我們借用數(shù)字“1”表示“通”,借用數(shù)字“0”表示“不通”. 當(dāng)然在這里“1”,“0”已失去原來(lái)的數(shù)字意義, 只是代表“通”,“不通”.我們?cè)龠M(jìn)一步符號(hào)化, 而將用“+”表示“并聯(lián)”,用“·”表示“串聯(lián)”,

9、用“- ”表示“反演”,這樣A + B 就是“A 并聯(lián)B”, A ·B 就是“A 串聯(lián)B”, 就是“A 的反演”,于是我們就有:A B A + B1 1 11 0 10 1 10 0 0A B A ·B1 1 11 0 00 1 00 0 0A 1 00 1現(xiàn)在來(lái)看看經(jīng)過(guò)這些符號(hào)化后，我們能得什么.任何一個(gè)電路，例如A（如圖），可表成一個(gè)“代數(shù)”式：當(dāng)然每一個(gè)類似上面這樣由一些小寫(xiě)字母（表示開(kāi)關(guān)）經(jīng)“+”,“·”,“- ”, 以及適當(dāng)?shù)睦ㄌ?hào)連接起來(lái)的式子也給出一個(gè)電路來(lái).欲知電路A 的效應(yīng),例如當(dāng)a = 1 (開(kāi)關(guān)a 處于“通”狀態(tài)) , b = 0 , c =

10、1 , d = 1 時(shí)A 的狀態(tài)是什么,只把這些值代入上面的式子, 按照上表提供的規(guī)則進(jìn)行計(jì)算一下便得,這就是:( (1 ·0) + (1 ·1) ) + 1 = (0 + 1) + 0 = 1 +0 = 1 ,即此時(shí)A 的狀態(tài)是“通”.在本節(jié)最后,我們提出下面一個(gè)具體問(wèn)題:設(shè)計(jì)一個(gè)使三個(gè)人控制一個(gè)電燈的電路. 也就是說(shuō),設(shè)計(jì)一個(gè)由三個(gè)開(kāi)關(guān)a , b , c 組成的電路A = f ( a , b , c) 使得任一開(kāi)關(guān)狀態(tài)的改變都使電路A = f ( a , b , c) 的狀態(tài)改變, 即實(shí)現(xiàn)下表效應(yīng)的電路Aa b c A = f ( a , b , c)0 0 0 00

11、0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1 這是電路設(shè)計(jì)最基本最重要的問(wèn)題:實(shí)現(xiàn)我們所要求效應(yīng)的電路. 我們將在下一節(jié)完全解決這一問(wèn)題.三 布爾(Boole) 代數(shù)1.布爾代數(shù)在上一節(jié)開(kāi)關(guān)電路的介紹之后, 在數(shù)學(xué)中引入下面定義就是水到渠成的事了:定義1 設(shè)集合B = 0 ,1 . 在集合B 上規(guī)定三個(gè)運(yùn)算,分別記作“+”(加) ,“·”(乘) ,“- ”(非) ,如下：+ : 0 + 0 = 0 0 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1·: 0 ·0 = 00 ·1 = 01 ·

12、0 = 01 ·1 = 1- : = 1= 0集合B 連同這三個(gè)運(yùn)算一起B(yǎng) = 0 ,1 , + , ·,- 稱之為布爾代數(shù). 把新定義的布爾代數(shù)和我們熟悉的整數(shù)系相對(duì)比. 這里的B = 0 ,1 相當(dāng)于整數(shù)集Z= 0 , ±1 , ±2 , , B 的加法“+”(“·”) 可和Z 的加(乘) 法對(duì)比. B 中還有運(yùn)算“- ”,這是Z 中沒(méi)有的. 這一簡(jiǎn)單對(duì)比使我們想到數(shù)的加法,乘法適合交換律, 結(jié)合律, 還有乘法對(duì)加法的分配律, 而這些算律在我們進(jìn)行計(jì)算時(shí)提供很大方便. 現(xiàn)在來(lái)看一看,這些算律對(duì)布爾代數(shù)是否成立.和初中代數(shù)中用字母a , b

13、, c , ,代數(shù)任意數(shù)一樣, 我們對(duì)布爾代數(shù)B 也引入變?cè)猘 , b , c , ,但這里該提醒的是:B 上的變?cè)荒艽鞡 中的元素,即0 或1.今證布爾代數(shù)中加法, 乘法適合交換律和結(jié)合律,即證在B 中有:a + b = b + a , a ·b = b ·a( a + b) + c = a + ( b + c) , （1）( a ·b) ·c = a ·( b ·c)在數(shù)學(xué)證明之前,我們看一下( a ·b) ·c = a ·( b ·c) 在開(kāi)關(guān)電路中說(shuō)明什么.( a ·b)

14、·c 可解釋為開(kāi)關(guān)電路,而a ·( b ·c) 可解釋為開(kāi)關(guān)電路. 一眼就看出,這兩個(gè)電路是等效的,這說(shuō)明( a ·b) ·c = a ·( b ·c) . 你可以把這個(gè)說(shuō)明看成B 中乘法適合結(jié)合律的“物理證明”, 也可以把這個(gè)電路背景的說(shuō)明看成是物理上強(qiáng)烈支持這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果,因而仍需要一個(gè)數(shù)學(xué)證明. 下面給出( a ·b) ·c = a ·( b ·c) 的數(shù)學(xué)證明,這就是驗(yàn)算,當(dāng)a , b , c 取B = 0 ,1 中任意值時(shí), ( a ·b) ·c 都等于a

15、·( b ·c) ,這可從下表中看出a b c ( a ·b) ·c a ·( b ·c)0 0 0 (0 ·0) ·0 = 0 ·0 = 0 0 ·(0 ·0) = 0 ·0 = 00 0 1 (0 ·0) ·1 = 0 ·1 = 0 0 ·(0 ·1) = 0 ·0 = 00 1 0 (0 ·1) ·0 = 0 ·0 = 0 0 ·(1 ·0) = 0 ·

16、;0 = 00 1 1 · ·1 0 0 · ·1 0 1 · ·1 1 0 · ·1 1 1 (1 ·1) ·1 = 1 ·1 = 1 1 ·(1 ·1) = 1 ·1 = 1這里我們嚴(yán)格地按照定義1 中的規(guī)定進(jìn)行討論的,在數(shù)學(xué)上定義1 是我們對(duì)布爾代數(shù)B 進(jìn)行討論的唯一依據(jù).類似地可以給出(1) 中其它三個(gè)等式的數(shù)學(xué)證明(以及“物理證明”) .把布爾代數(shù)與數(shù)系相對(duì)比,數(shù)系還提示我們:應(yīng)該考慮考慮乘法對(duì)加法的分配律是否在布爾代數(shù)B 中也成立,有趣的是,不

17、但在B 中a ·( b + c)= a ·b + a ·c 成立,并且也有加法對(duì)乘法的分配律, a + ( b ·c) = ( a + b) ·( a + c) ,它們的數(shù)學(xué)證明以及“物理證明”我們類似可以一樣地完成.把布爾代數(shù)與開(kāi)關(guān)電路相聯(lián)系, 物理也會(huì)給我們一些啟示,那樣一些等式在布爾代數(shù)B 中可能是對(duì)的,例如,兩個(gè)開(kāi)關(guān)a 并聯(lián)和由一個(gè)開(kāi)關(guān)a作成的電路是等效的,這提示我們a + a = a 在B中該是對(duì)的, 類似地a ·a = a 在B 中也該是對(duì)的.下面定理匯集了布爾代數(shù)中常用的基本等式:定理1 在布爾代數(shù)B = 0 ,1 ,

18、+ , ·,-中下列等式成立;1) a + b = b + a (加法交換律) ,a ·b = b ·a (乘法交換律) ;2) ( a + b) + c = a + ( b + c) (加法結(jié)合律) ,( a ·b) ·c = a ·( b ·c) (乘法結(jié)合律) ;3) a ·( b + c) = a ·b + a ·c (乘法對(duì)加法的分配律) ,a + ( b ·c) = ( a + b) ·( a + c) (加法對(duì)乘法的分配律)4) a + 0 = a , a &#

19、183;1 = a ,a + 1 = 1 , a ·0 = 0 ;5) a + a = a (加法的冪等律) ,a ·a = a (乘法的冪等律) ;6) ;7) , ；8) ， 證明6) 的證明:當(dāng)a = 0 時(shí), ，而當(dāng)a=1時(shí)，.故當(dāng)a取任意值時(shí)，都有 .6）得證 7）的證明如下表a b 0 0 = 1 + 1 = 10 1 = 1 + 0 = 11 0 = 0 + 1 = 11 1 = 0 + 0 = 0其它的證明類似都可完成. 這里很多定律，特別是5），和數(shù)的運(yùn)算規(guī)則很不一樣，但在布爾代數(shù)中卻是成立的.2.布爾多項(xiàng)式 把布爾代數(shù)B 上的一些變?cè)约? 和1 用布爾

20、代數(shù)B 的三個(gè)運(yùn)算逐次運(yùn)算(合理聯(lián)結(jié)) 起來(lái)的式子,就叫做布爾多項(xiàng)式.例如等等都是布爾多項(xiàng)式，但，例如卻不是布爾多項(xiàng)式，因?yàn)樗皇呛侠砺?lián)結(jié)起來(lái)的，對(duì)它我們無(wú)法逐次進(jìn)行運(yùn)算.下面我們來(lái)說(shuō)明什么時(shí)候兩個(gè)布爾多項(xiàng)式是相等的，我們規(guī)定：兩個(gè)布爾多項(xiàng)式相等，當(dāng)且僅當(dāng)其中變?cè)《ㄈ我庵禃r(shí)，這兩個(gè)布爾多項(xiàng)式的值相等.也就是說(shuō)，我們是從“函數(shù)觀點(diǎn)”來(lái)看待他們相等，而不管它們形式上是否一樣，例如布爾多項(xiàng)式和是相等的.我們知道，在中學(xué)討論數(shù)系上的多項(xiàng)式時(shí)有兩個(gè)問(wèn)題，一是化簡(jiǎn)（去括號(hào)、合并同類項(xiàng)等），二是標(biāo)準(zhǔn)形式.先來(lái)說(shuō)多項(xiàng)式的化簡(jiǎn)，化簡(jiǎn)時(shí)每一步只能根據(jù)定理1中的各種算律，不能有一點(diǎn)馬虎.為了方便，我們約定“先乘后

21、加”，“略去乘號(hào)”，并將隨時(shí)隨地使用結(jié)合律、交換律.根據(jù)冪等律，永遠(yuǎn)可用a代替aa，因而化簡(jiǎn)后,可使乘積中同一因子只出現(xiàn)一次, 類似地, 化簡(jiǎn)時(shí)可用a 代替a + a ,因而在求和時(shí)可認(rèn)定每一加項(xiàng)只出現(xiàn)一次,根據(jù)定理1 中4) ,布爾多項(xiàng)式在化簡(jiǎn)后沒(méi)有“常數(shù)項(xiàng)”,因?yàn)槿簟俺?shù)項(xiàng)”是0 ,則可略去;若它是1 ,則整個(gè)布爾多項(xiàng)式就等于1 了,所以除布爾多項(xiàng)式本身是0 或1 外,可認(rèn)定它們沒(méi)有“常數(shù)項(xiàng)”,類似地,我們可認(rèn)定每一乘積前是沒(méi)有“系數(shù)”的.作為舉例, 我們來(lái)化簡(jiǎn)上面第二個(gè)布爾多項(xiàng)式.下面我們來(lái)考慮布爾多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)形式，還是以上面布爾多項(xiàng)式為例，該多項(xiàng)式涉及a,b,c三個(gè)變?cè)?，化?jiǎn)結(jié)果雖已得

22、“積之和”的形式，但這些乘積項(xiàng)中有的只出現(xiàn)兩個(gè)變?cè)踔林缓粋€(gè)變?cè)?，很不整齊，我們希望每一乘積項(xiàng)三個(gè)變?cè)砍霈F(xiàn)，利用定理1，特別是及a ·1 = a，這是可以辦到的，作法如下：這樣，這個(gè)三個(gè)變?cè)猘,b,c的布爾多項(xiàng)式就化成“和之積”的形式且在每一乘積項(xiàng)中三個(gè)變?cè)几鞒霈F(xiàn)一次，即得到這個(gè)布爾多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)形式.從這個(gè)例子我們看到每個(gè)布爾多項(xiàng)式都可以化成標(biāo)準(zhǔn)形式.由 , , 中各取一個(gè)元素作成的乘積共個(gè)，除上式中最后一個(gè)式子所出現(xiàn)的7 個(gè)外,還有一個(gè),就是,而三元布爾多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)形式就是從這8 個(gè)乘積中取出一部分作和而得,這樣,三元布爾多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)形式共有個(gè)(取全部8 個(gè)乘積作和而得到

23、的布爾多項(xiàng)式,你將知道,就是布爾多項(xiàng)式1 , 而一個(gè)乘積都不取的情況, 我們把它理解為布爾多項(xiàng)式0) , 一般地我們有, n 個(gè)變?cè)紶柖囗?xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)形式的個(gè)數(shù)是. 直接按照兩個(gè)布爾多項(xiàng)式相等的定義去判斷布爾多項(xiàng)式的相等,就得進(jìn)行大量的驗(yàn)算,很麻煩,在這里標(biāo)準(zhǔn)形式提供極大的方便,因?yàn)槲覀冇卸ɡ? 兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式的布爾多項(xiàng)式相等當(dāng)且僅當(dāng)它們具有完全相同的形式.這樣,只需把它們化成標(biāo)準(zhǔn)形式,再看看這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式是不是完全一樣就可判斷它們是否相等,方便多了.至此我們對(duì)布爾代數(shù)的“代數(shù)”部分的討論暫告一段落.下面我們來(lái)討論布爾代數(shù)上的函數(shù)布爾函數(shù).定義2 以布爾代數(shù)B 上n 個(gè)變?cè)獂1 , x2 ,xn

24、為自變量, 且在B = 0 ,1 中取值的函數(shù)f (x1 , x2 ,xn)稱為n 元布爾函數(shù).例如在§1 最末的那個(gè)表就給出一個(gè)三元布爾函數(shù). 我們知道數(shù)系上的n 元函數(shù)多得不得了,復(fù)雜的不得了,而n 元多項(xiàng)式函數(shù)只是其中非常特殊的一小部分.然而對(duì)布爾代數(shù)上的n 元布爾函數(shù)情況就簡(jiǎn)單多了,熟悉排列組合的同學(xué)可以很快算出,共有個(gè)不同的n 元布爾函數(shù),這樣由定理2 , n 元布爾多項(xiàng)式的個(gè)數(shù)也是,所以每一個(gè)n 元布爾函數(shù)都可以用n 元布爾多項(xiàng)式去實(shí)現(xiàn),這就等于說(shuō),每一布爾函數(shù)都可以用一個(gè)開(kāi)關(guān)電路實(shí)現(xiàn), 然而實(shí)際上我們必需要知道, 對(duì)給定的n 元布爾函數(shù)究竟是哪個(gè)n 元布爾多項(xiàng)式能實(shí)現(xiàn)它

25、, 這是該進(jìn)一步要解決的問(wèn)題.下面我們直接、徹底地解決用n 元布爾多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)n 元布爾函數(shù)的問(wèn)題, 并且不依賴于上面這個(gè)計(jì)數(shù)結(jié)果,通過(guò)1 末這個(gè)具體例子來(lái)說(shuō)明,它是一個(gè)三元布爾函數(shù),其定義域由8個(gè)形如( a , b ,c) 的點(diǎn)組成, 并且要求在( a , b , c) = (0 ,0 ,1) ,(0 ,1 ,0) , (1 ,0 ,0) , (1 ,1 ,1) 處布爾函數(shù)f ( a , b , c)取值1 ,在其它處f ( a , b , c) 取值0.如果我們會(huì)造一個(gè)布爾多項(xiàng)式,它在一點(diǎn)說(shuō)是(0 ,0 ,1) 上取值1 ,而在其余點(diǎn)上取值0 ,則一切問(wèn)題就解決了; 只要把取值為1 的各點(diǎn)相應(yīng)的這種布爾多項(xiàng)式加起來(lái)就行了, 找到這樣的布爾多項(xiàng)式是很容易的; 就是,它只當(dāng)a = 0 , b = 0 ,c = 1時(shí)取值1 ,而在其它情形, a , b , c 中必至少有一個(gè)是0 ,因而其乘積 必是0 ,這樣在(0 ,0 ,1) 上取1 ,在其余點(diǎn)上取0 的布爾多項(xiàng)式是 ;在(0 ,1 ,0) 上取1 ,在其余點(diǎn)上取0 的布爾