2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（廣東卷）理數(shù)-含答案

1、絕密啟用前2013年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學（理科）本試卷共4頁,21小題,滿分150分.考試用時120分鐘注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色筆跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆講試卷類型（A）填涂在答題卡相應的位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新

2、的答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4.作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做題的題組號對應的信息點，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。5.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將試題與答題卡一并交回。參考公式：臺體的體積公式V=13(S1+S2+S1S2)h,其中S1，S2分別表示臺體的上、下底面積，h表示臺體的高。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合M=xx2+2x=0,xR,N=xx2-2x=0,xR,則MN=A. 0B. 0，2C. -2,0D-2,0,22.定義域為R的四個函數(shù)y=x

3、3,y=2x,y=x2+1,y=2sinx中，奇函數(shù)的個數(shù)是A. 4B.3C. 2D.13.若復數(shù)z滿足iz=2+4i，則在復平面內(nèi)，z對應的點的坐標是A. （2,4）B.（2,-4）C. (4,-2)D(4,2)4.已知離散型隨機變量X的分布列為XX P123P35310110則X的數(shù)學期望E（X）=A. 32B. 2C. 52D35某四棱太的三視圖如圖1所示，則該四棱臺的體積是 A4 B143 C163 D66設m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題中正確的是 A若，m，n ，則m n B若，m，n，則mn C若m n，m ，n ，則 D若m ，mn，n，則7已知中心在原點的雙

4、曲線C的右焦點為F（3，0），離心率等于，則C的方程是 Ax24 - y25 = 1 Bx24 - y25 = 1 Cx22 - y25 = 1 Dx22 - y25 = 18.設整數(shù)n4，集合X=1，2，3，n。令集合S=（x,y,z）|x，y，zX，且三條件x<y<z,y<z<x，z<x<y恰有一個成立，若（x，y，z）和（z，w，x）都在s中，則下列選項正確的是A.（y，z，w）s，（x，y，w）S B.（y，z，w）s，（x，y，w）S C. （y，z，w）s，（x，y，w）S D. （y，z，w）s，（x，y，w）S 二、填空題：本大題共7小題，考

5、生作答6小題，每小題5分，滿分30分。（一）必做題（913題）9.不等式x2+x-2<0的解集為 。10.若曲線y=kx+lnx在點（1，k）處的切線平行于x軸，則k= 。11.執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，若輸入n的值為4，則輸出s的值為 。12，在等差數(shù)列an中，已知a3+a8=10，則3a5+a7=_13給定區(qū)域：.令點集T=|(x0,y0)D|x0,y0Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點，則T中的點共確定_條不同的直線。（二）選做題（14-15題，考生只能從中選做一題）14（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），C在點（1,1）處的切線為

6、L，一座標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標，則L的極坐標方程為_.15.（幾何證明選講選做題）如圖3，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D是BC=CD，過C作圓O的切線交AD于E。若AB=6，ED=2，則BC=_.三、解答題：本大題共6小題，滿分80分，解答需寫出文字說明。證明過程和演算步驟。16.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（1）求f（-）的值；（2）若cos=，E（，2），求f（2+）。17（本小題滿分12分）某車間共有12名工人，隨機抽取6名，他們某日加工零件個數(shù)的莖葉圖如圖4所示，其中莖為十位數(shù)，葉為個位數(shù)。（1） 根據(jù)莖葉圖計算樣本均值；（2） 日加工零件個數(shù)大于樣

7、本均值的工人為優(yōu)秀工人。根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人？（3） 從該車間12名工人中，任取2人，求恰有1名優(yōu)秀工人的概率18（本小題滿分4分）如圖5，在等腰直角三角形ABC中，A =900 BC=6,D,E分別是AC，AB上的點，CD=BE=2，O為BC的中點.將ADE沿DE折起，得到如圖6所示的四棱椎A-BCDE，其中AO=3（1） 證明：AO平面BCDE；（2） 求二面角A-CD-B的平面角的余弦值19.（本小題滿分14分） 設數(shù)列的前項和為.已知,.（1）求a2的值（2）求數(shù)列an的通項公式a1（3） 證明:對一切正整數(shù),有.20.(本小題滿分14分)已知拋物線c的頂點為

8、原點，其焦點F（0，c）（c0）到直線L:x-y-2=0的距離為322 . 設P為直線L上的點，過點P做拋物線C的兩條切線PA，PB,其中A,B為切點。（1） 求拋物線C的方程；（2） 當點P（x0，y0）為直線L上的定點時，求直線AB的方程；（3） 當點P在直線L上移動時，求|AF|·|BF|的最小值21.（本小題滿分14分）設函數(shù)f（x）=（x-1）ex-kx2（kR）.(1) 當k=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；(2) 當k（,1時，求函數(shù)f（x）在0,k上的最大值M.參考答案一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分題號12345678A卷DCCABDBB二、 填

9、空題:本大題共7小題，每小題5分，滿分30分。其中14-15題是選做題，考生只能選做一題。9.（2,1）10. 111. 712. 2013. 614.（+）15. 2三、 解答題:本大題共6小題，滿分80分。解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟。16.解：（1）（）=（）=×2=1 （2）=，2=-= （+）=（+-）=（+） =- =×（）××（）× = 17. 解：（1）樣本均值=(17+19+20+21+25+30)=22 （2）從莖葉圖知，6名工人中有2名為優(yōu)秀工人，由此推斷該車間12名工人中，有優(yōu)秀工人： ×12=4（人

10、） （3）記:任取2人中恰有1名優(yōu)秀員工的事件為A，則 P（A）=18.證明: (1)設F為ED的中點，連接OF,AF,計算得AF=2，OF=1 AF為等腰ADE底邊的中線，AFDEOF在原等腰ABC底邊BC的高線上，OFDE又AF，OF平面AOF, AFOF=F,DE平面AOFAO平面AOF, DEAO在AFO中，A+=3+1=,AOOF OFDE=F,OF平面BCDE,DE平面BCDE, AO平面BCDE (2)解法一：如答圖1，過O作CD的垂線交CD的延長線于M，連接AM AO平面BCDE,CD平面BCDE, CDAO OMAO=O, CD平面AOM AM平面AOMCDAM AMO為所求

11、二面角的平面角 在RtOMC中，OM=, AO= 于是在RtAOM中，AM= AOM= 解法二:如答圖2，以O為原點，分別以為x,y,z軸正方向，建立直角坐標系。于是A(0，0，) ,D(1，-2，0)設n=(x,y,z)為平面ACD的一個法向量，則n n于是 故 ，取n=(-1,1,-)再取平面BCDE的一個法向量m=(0,0,1)設n與m的夾角為，則由答圖2可知，二面角A-CD-B的平面角的余弦值為19. 解：(1)依題意,又,所以；（2）時, 兩式相減得 整理得,即,又 故數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,所以,所以. (3)當時,；當時,； 當時,此時 綜上,對一切正整數(shù),有.20.解：(1)依題意,設拋物線的方程為,由結(jié)合,解得. 所以拋物線的方程為. (2)拋物線的方程為,即,求導得設,(其中),則切線的斜率分別為,所以切線的方程為,即,即同理可得切線的方程為因為切線均過點,所以,所以為方程的兩組解.所以直線的方程為.(3)由拋物線定義可知,所以聯(lián)立方程,消去整理得由一元二次方程根與系數(shù)的關系可得,所以又點在直線上,所以,所以所以當時, 取得最小值,