2017年海南省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(全國新課標(biāo)ⅱ)

1、2017年海南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國新課標(biāo)n）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選 項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。3+Z1. （5 分）=（）1+1A. 1+2i B. 1 2iC. 2+i D. 2 i2. （5 分）設(shè)集合 A=1, 2, 4, B=x|x2-4x+m=0.若 AAB=1,則 B=（）A. 1, -3B. 1,0 C. 1,3 D. 1, 53. （5分）我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的

2、2倍，則塔的頂層共有燈（）A, 1盞B, 3盞C, 5盞D. 9盞4. （5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三 視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為f2x + 3y-3<05. （5分）設(shè)x, y滿足約束條件，2, 一3尸+3之0,則z=2x+y的最小值是（）j + 30A. - 15B. - 9 C. 1 D. 96. （5分）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人 完成，則不同的安排方式共有（）A. 12 種 B. 18 種 C. 24 種 D. 36 種7. （5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老

3、師詢問成語競賽的成績.老師說： 你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看內(nèi)的成 績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息， 則（）A.乙可以知道四人的成績 B. 丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績8. （5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的 a=- 1 ,則輸出的S=（）A. 2 B. 3C. 4 D. 5x2 y29. （5分）若雙曲線C：/-/=1（a>6 b>S的一條漸近線被圓（x- 2） 2+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為（A. 2 B 個(gè)3 C.一 D 310. （

4、5 分）已知直三棱柱 ABC- A1B1G 中，/ABC=120, AB=2, BC=CC=1,則異面直線AB與BC所成角的余弦值為（）而VisVioV5A B C.D 2S5311. (5分)若x=-2是函數(shù)f (x) = (x2+ax-1) ex1的極值點(diǎn)，則f (x)的極小值為()12. (5分)A. - 1 B. - 2e 3 C. 5e 3 D. 1已知 ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則pM的最小值是（34A. - 2 B. -C. - D. - 123二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. （5分）一批產(chǎn)品的二等品率為 0.02,從這批產(chǎn)品中每

5、次隨機(jī)取一件，有放 回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù)，則 DX=._3 n14. （5 分）函數(shù) f （x） =si孑x+、京cosx-二（x 0,二）的最大值是.4215. （5分）等差數(shù)列a的前n項(xiàng)和為Sn, a3=3, 3=10,貝U決1 .=.16. （5分）已知F是拋物線C: y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y 軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN| =.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求 .作答.(一)必考題：共60分。B17. (12 分) ABC的

6、內(nèi)角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,已知 sin(A+C) =8sin" .2(1)求 cosB;(2)若a+c=6, ABC的面積為2,求b.18. (12分)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲 時(shí)各隨機(jī)抽取了 100個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg),其頻率分布 直方圖如圖：.(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件歸養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的多!產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量 50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3

7、)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精 確到0.01).n(ad-bc)2K2=附：P (K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828(a+力“+d)(a+c)0+d)19. (12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面1ABCD AB=BC=AD, / BAD=/ABC=90, E是 PD的中點(diǎn).(1)證明：直線CE/平面PA®(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M - AB - D的余弦值.20. (12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C: y+

8、y2=1 ±,過M作x軸的垂線，垂足為n,點(diǎn)p滿足必=/加(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；-t (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且0P?PQ=1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.21. (12 分)已知函數(shù) f (x) =ax2- ax - xlnx,且 f (x) > 0.(1)求 a；(2)證明：f (x)存在唯一的極大值點(diǎn)xo,且e 2<f (xo) <2 2.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選彳4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程(10分)22. (10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的

9、正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線Ci的極坐標(biāo)方程為p cos 0 =4(1) M為曲線Ci上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足| OM|?| OP| =16,求點(diǎn)P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；7T(2)設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2, 一)，點(diǎn)B在曲線 最上，求4OAB面積的最大值. 3選彳4-5:不等式選講(10分)23.已知 a>0, b>0, a3+b3=2.證明：(1) (a+b) (a5+b5) >4;(2) a+b<2.,.2017年海南省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國新課標(biāo)n ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選 項(xiàng)中，只

10、有一項(xiàng)是符合題目要求的。A. 1+2i B. 1 2i C. 2+i D. 2 i【分析】分子和分母同時(shí)乘以分母的共腕復(fù)數(shù)，再利用虛數(shù)單位i的幕運(yùn)算性質(zhì), 求出結(jié)果.3+1(3+0(l-i) 4-2i【解答】解:=2 l+i (1+0(1-9 2故選D.【點(diǎn)評】本題考查兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的幕運(yùn)算性質(zhì)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時(shí)乘以分母的共腕復(fù)數(shù).3. （5分）我國古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題：遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了 381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的 2倍，則塔的頂層共有燈（） . 1盞

11、B. 3盞C. 5盞D. 9盞【分析】設(shè)這個(gè)塔頂層有a盞燈，由題意和等比數(shù)列的定義可得：從塔頂層依次 向下每層燈數(shù)是等比數(shù)列，結(jié)合條件和等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式列出方程，求出a的化【解答】解：設(shè)這個(gè)塔頂層有a盞燈， 寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍， 從塔頂層依次向下每層燈數(shù)是以 2為公比、a為首項(xiàng)的等比數(shù)列，又總共有燈381盞，a（l-27） .381=127a,解得 a=3,1-2則這個(gè)塔頂層有3盞燈，故選B.【點(diǎn)評】本題考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用， 屬于基礎(chǔ)題.4. （5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三 視圖，該

12、幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（ ）【分析】由三視圖可得，直觀圖為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為 6的圓柱的一半， 即可求出幾何體的體積.【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為 6的圓柱的 一半，1V=Tt ?3x 10 一?九?3x 6=63兀,2故選：B.【點(diǎn)評】本題考查了體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.；2x + 3y-3<05. （5分）設(shè)x, y滿足約束條件，2, 一3尸+3 2 0,則z=2x+y的最小值是（）j + 3>0A. - 15B. - 9 C. 1 D. 9【分析】畫出約束條件的可行域，利用目

13、標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最小值即可.（2x + 3y-3<0【解答】解：x、y滿足約束條件lr-3y+3 2 0的可行域如圖： G + 3>0z=2x+y經(jīng)過可行域的A時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，由R一:“八解得A（ 6， 3）， （2x-3y+3 = 0則z=2x+y的最小值是:-15.故選：A.二 JCi、【點(diǎn)評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力.6. （5分）安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人 完成，則不同的安排方式共有（）A. 12 種 B. 18 種 C. 24 種 D. 36 種【分析】把工作分成3組，然后安排工作方式即可.

14、【解答】解：4項(xiàng)工作分成3組，可得：Cj=6,安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，可得：6X*=36種.故選：D.【點(diǎn)評】本題考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用， 注意分組方法以及排列方法的區(qū)別， 考 查計(jì)算能力.7. （5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績.老師說： 你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看內(nèi)的成 績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息， 則（）;.A.乙可以知道四人的成績 B. 丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績【分析】根據(jù)四人所知只有

15、自己看到，老師所說及最后甲說話，繼而可以推出正 確答案【解答】解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，甲不知自己的成績一乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會知道自己的成績；若是兩良，甲也會知道自己的成績）一乙看到了丙的成績，知自己的成績一丁看到甲、丁也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績，給甲看乙丙成績，甲不知道自已的成績，說明乙丙一優(yōu)一良，假定乙丙都是優(yōu)，則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優(yōu)，那么甲就知道自已的成績了 .給乙看內(nèi) 成績，乙沒有說不知道自已的成績，假定丙是優(yōu)，則乙是良，乙就知道自己成績.給 丁看甲成績，因?yàn)榧撞恢雷约撼煽儯冶且粌?yōu)一良，則甲丁也是一優(yōu)一良，丁看到甲成績，假定甲是優(yōu)

16、，則丁是良，丁肯定知道自已的成績了 故選：D.【點(diǎn)評】本題考查了合情推理的問題，關(guān)鍵掌握四人所知只有自己看到， 老師所 說及最后甲說話，屬于中檔題.8. （5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的 a=- 1,則輸出的S=（）【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的 S, K值，當(dāng)K=7時(shí)，程序終 止即可得到結(jié)論.【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有S=0, K=1, a=- 1,代入循環(huán),第一次滿足循環(huán)，S=- 1, a=1, K=2;滿足條件，第二次滿足循環(huán)，S=1, a=- 1, K=3;滿足條件，第三次滿足循環(huán)，S=- 2, a=1, K=4;滿足條件,第四次滿足循環(huán),S=2 a= - 1,K

17、=5;滿足條件，第五次滿足循環(huán)，S=- 3, a=1, K=6;滿足條件，第六次滿足循環(huán)，S=3, a=- 1, K=7;K<6不成立，退出循環(huán)輸出S的值為3.故選：B.【點(diǎn)評】本題主要考查了程序框圖和算法，屬于基本知識的考查，比較基礎(chǔ).#29. （5分）若雙曲線C：3-G=1（a>。，b>0）的一條漸近線被圓（x- 2） 2+y2=4所截得的弦長為2,則C的離心率為（）_26A. 2 B 寸 C. 一 D 3【分析】通過圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關(guān)系式，然后求解雙曲線的離心率即可.r2 y2、【解答】解：雙曲線C: -=1 （a>0, b>0）的一條漸

18、近線不妨為：bx+ay=0, CL士 匕上圓（X- 2） 2+y2=4的圓心（2, 0）,半徑為：2, 22a；雙曲線C: -7-77=1 （a>0, b>0）的一條漸近線被圓（X- 2） 2+y2=4所截得的 ar 產(chǎn)弦長為2,1 l 2&可得圓心到直線的距離為：f二寺，4。2-4（? 一 一 0解得： /= 3,可得e =4,即e=2.故選：A.【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.10. （5 分）已知直三棱柱 ABC- A1BC1 中，/ABC=120, AB=2, BC=CC=1,則異面直線ABi與BC所成角的余弦值為（）近Vis

19、Vio近A BC.D 2 S53【分析】【解法一】設(shè)M、N、P分別為AB, BBi和B1C1的中點(diǎn)，得出ABi、BG 夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角；根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出AC、MQ, MP和/ MNP的余弦值即可.【解法二】通過補(bǔ)形的辦法，把原來的直三棱柱變成直四棱柱，解法更簡潔.【解答】解：【解法一】如圖所示，設(shè) M、N、P分別為AB, BBi和3G的中點(diǎn)，則AB、BCi夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角71（因異面直線所成角為（0, 一）, 2可知 MN= AB=, 121 <2NPhBG;2 2作BC中點(diǎn)Q,則4 PQM為直角三角形;1PQ=1, MQ=-AC, 2 ABC中，

20、由余弦定理得AC2=AB2+BC2 - 2AB?BC?coS ABC1=4+1 - 2X2X1 X （- 一） 二7,AC=7,二 MQ=； 2在AMQP 中，MP=1 23 位 mqIp 正丁在APMN中，由余弦定理得MN2 NP2-PM2cos/ MNP= 一 一. 2-MH-NP2X7T5 ）又異面直線所成角的范圍是（0,一, 上AB與BG所成角的余弦值為 二丁.【解法二】如圖所示,.補(bǔ)成四棱柱ABCA AiBiCiDi,求/BGD即可;BG=V2, BD，2? +E) 2X 2 X 1 X W56QG =6,CiD=G,8C/+BD2=C 工 D?, ./ DBC=90°,也

21、Viocos/ BCi D=.Vs 5,.也考查了空間中【點(diǎn)評】本題考查了空間中的兩條異面直線所成角的計(jì)算問題, 的平行關(guān)系應(yīng)用問題，是中檔題.11. (5分)若x=-2是函數(shù)f (x) = (x2+ax-1) ex 1的極值點(diǎn)，則f (x)的極小值為()A. - 1 B. - 2e 3 C. 5e 3 D. 1【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點(diǎn)，求出 a,然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解 函數(shù)的極小值即可.【解答】解：函數(shù)f (x) = (x2+ax-1) ex 1,可得 f' (x) = (2x+a) ex 1+ (x2+ax 1) ex 1,x=- 2是函數(shù)f(x) = (x2+ax-

22、1) ex-1的極值點(diǎn)，可得：-4+a+ (3-2a) =0.解得a= - 1.可得 f' (x) = (2x 1) ex 1+ (4 x 1) ex 1,=(x2+x-2) ex 1,函數(shù)的極值點(diǎn)為：x=- 2, x=1,當(dāng)x<-2或x> 1時(shí)，f'(x) >0函數(shù)是增函數(shù)，x (-2, 1)時(shí)，函數(shù)是減函 數(shù)，x=1 時(shí)，函數(shù)取得極小值：f(1)=(12-1-1)e11 = - 1.故選：A.【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考 查計(jì)算能力.12. （5分）已知 ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則因？的

23、最小值是(34A. - 2 B. 一 C. 一 D. - 123【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公 式進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以 BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 A (0, V3), B ( - 1, 0), C (1, 0),TW設(shè) P (x, y),則因=(-x, V3-y), p/(1 x, - y), p£= (1 -x, - y),t T t _看 3則陷？(P8+PC)=2x2-2v3y+2y2=2x2+ (y-y) 2-仃33二當(dāng)x=0, y=-時(shí)，取得最小值2X ( - -)=-, 242故選：B【點(diǎn)評】本題主要考查

24、平面向量數(shù)量積的應(yīng)用， 根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo) 法是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13. (5分)一批產(chǎn)品的二等品率為 0.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放 回地抽取100次.X表示抽到的二等品件數(shù)，則 DX= 1.96 .【分析】判斷概率滿足的類型，然后求解方差即可.【解答】解：由題意可知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中,p=0.02, n=100,WJ DX=npq=np (1 - p) =100X0.02X0.98=1.96.故答案為：1.96.【點(diǎn)評】本題考查離散性隨機(jī)變量的期望與方差的求法，判斷概率類型滿足二項(xiàng) 分布是解

25、題的關(guān)鍵.3n的最大值是_J14. (5 分)函數(shù) f (x) =sin2x+V3cosx-二(x 0,二) 42【分析】同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【解答】解：f (x) =sin2x+V3cosx-7二1 - cos2x+v3 cosx二,令 cosx=t且 t C 0, 1貝J y=_t2+、gt+_=_ （t-） 2+1, 42當(dāng) t="時(shí)，f max=1,即f（X）的最大值為1 ,故答案為：1【點(diǎn)評】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題【分析】利用已知條件求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后化簡所求的表達(dá)式，求解15. （5分）等差數(shù)列a

26、n的前n項(xiàng)和為&, 83=3, 3=10,則£匕即可.【解答】解：等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn, as=3, 3=10, 8=2（82+03） =10,可得a2=2,數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差為1,E+l） 1211&=7, U而（行，故答案為:則.=2 (1 )=n+1n+1n+111 2n2nn+1【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的求和，裂項(xiàng)消項(xiàng)法求和的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.16. （5分）已知F是拋物線C: y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線交y 軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則| FN| = 6 .【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出 M坐標(biāo)，然后求解即可.【解答】解：

27、拋物線C: y2=8x的焦點(diǎn)F （2, 0）, M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長線 交y軸于點(diǎn)N .若M為FN的中點(diǎn)， 可知M的橫坐標(biāo)為：1,則M的縱坐標(biāo)為:|FN|二2|FM|二2 一 .二_ :=6.故答案為：6.【點(diǎn)評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題：共60分。217. (12 分) ABC的內(nèi)角 A, B, C的對邊分別為 a, b, c,已知 sin(A+C) =8sin" .(1)求 cosB;(2)若a

28、+c=6, ABC的面積為2,求b.【分析】(1)利用三角形的內(nèi)角和定理可知 A+C=l B,再利用誘導(dǎo)公式化簡sinB(A+C),利用降幕公式化簡8sin2_,結(jié)合sin2B+cos B=1,求出cosB, £8(2)由(1)可知sinB,利用勾面積公式求出ac,再利用余弦定理即可求出 17b.B【解答】解：(1) sin (A+C) =8sin=,2sinB=4 (1 cosB), sin2B+cos2B=1, .16 (1-cosB) 2+cos2B=1, .16 (1-cosB) 2+cos2B-1=0, .16 (cosB- 1) 2+ (cosB- 1) (cosBM)

29、=0,(17cosB- 15) (cosB- 1) =0,15 cosB=;17?8(2)由(1)可知 sinB=j,;.1&abc=-ac?sinB=217二 ac=-、b2=a2+c2 - 2accosB=a+c2 - 2 x 一義 2 17=a2+c2 - 15= (a+c) 2 - 2ac- 15=36 - 17-15=4,b=2.【點(diǎn)評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理， 三角形的面積公式，二倍角公式和同 角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題18. (12分)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了 100個(gè)網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg),其頻

30、率分布 直方圖如圖：(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件歸養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg,新養(yǎng)殖法的多!產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：箱產(chǎn)量 50kg箱產(chǎn)量50kg舊養(yǎng)殖法新養(yǎng)殖法(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值(精 確到0.01).附:P (K2>k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828“Qd-加 y(口+b)(c+d)(n+Q0+d)【分析】(1)由題意可知：P (A) =P (B。=P (B) P (C),分布求得發(fā)生的頻率

31、，即可求得其概率;(2)完成2X2列聯(lián)表：求得觀測值，與參考值比較，即可求得有 99%的把握認(rèn) 為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：(3)根據(jù)頻率分布直方圖即可求得其中位數(shù).【解答】解：(1)記B表示事件 舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事件 新 養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，由 P (A) =P (B。=P (B) P (C),貝力日養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量彳氐于 50kg: (0.012+0.014+0.024+0.034+0.040) X 5=0.62,故P (B)的估計(jì)值0.62,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于 50kg: (0.068+0.046+0.010+0.008) X 5=0.66,故P (C)的

32、估計(jì)值為，則事件 A 的概率估計(jì)值為 P (A) =P (B) P (C) =0.62X 0.66=0.4092;A發(fā)生的概率為0.4092;(2) 2X2列聯(lián)表：箱產(chǎn)量 50kg箱產(chǎn)量50kg總計(jì)舊養(yǎng)殖法6238100新養(yǎng)殖法3466100總計(jì)96104200200(62X66- 38X34)2 則工=100X100X96X104 15.705由 15.705 6.635,有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；(3)由新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖的面積:(0.004+0.020+0.044) X 5=0.34,箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為：(0.004+

33、0.020+0.044+0.068) X 5=0.68> 0.5,0.5-0.34故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值為：50+= 52.35 (kg),0.068新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值 52.35 (kg).【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查計(jì)算能力，屬 于中檔題.19. (12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面1ABCD AB=BC=AD, / BAD=/ABC=90, E是 PD的中點(diǎn).(1)證明：直線CE/平面PAR(2)點(diǎn)M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°,求二面角M -AB - D的余弦值.

34、【分析】(1)取PA的中點(diǎn)F,連接EF, BF,通過證明CE/ BF,利用直線與平面 平行的判定定理證明即可.(2)利用已知條件轉(zhuǎn)化求解 M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解 二面角M - AB- D的余弦值即可.【解答】(1)證明：取PA的中點(diǎn)F,連接EF, BF,因?yàn)镋是PD的中點(diǎn)，111所以 EF|另AD, AB=BC=AD, / BAD=/ ABC=90 , . BC/ -AD,.BCEF1平行四邊形，可得 CE/ BF, BF?平面PA0 CE?平面PA0,宜線CE/平面PA®(2)解：四棱錐P ABCD中，1側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面 ABCD AB=BC

35、=AD,2/BAD=/ ABC=90, E是 PD的中點(diǎn).取AD的中點(diǎn)O, M在底面ABCD上的射影N在OC上，設(shè)AD=2,則AB=BC=1OP煙. / PCO=60,直線BM與底面ABCD所成角為45°,可得:BN=MN, CNMN,3BC=1,.22可得：1+-BN2=BN2, BNl, MN=1, 322作 NQLAB于 Q,連接 MQ, AB±MN,所以/MQN就是二面角M-AB- D的平面角，MQ=/1* +而=T1日5二面角M - AB- D的余弦值為：-F=.yio a2【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法,考查空間想象能力以及

36、計(jì)算能力.20. (12分)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C: ：+y2=1上，過M作x軸的垂線，垂足為N,點(diǎn)P滿足期=仞的(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線x=-3上，且0p?PQ=1.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.【分析】(1)設(shè)M (xo, yo),由題意可得N (xo, 0),設(shè)P (x, y),運(yùn)用向量的 坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合M滿足橢圓方程，化簡整理可得 P的軌跡方程；(2)設(shè)Q ( - 3, m), P (夜cos%逝sin狐(0& a<2冗)，運(yùn)用向量的數(shù)量積 的坐標(biāo)表示，可得 m,即有Q的坐標(biāo)，求得橢圓的左焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得OQ, PF的斜率，由兩直

37、線垂直的條件：向量數(shù)量積為 0,即可得證.【解答】解：(1)設(shè)M (xo, yo),由題意可得N (x0, 0),設(shè)P (x, y),由點(diǎn)P滿足np=2nm 可得(x- xo, y) =2 (。，yo),可得 x - xo=o, y=；2yo,代入橢圓方程+y2=1,可得 + =1,22 2即有點(diǎn)P的軌跡方程為圓x2+y2=2;(2)證明:設(shè) Q ( - 3, m), P (近c(diǎn)os 的 物sin 供,(0< a<2 兀),0P?PQ=1,可得(出 cos 劣立sin > ? (3也cos q m -2 sin > =1,即為一3也cos a 2cos2 a+v2msi

38、n 曠 2sin2 a =1當(dāng)a=0寸，上式不成立，則0< a< 2冗,3(1+岳麗解得m=二2sina3(1+依os山即有 Q (- 3,),2sina3(1+V2costt)橢圓:-+y2=1的左焦點(diǎn)F ( - 1, 0),由：？ ；=(- 1也cos %-V2sin 在？( - 3,=3+3COS3(1 +歷cos a =0.可得過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.另解：設(shè) Q (-3, t), P (m, n),由0p?PQ=1,可得(m, n) ?(3m, t - n) = - 3m - m2+nt n2=1,又P在圓x2+y2=2上，可得m2+n2=2,即有 nt

39、=3+3m,又橢圓的左焦點(diǎn)F (T, 0), .；?'=(-1 - m, n) ?( 3, t) =3+3m nt =3+3m - 3 - 3m=0,T T則P卜。Q， 可得過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法和向量的加減運(yùn)算， 考 查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用和直線的斜率公式， 以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩直 線垂直的條件：向量數(shù)量積為 0,考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.21. (12 分)已知函數(shù) f (x) =ax2- ax - xlnx,且 f (x) > 0.,.(1)求 a；(2)證明：f (x)存在唯一的極大值

40、點(diǎn)xo,且e 2<f (xo) <2 2.【分析】(1)通過分析可知f (x) >0等價(jià)于h (x) =ax- a- lnx>0,進(jìn)而利用11h' (x) =a-一可得h (x) min=h (_),從而可得結(jié)論； xa(2)通過(1)可知 f (x) =x 令 t'(x) =o,解得：x=- - x- xlnx,記 t (x) =f'(x) =2x- 2 - lnx,解不等式可知t (x) min=t (-) =ln2- 1<0,從而可知f'(x) =0存在兩根xo, x2,利用 211f (x)必存在唯一極大值點(diǎn)xo及xo<

41、;-可知f (xo) <-,另一方面可知f (xo) > 24【解答】(1)解：因?yàn)?f (x) =ax - ax -xlnx=x (ax alnx) (x>o),i貝U f (x)o 等價(jià)于 h (x) =ax- a - lnx>o,求導(dǎo)可知 h' (x) =a-. x則當(dāng)a&o時(shí)h' (x) <o,即y=h (x)在(o, +00)上單調(diào)遞減，所以當(dāng) xo>1 時(shí)，h (xo) < h (1) =o,矛盾，故 a>o.11因?yàn)楫?dāng) o<x<一時(shí) h'(x) <o、當(dāng) x>一時(shí) h'

42、(x) >o, aa1所以h (x) min=h,)， a又因?yàn)?h (1) =a- a- ln1=o,1所以一二1,解得a=1； a(2)證明：由(1)可知 f (x) =x2 - x - xlnx, f' (x) =2x- 2 - lnx,1令 f' (x) =o,可得 2x 2 lnx=o,記 t (x) =2x- 2- lnx,貝U t ' (x) =2 ,x1 1所以t (x)在區(qū)間(0,-)上單調(diào)遞減，在(+8)上單調(diào)遞增，2 21所以 t (x) min=t (-) =ln2-1<0,從而 t (x) =0 有解，即 f'(x) =0

43、存在兩根 2x0 5 x2 ?且不妨設(shè)f'(x)在(0, xo)上為正、在(xo, x2)上為負(fù)、在(x2, +00)上為正，所以f (x)必存在唯一極大值點(diǎn)x0,且2x0 - 2 - lnx0=0,所以 f (x0)=*3 -x0- x0lnx0=Xfl2 - x0+2x0 - 2X=x0 - XD2 ,1111由 x0V一可知 f (x0)< (x0M2) max=- -+ ；222 2 411 1由 f ' (一)<0可知 x0<一< 一 ,ee 21所以f (x)在(0, x°)上單調(diào)遞增，在(x°,-)上單調(diào)遞減，e1 1所以 f (x0)>f (_)=；綜上所述，f (x)存在唯一白極大值點(diǎn)x0,且e 2<f (x0) <2 2.【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于難題.