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文檔簡介
1、第12章 矢量分析 宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律1.設:直角坐標系中,標量場 u xy yz zx的梯度為A,貝y m (1, 1, 1)處A=2ex2ey2eza 02. 已知矢量場 A 2(y z) 務 4 xy 2 e?z xz,則在 M( 1,1, 1 )處 A _ 。3.亥姆霍茲定理指出,若唯一地確定一個矢量場(場量為A),則必須同時給定該場矢量的旋度 A 及散度 A4. 寫出線性和各項同性介質(zhì)中場量 D、D E, B H , J E程):5. 電流連續(xù)性方程的微分和積分形式分別為E、B、H、J所滿足的方程(結構方sJdS6.設理想導體的表面 A的電場強度為E、磁場強度為 B,則(a) E
2、、B皆與A垂直。(b) E與A垂直,B與A平行。(c) E與A平行,B與A垂直。(d) E、B皆與A平行。答案:B7.兩種不同的理想介質(zhì)的交界面上,(A)E1E2 , H1H2(B)E1nE2n,HmH2n(C)E1tE2t ,H1tH2t(D)E1tE2t ,HmH2n答案:C8.設自由真空區(qū)域電場強度E eyE0sin(3t BZ(V/m),其中 Eq、3、B為常數(shù)。則空間位移電流密度 Jd (A/m2)為:(a) eyE°cos( wt 卩(c) ey w 0 E0 cos( wt B)9. 已知無限大空間的相對介電常數(shù)為r0、d為常數(shù)。則x d處電荷體密度(b) y wE0
3、cos( wt B Z(d) e BEcos(wt B) 答案:Cx4,電場強度 E eX ocos (V/m) 2d為:其中(a)(b)(c)(d)答案:d10. 已知半徑為Ro球面內(nèi)外為真空,電場強度分布為R。3 (? 2 cos r? sin )e sin )(rRo)(rRo)求(1)常數(shù)B; (2)球面上的面電荷密度;(3)球面內(nèi)外的體電荷密度。Sol. (1)球面上由邊界條件E2t得:si n2 sin B2R;RoRo(2)由邊界條件D1nD2ns得:so( E1nE2n)o (E1rE2r)6 ocosRo(3)由D得:E1(r2Er)1(E sin )o(rRo)oo 2 r
4、o .rr si no(rRo)即空間電荷只分布在球面上。11. 已知半徑為Ro、磁導率為的球體,其內(nèi)外磁場強度分布為2(? cos? sin )(rRo)HAc3(©2cosr? sin )(rRo)且球外為真空。求(1)常數(shù)A ; (2)球面上的面電流密度Js大小Sol.球面上(r=Ro) : Hr為法向分量;H為法向分量(1)球面上由邊界條件BinB2n得:Hir0 H 2r-Ro0(2)球面上由邊界條件Hit H 2t J s得Js (Hi H2 )|r Ro(2)sino第3章 靜電場及其邊值問題的解法1.靜電場中電位與電場強度E的關系為分別為©和)的分界面上,電
5、位滿足的邊界條件為;在兩種不同的電介質(zhì)(介電常數(shù)22n 。2.設無限大真空區(qū)域自由電荷體密度為P,則靜電場:3.電位和電場強度E滿足的泊松方程分別為4.介電常數(shù)為的線性、各向同性的媒質(zhì)中的靜電場儲能密度為Wm 1 E22 5.對于兩種不同電介質(zhì)的分界面,電場強度的 切向 分量及電位移的 法向 分量總是連續(xù)的。6.如圖,E1、E2分別為兩種電介質(zhì)內(nèi)靜電場在界面上的電場強度,30°,60°,I 巳E2 |.37.理想導體與電介質(zhì)的界面上,表面自由電荷面密度s與電位沿其法向的方向?qū)?shù)的n關系為8.如圖,兩塊位于x = 0和x = d處無限大導體平板的電位分別為0、Uo,其內(nèi)部充滿
6、體密度ex d )的電荷(設內(nèi)部介電常數(shù)為)。(1)利用直接積分法計算 0<x <d區(qū)域的電位 及電場強度E ; (2) x = 0處導體平板的表面 電荷密度。Sol.為一維邊值問題:(x)O"X邊界條件:(1)直接積分得:9.Sol.10.Sol.d2 dx2(X0(x) (e0E(x)(2)由-n0)x20x(1 e0(Xd)e?xd-dxs得:sd)d) U。g(ex00U0r如圖所示橫截面為矩形的無限長直導體槽,)xx)U。dx1 d2d°E(x)1(1 d)內(nèi)填空氣。已知側(cè)壁和底面的電位為零,而頂蓋的電位為 Vo。寫出導體槽內(nèi)電位所滿足的微分方程及其邊
7、界條件,并利用直角坐標系分離變量法求出該導體槽內(nèi)的電位分布。(略)見教材第82頁例3.6.1如圖所示,在由無限大平面和突起的半球構成的接地導體上方距離平面為 電荷q0。利用鏡像法求z軸上z > a各點的電位分布。d處有一個點空間電荷對導體表面上部空間場分布的影響等效于:無限大接地導體平面 +接地導體球邊界條件:平面平面球面 0引入鏡像電荷:zd, qq。引入鏡像電荷:2a孑q12a|z |z軸上z > a各點的電位:使球面ZiZ2a2a7, q2q0|z d |qiq2q。4 01|z d|z 乙2a32 ,24z d a11.已知接地導體球半徑為 Ro ,在x軸上關于原點(球心)
8、對稱放置等量異號電荷 +q、-q ,位置如圖所示。利用鏡像法求(1)鏡像電荷的位置及電量大?。唬? )球外空間電位;上x>2Ro各點的電場強度。Sol. (1)引入兩個鏡像電荷:qiq2(2)(x,y,z)Ro Ro,音22R0 2x2Ro2RoRo2q2R2qR(略),(x Ro/2)2 y2 z2 (x2&廠yLz2R .(x 2Ro)2 y2 z2,R1R2 用Ro/2)2y2z2,R(3) x軸上x>2Ro各點的電場強度:exq(x 2 Ro)2(xq/2Ro /2)2q/2(x Ro/2)2q(x 2Ro)212.如圖所示,兩塊半無限大相互垂直的接地導體平面,在其
9、平分線上放置一點電荷q,求(1)各鏡像電荷的位置及電量;(2)兩塊導體間的電位分布。Sol. ( 1) q1qo,(a, 0, 0)q2qo, (0, a, 0)q3qo,(a, 0, 0)(2)(x、1 qoq1q2q3,y,z)40R0R1R2R3(略)其中:y八qo 幾P o,a,oRox2(ya)22 zR1(xa)22y2 zR2x2(ya)22 zR3.(xa)22y2 z(o, a,o)第4章 恒定電場與恒定磁場1. 線性和各項同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部電荷體密度等于_0,凈余電荷只能分布在該導電媒質(zhì)的表面上。2. 線性和各項同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中,J0; D0。3. 在電導率不同的導
10、電媒質(zhì)分界面上,電場強度E和電流密度J的邊界條件E1tE2tJ1nJ2n為:、。2 Pc E4. 在電導率為的導電媒質(zhì)中,功率損耗密度pc與電場強度大小 E的關系為 。5. 恒定磁場的矢量磁位A與磁感應強度B的關系為B A ; A所滿足的泊松方程2AJ為6.對線性和各項同性磁介質(zhì)(磁導率設為2 H度Wm,V空間磁能),恒定磁場(磁場(務度大小為h)的磁能密 v2Wm =2 27.已知恒定電流分布空間的矢量磁位為:A eXx y eyy x 鉉Cxyz,c為常數(shù),且A滿足庫侖規(guī)范。求(1)常數(shù)C ; (2 )電流密度J ; (3)磁感應強度 B。(直角坐標系中:acazx(a yaxy)和-az
11、)cayez( -axx)yzzxxySol. (1)庫侖規(guī)范:A0AxAyAz2xy2xyCxy 0C4xy z由2a心,Aexx2yeyy2x ez4xyz得:2a12a 2A2 A1 -?y2xJ22?2x2y(3) B A g4xz ?y4yz eZ(y2 x2)8.(P.136.習題4.2)在平板電容器的兩個極板間填充兩種不同的導電媒質(zhì)(1, 1和2, 2),其厚度分別為 a和d2。若在兩極板上加上恒定的電壓U。試求板間的電位、電場強度E、電流密度J以及各分界面上的自由電荷密度。Ei diE2d2 UEi02U 0(0xdi)2diid 2Di D2i Ei2 E2iU02 i )U
12、 0E2ex(dix d2)2diid2電位移:Di D 2iEiex2U 02U 02d iid22U 0Eix-x(0xdi)2d ii d2(x)EidiE2(x di)出(2i)diU0(dix d2)2d iid2靜電比擬:EE,JD, b£,2U0ix(0 xdi)2diid 2iX(2i)di 2-u。(di x d2)2d iid22U 0,則導電媒質(zhì)中的恒定電場:E(x)x2diid 2(0di)2diiUoid 2(did2)2d iid 22U 02diid 22 iU 0did2(x)2d iid2di2n x dix di2 diid2可知:非理想電容器兩極
13、上的電荷密度為非等量巳目異號s x di d2只有理想電容器才有電容定義。a、2a ,電導率為9. 一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì),其內(nèi)、外半徑分別為圖建立圓柱坐標,若電位| _ U0 (常量)及 0 0。求(i)導電媒質(zhì)上電位分布及恒定電場的電場強度 E ;(2)該情況下導電媒質(zhì)的直流電阻 R。Sol.由邊界條件可知,導電媒質(zhì)上電位僅與坐標有關,即(1) 21 d2萬尹00 0 得:2Uo已1 s.懣,0 a 2a4 X2Uo 1(第 9題圖)(2)JJ dS2aJ (a da2a匕丄(ad )2 aU0 ln 2直流電阻:R牛2 aln210. 一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì),其內(nèi)
14、、外半徑分別為a、2a,電導率為 。如圖建立圓柱坐標,若電位a U0 (常量)及 2a 0。求(1)導電媒質(zhì)上電位分布以及導電媒質(zhì)上恒定電場的電場強度 E ;( 2)該情況下導電媒質(zhì)的直流電阻 R。Sol.由邊界條件可知,導電媒質(zhì)上電位僅與坐標有關,即()l71uInAl及oua得oa2In02u n1ou(2) J(第 10題圖)-dsTJS直流電阻:Uo2ln 2第5章電磁波的輻射1. 復數(shù)形式的麥克斯韋方程中兩個旋度方程為 2.坡印亭矢量S的瞬時表示式是,平均值是3.自由空間中時變電磁場的電場滿足的波動方程為22e4.5.6.電磁場的情況下變?yōu)樵跓o損耗的均勻媒質(zhì)2h(A)(C)k2尊0,
15、這個方程在正弦t正弦電磁場的磁場滿足的亥姆霍茲方程為k2H 0,其中 _A k222k2在時變電磁場中,磁感應強度電場強度與位的關系為(B)(D)k2k2B與位的關系為E ,-A已知某一理想介質(zhì)4 o,5流復矢量為Jd 2j0cosj z0,0 中)時諧電磁場的角頻率為,a、J0皆為常數(shù)。則電場強度復矢量,位移電1 為ia(A):e J0xn j zcos ejia(C);寸J°“Xnj zsin eja(B)ex J0n j zcos ej410a(D)ex J0nj zsin e答案:Bj40a的關系為a(b) sin(d) cost時刻發(fā)生變化,此變化將在b時刻影響到r處的位7
16、.電偶極子天線的功率分布與(a) sin2(c) cos2函數(shù)和A。(a) t -;c丄r(b) t;c(c) t ;(d)任意9.在球坐標系中,電偶極子的輻射場(遠區(qū)場)的空間分布與坐標的關系:2z 、sinsinsin2 sin(a)(b)2(c)(d)2rrrr8.自由空間的原點處的場源在10. 一均勻平面波垂直入射至導電媒質(zhì)中并在其中傳播,則11.下列電場強度所對應的電磁波為線極化方式的是(A)E &10 e j zy10j e j z(b)(C)E eXlO e j z ey10 e j z(D)e.10 e jeXl0 eey10j e j z ey10 e j z答案:C
17、12、已知真空中某時諧電場瞬時值為E(x, z,t) ys in (10x)cos( t kzz)。試求電場和磁場復矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解:所給瞬時值表示式寫成下列形式E(x,z,t) ReySin(10 x)e jkzzej f因此電場強度的復矢量表示為E(x,z)eysin(10 x)ej由麥克斯韋方程組的第二個方程的復數(shù)形式可以計算磁場強度的復矢量為H (x, z)J 0ezez1zEzg-sin(10 x)曳一cos(10 x) e jkzz0 J 0功率流密度矢量的平均值Sav等于復坡印廷矢量的實部,即IV1Re(2Re?yezezEyH:)2Re(EyHz|Re &
18、lt;?x5-kik 2?卜sin2(10 x)2 0sin(20 x)0k 2 ezsin2(10 x)013、已知真空中時變場的矢量磁位為A(z, t)求:(1)電場強度E和磁場強度H ; (2)exA cos( t kz)坡印廷矢量及其平均值。解:(1)把矢量磁位的瞬時值表示為A(z, t)Ree>xA)e jkzej t則矢量磁位的復數(shù)形式為根據(jù)磁場強度復數(shù)形式與矢量磁位復數(shù)形式之間關系可以求出ex eyez(z)丄(0Z|eyxey( jkA0)ejkzzkz磁場強度的瞬時值為H(z,t)y(kAo)cos( tkz 2)根據(jù)麥克斯韋方程組的第一個方程間關系為,此時J 0 ,電
19、場強度與磁場強度之E(z)x y zHxHy Hzyk A0jkzex ej電場強度的瞬時值為E(z,t) Ret kz )2(2)坡印廷矢量為 3 a 2k A°2ex gy- cos ( t kz ) e3 a 2k A°2-cos ( t kz )坡印廷矢量的平均值為Sav3八2)ez嚴第6章、均勻平面波的傳播1. 兩個同頻率、同方向傳播,極化方向相互垂直的線極化波的合成波為圓極化波,則它們的振幅 相同 ,相位相差/2。2. 均勻平面波垂直入射到理想導體表面上,反射波電場與入射波電場的振幅相等 :相位相差。3. 均勻平面波從空氣垂直入射到無損耗媒質(zhì)r 2.25, r
20、1,0表面上,則電場反射系數(shù)為1/ 5。,4. 在自由空間傳播的均勻平面波的電場強度為E ex100cos t 20 zV/m,則波的av亭矢量Sav為傳播方向為 +z ,頻率為3為09 HzHx方向的線極化波| ,對應的磁場為 _50002377 W/m,波長為 0.1m,波的極化方式為_沿100eycos t 20 z A/my377,平均坡印5.均勻平面波電場方向的單位矢量eE、磁場方向的單位矢量e以及傳播方向的單位矢量e三者滿足的關系是6.損耗媒質(zhì)的本征阻抗為 ,表明損耗媒質(zhì)中電場與磁場在空間同一位置存在著 相位差,損耗媒質(zhì)中不同頻率的波其相速度不同,因此損耗媒質(zhì)又稱為 色散 媒質(zhì)。7
21、.設海水的衰減常數(shù)為,則電磁波在海水中的穿透深度為,在此深度上電場的振幅將變?yōu)檫M入海水前的8.在良導體中,均勻平面波的穿透深度為(a)2(b)(c)(d)J9.在無源的真空中,已知均勻平面波的E E0e j z和 HH°ej z,其中的E。和H。為常矢量,則必有 ezEo 0;(b) ezHo 0;0;(d) EoHo10.以下關于導電媒質(zhì)中傳播的電磁波的敘述中,正確的是 b(a) 不再是平面波(b) 電場和磁場不同相(c) 振幅不變(d) 以TE波的形式傳播11、已知空氣中存在電磁波的電場強度為EeyE°cos(6108t 2 z) V/m試問:此波是否為均勻平面波?傳播
22、方向是什么?求此波的頻率、波長、相速以及對應的磁場強度H。解:均勻平面波是指在與電磁波傳播方向相垂直的無限大平面上場強幅度、相位和方向均相同的電磁波。電場強度瞬時式可以寫成復矢量$ = 3*該式的電場幅度為 E0,相位和方向均不變,且Z,此波為均勻平面波。傳播方向為沿著z方向。由時間相位 t 6波的頻率108t61083 108 Hz波數(shù)波長相速Vp由于是均勻平面波,22_T空-3 dt k因此磁場為10 m/s且 ejkz12、在無界理想介質(zhì)中,均勻平面波的電場強度為!xE°sin(2810 t 2 z),已知介質(zhì)的r 1,求r,并寫出H的表達式。解:根據(jù)電場的瞬時表達式可以得到2
23、 108,k,而電場強度的瞬時式可以寫成復矢量為j2 z右exE°e波阻抗為Zw40,則磁場強度復矢量為因此磁場為Jcy 40sin(2108t 2z)13、銅的電導率 5.8 107 S/m, r波長、透入深度及其波阻抗。r 1。求下列各頻率電磁波在銅內(nèi)傳播的相速、(1)解:已知f 1MHz ; (2) f 100 MHz十 10 9 F/m 和 0 4 f 10 GHz10 7 H/m,那么1.044 1018(1)當1 MHz 時,1.044 10121,則銅看作良導體,衰減常數(shù)和相位常數(shù)別為15.132., f 15.132103相速:v p 4.1522波長:4.152透入
24、深度:-6.6波阻抗:zw打2 (,100 MHz 時,-110 fj) 2.61當.044 101010 4 m10 5 m0.4152 m/s10 7(1 j) .、f 2.61 10 4(1 j)1,則銅仍可以看作為良導體,衰減常數(shù)(3)當 f 10 GHz 時,相位常數(shù)分別為相速:v p 4.152 10 4Jf 4.152 m/s2波長:4.152 10 5 m1透入深度:一6.6 10 6 m波阻抗:Zw 打(1 j) 2.61 10 7(1j)/f 2.61 10 3(1 j)1.044 1081,則銅看作良導體,衰減常數(shù) 和相位常數(shù)15.132、f 15.132 1042別為1
25、5.132jf 15.132 105相速:v p4.15241.52 m/s波長:4.15210 6 m透入深度:10 7 m波阻抗:Zw(1j) 2.6110 7(12.61 10 2(1 j)14、海水的電導率 電磁波的波長、10364S/m,衰減常數(shù)和波阻抗。r 81,r 1,求頻率為 10 kHz、10 MHz 和 10 GHz 時解:已知10 9 F/m 和10 7H/m,那么109。(1)當 f10 kHz 時,109 I1051,則海水可看作良導體, 衰減常數(shù) 和相位常數(shù)分別為3.9710 f 0.397相速:v p1.582 10 f1.582105波長:15.83 m透入深度:12.52 m波阻抗:ZW(2)當 f 10 MHz時,2 (1_ 89j)102和相位常數(shù)分別為相速:v
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