2019_2020年高考數(shù)學大題綜合訓練1

1、2019-2020年高考數(shù)學大題綜合訓練11.已知等差數(shù)列an的公差dw0,其前n項和為Sn,若a2 + a8=22,且a4, a7, ai2成等比數(shù) 列.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若 Tn=m+3+ +證明：Tn<7S1 S2s4 解.數(shù)列an為等差數(shù)列，且 比+a8=22, 1 . a5= 2( a2+ a8)= 11.a4, a7, a12成等比數(shù)列， 2a7= a4 , a32即(11 + 2d) =(11 d) (11 + 7d),又 dw0,d = 2,.a1=11-4X2= 3, _ *.an=3+2(n 1) =2n+1(nC N).n a + an(2)證明 由

2、(1)得，Sn=n(n+2),111 11Sn n n+ 2 2 n n+ 2 '1Sn11 Tn=+ +S1S211.11.11 , =2 1-3 + 2-4 + 3-5 +1111n-1 n+ 1 + n n+ 21111=21+2-n+1-n+23 1134 2 n+ 1 + n + 2 <4.Tn<3.4 2.如圖，已知四棱錐 P ABCD勺底面ABCO直角才形，AD/ BC ABL BC AB=木,BC= 2AD=2, E為CD的中點，PBLAE(1)證明：平面 PBDL平面ABCD，一， 兀(2)若PB= PD, PCW平面ABC所成的角為,求二面角B- PD-

3、 C的余弦值.證明 由ABCDI直角梯形，AB=小,BC= 2AD= 2,可得 DC= 2, BD= 2,從而 BCD等邊三角形， 兀一/ BCD=, BM分/ ADC 3.E 為 CD的中點，DE= AD= 1, BDL AE又.PBL AE PBH BD= B,又PB BD?平面PBD .AE,平面 PBD. AE?平面 ABCD 平面PBDL平面 ABCD(2)解 方法一 作POL BD于點O,連接OC 平面PBDL平面 ABCD平面PB由平面 ABC呼BDPO?平面PBDPOL平面 ABCD. 兀PCC PC1平面 ABC所成的角，/ PC(O=, 4又PB= PD .0為8口的中點，

4、OCL BD OP= OC=木,以0為坐標原點，分別以 OB OC OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系, 則 BO。) ，qo,擊，0),晝一1,0,0), R0,0 ,小),PC=(0, ® -血，pd>(t,0, -/).設平面PCD勺一個法向量為n=(x, y, z),n 咯 0,>/3y-J3z = 0,由得 二n . PD= 0,-x->/3z=0,令 z=1,則 x=-/3, y=1,得 n=(鎘，1,1).又平面PBD勺一個法向量為 mr (0,1,0),設二面角B- PD- C的平面角為0,皿1nm 1 乖貝U 1cos 9 | =:-

5、= j=穴,|n| m 45X15由圖可知e為銳角，所求二面角 B- PD- C的余弦值是 坐.方法二 作POL BD于點O,連接OC平面PBDL平面 ABCD平面PBD平面 ABCD= BDPC?平面PBDPO£平面 ABCD兀/PCCM/ PCT平面 ABC所成的角，/ PC® ,又 PB= PD. .0為8口的中點，OCL BD OP= OC=。3，作OHL PD點H,連接CH則PDL平面CHO又HC?平面CHO則PCX HC則/ CH所求二面角 B- PD- C的平面角.由OP=小,得OH=坐加華/ OH 25"CHO Ch=丞=5. 23.某大型水果超市

6、每天以 10元/千克的價格從水果基地購進若干A水果，然后以15元/千克的價格出售，若有剩余，則將剩余的水果以8元/千克的價格退回水果基地，為了確定進貨數(shù) 量，該超市記錄了 A水果最近50天的日需求量（單位：千克），整理得下表:日需求重140150160170180190200頻數(shù)51088775以50天記錄的各日需求量的頻率代替各日需求量的概率.(1)若該超市一天購進 A水果150千克，記超市當天 A水果獲得的利潤為 X(單位：元)，求X 的分布列及期望；(2)若該超市計劃一天購進 A水果150千克或160千克，請以當天A水果獲得的利潤的期望值 為決策依據(jù)，在150千克與160千克之中任選其一

7、，應選哪一個？若受市場影響，剩余的水 果以7元/千克的價格退回水果基地，又該選哪一個？解(1)若A水果日需求量為140千克，則 X= 140X(15 10) (150 140)X(10 8)=680(元),且 P( X= 680)=550= 0.1.若A水果日需求量不小于 150千克,則 X= 150X(15 10) =750(元),且 P(X= 750) =1- 0.1 =0.9.故X的分布列為X680750P0.10.9E(X) =680X0.1 +750X0.9 = 743.(2)設該超市一天購進 A水果160千克, 當天的利潤為Y(單位：元)，則Y的可能取值為140X 520X2,15

8、0 X 510X2,160 X 5,即 660,730,800 ,則Y的分布列為Y660730800P0.10.20.7E(Y) =660X0.1 +730X0.2 +800X 0.7 = 772.因為772>743,所以該超市應購進 160千克A水果.若剩余的水果以7元/千克的價格退回水果基地，同理可得X, Y的分布列分別為X670750P0.10.9Y640720800P0.10.20.7因為 670X 0.1 + 750X 0.9<640 X 0.1 + 720X 0.2 + 800X 0.7 ,所以該超市還是應購進160千克A水果.4.如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C：,十

9、卷:1( a>b>0)過點 坐，坐,離心率為-5-.(1)求橢圓C的標準方程；2一，一一 、一， a 一， 一(2)過點K(2,0)作一直線與橢圓 C交于A B兩點，過A, B兩點作直線l : x=一的垂線，垂 c足分另1J為A, B,試問直線 AB與A B的交點是否為定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.a2=b2+ c2,53a =乖，解由題意得4a2 4b之？ b=1,c 2v5c = 2,a- 5x22所以橢圓C的標準方程為-+y2=1.55(2)當直線AB的斜率不存在時，直線 l ： x= 2, 9AB與AB的交點是 彳，0 .當直線AB的斜率存在時，設 A(x

10、i, yi), RX2, yz),直線 AB為 y=k(x-2),y= k x-2 , 由 x2+5y2=5,得(1 +5k2)x2-20k2x+ 20k25 = 0,所以Xl+X2 =20k21 + 5k2'.220k -5xix2=尸,1 + 5k2 '所以lABi：y2 yiy=52"5x-2 +y2,y2 yi5lAiB: y = -5 x-2 +yi, x2220k25 25i + 5k2 420k2- -2 5i + 5k25xix2 4聯(lián)立解得x=x?TR.245 i + k _ 920i + k2 4八、，一kx2 xi代入上式可得y= -0+4xi

11、+y29k xi+x2+4kxix2+ 20k4xi- i020k2.220k -5-9k-E+ 4kl+20k4xi-i0=0.9綜上，直線AB與AiB過定點4，0 .5.設函數(shù) f(x) = (x+i)ln xa(xi)( aC R).當a=i時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)>0對任意xCi , +8)恒成立，求實數(shù) a的取值范圍；兀i兀(3)當e C 0,時，試比較21n(tan0)與tan 8 -的大小，并說明理由.解 (i)當 a=i 時，f(x) = (x+i)ln x- (x- i),(x) = In x + 1, x1x 1設 g(x)=ln x+ 7(x>

12、;0),貝U g' (x) xx當 xC(0,1)時，g' (x)<0, g(x)單調(diào)遞減，當 xC(1, +8)時,g，(x)>0, g(x)單調(diào)遞增,g(x)min=g(1) =1>0,，f ' (x)>0.故f (x)在區(qū)間(0 , 十°°)上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間. 1,、，(2) f (x) = ln xHF 1 -a= g(x) + 1 - a, x由(1)可知g(x)在區(qū)間1 , +°°)上單調(diào)遞增，則 g(x) >g(1) = 1,即f ' (x)在區(qū)間1 , +8)上單調(diào)遞

13、增，且 f'(1) = 2-a,當 a<2 時，f' (x) >0,f (x)在區(qū)間1 , +8)上單調(diào)遞增，.f (x) >f(1) =0 滿足條件；1當 a>2 時，設 h(x)=ln x+-+1 -a(x>1), x，11 x- 1則 h (x) = x7= -x->0( x > 1),h(x)在區(qū)間1 , +°°)上單調(diào)遞增，且 h(1)=2a<0, h(ea) = 1 + e a>0,. .? xc 1 , ea,使得 h(xc) = 0,當 xC 1 , x。)時，h(x)<0, f(x

14、)單調(diào)遞減，即當xC 1 , x°)時，f(x)wf(1) =0,不滿足題意.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(8, 2.由(2)可知，取a=2,當 x>1 時，f(x) = (x+1)ln x-2(x- 1)>0 ,1即一 In2x>x- 1x+ 1當0<x<1時,111 1 x21nx>1一十 1 xIn x x 12 x+1八兀又an e-tan 81tan 8 + 1'、“一兀一 一.，當 0<e <彳時，0<tan e <1,1兀21n(tan0 )<tan 9 ;.Tt ,1八 兀當 8 =彳時，tan

15、 9=1, 21n(tan0 ) = tan 9 ;,兀兀，當了<8<萬時，tan 0 >1,1兀21n(tan 0 )>tan 0 .,兀 ，1兀綜上，當 8 C 0,彳 時，21n(tane )<tan 0 -;.兀i ,1c 兀當 9 ="4時，21n(tan8) = tan 8 一彳 ；兀 兀1兀當 8 C -4?工時，21n(tan 0 )>tan 9 .6.已知直線1經(jīng)過點P(1,2),傾斜角 a石，圓C的極坐標萬程為(1)寫出直線1的參數(shù)方程的標準形式，并把圓C的方程化為直角坐標方程;(2)若直線1與圓C相交于A, B兩點，求線段 A

16、B的中點M到點P的距離.兀x = 1 +1 cos , 解(1)直線1的參數(shù)方程為C ,兀y=2 + tsin ,3(t為參數(shù)，t e R).x = 1 + t，t y=2+2由 P =2也cos e -4 ,得 p = 2cos 0 + 2sin 0 ,2 p = 2 p cos e + 2 p sin e ,x2+y2 = 2x+ 2y,，圓C的直角坐標方程為(x1)2+(y1)2=2.x= 1 +(2)把t y= 2+代入(x l)2+(y 1)2=2 得,1+ 喙t 1 2 + 2 +2-1 2=2,整理得t2+t 1=0,A = 5>0, 11+ 12= 1 ,I MP =11+ 1227. (2018 宿州模擬)已知函數(shù)f(x) =x2-|x| +3.(1)求不等式f(x)>3x的解集；(2)若關于x的不等式f (x) -x2< |+a恒成立，求實數(shù) a的取值范圍.解 (1)當 x>0 時，f (x) =x2 x+3>3 x, 2即 x 4x + 3 > 0,解得x>3或xw 1,所以x>3或0WxW1；當 x<0 時，f (x) = x2+x + 3>3 x