2017年高考數(shù)學(xué)(考點(diǎn)解讀+命題熱點(diǎn)突破)專題23函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想理

1、專題 23 函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想【考點(diǎn)定位】 函數(shù)與方程的思想一般通過(guò)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)進(jìn)行考查；數(shù)形結(jié)合思想一般在選擇題、填空題中考查.【命題熱點(diǎn)突破一】函數(shù)與方程思想1. 函數(shù)與方程思想的含義(1)函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決的思想方法.(2)方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決的思想方法2. 函數(shù)與方程的

2、思想在解題中的應(yīng)用函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)于函數(shù)y=f(x)，當(dāng)y0 時(shí)，就轉(zhuǎn)化為不等式f(x) 0,借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式(2) 數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要(3)解析幾何中的許多問(wèn)題，需要通過(guò)解二元方程組才能解決，這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論.例 1、設(shè) m n 是正整數(shù)，多項(xiàng)式(1 2x)m+ (1 5x)n中含 x 項(xiàng)的系數(shù)為16,則含 x2項(xiàng)的系數(shù)是()A. 13 B . 6C. 79 D . 37已知函數(shù) f(x) = (x + m)ln(x + m)在 x = 1 處的切線斜

3、率為 1.1若對(duì)？x0,恒有 f(x) x + ax 2,求實(shí)數(shù) a 的最大值；nx2證明：對(duì)？x (0 , 1和任意正整數(shù) n 都有 f(x) r 1.e【答案】(1)D【解析】易知 x 的系數(shù)為2m- 5n，即2m- 5n= 16,即 2m+ 5n=16,且 m n 為正整數(shù).由 2m+ 5n=16,得 n=16_2m,即 16 2m 必須能夠被 5 整除，由于 16 2m 為偶數(shù)，且 0W16 2m x + ax + 2, 即卩 xln x x + ax 2,又 x0,所以 aln x + x+ -.令 h(x) = ln x + x+ -，所以xx要使原不等式恒成立，則awh(x)mi

4、n.2(x)=32 _x + x 2_(x + 2)( x 1)h (x) =+ 1 2=2-=2.x x xx當(dāng) 0 x1 時(shí)，h (x)1 時(shí)，h (x)0 , h (1) = 0，故 x = 1 時(shí)，h(x)取得極小值，即最小值，所以 h(x)min= h(1) = 3,所以 aw3,所以 a 的最大值為 3.明:t 1時(shí),對(duì)任意正整數(shù)他都有 S 所垃噲-1.故只需證明當(dāng)汪4 1時(shí),f仗)咅-be e令=1,則故當(dāng) g 弐時(shí)，c (K)o?即弘)在(61上單調(diào)遞増，所ee以Q(1)=-1,因?yàn)?(-1)ee ee所以f仗)50仗)*所以f仗)疙一1,e帆羽忸41和任意正整數(shù)都有f 6)氏

5、 7e【特別提醒】方程思想的本質(zhì)是根據(jù)已知得出方程(組)，通過(guò)解方程(組)解決問(wèn)題；函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是使用函數(shù)方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題(不一定只是函數(shù)問(wèn)題)，構(gòu)造函數(shù)解題是函數(shù)思想的一種主要體現(xiàn).【變式探究】33A - B .一55C. 3 D.一 32x(2)已知函數(shù) f(x) = 1 阪1求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；x2證明：當(dāng) x1 時(shí)，x+ (x 3)eln x0.【答案】(1) DA A AA A2m m+ 1【解析】AB= OB- 0A= (3 , 1).因?yàn)?AB/ OC 所以=，解得 m= 3.2x(1)已知向量 OA= (3 , 4) ,0B= (6 , 3),0C= (2m,1).若AB

6、/ OC,則實(shí)數(shù) m 的值為(4解：f(x)=1的定義域?yàn)?0,1)U(1,+s),in x(In x )由 f (x)0 得 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(.e,+s);x ( 2ln x 1)5由 f (x)0得國(guó)數(shù) 山)在區(qū)間(S2)上單調(diào)遞増！由g (x)0得的數(shù)蓉仗)在區(qū)間+B)上單調(diào)遞甌所以g(s) = (-X*+ 3x)e|g(x) = (x+ 3X)E?整理得x+ (x 3) eln x0.In xZ2【命題熱點(diǎn)突破二】數(shù)形結(jié)合思想例 2、(1)設(shè)函數(shù) f(x) = ex(2x 1) ax+ a，其中 a1，若存在唯一的整數(shù) xo，使得 f(xo)0 得 x 刁 由 g (x)0

7、得 x 夕1上單調(diào)遞減，在 1,+上單調(diào)遞增.又函數(shù) g(x)在 x1 時(shí)，g(x)故函數(shù) g(x)在6時(shí)，g(x)0，所以其大致圖像如圖所示.7直線 y = ax a 過(guò)點(diǎn)(1 , 0).若 aw0,貝Uf(x)0.結(jié)合函數(shù)圖像可知，存在唯一的整數(shù)xo，使得 f(xo)O，即存在唯一的整數(shù)xo，使得點(diǎn)(xo，axo a)在點(diǎn)(xo,f ( 1 )0,g(x0)的上方，則 xo只能是 0，故實(shí)數(shù) a 應(yīng)滿足 f(0) 0, 在:中，令A(yù)B=a?AC=b , C二右如團(tuán)所示，則求lb |的最大倩等價(jià)干在中，求曲的最大值.【特別提醒】數(shù)形結(jié)合思想主要是根據(jù)函數(shù)圖像(或者其他幾何圖形)，找到解決問(wèn)題

8、的思路，幫助建立數(shù)的運(yùn)算或者推理(以形助數(shù))的一種方法.用圖象法討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角等復(fù)雜方程)的解(或函數(shù)零點(diǎn))的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè) 熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解(或函數(shù)零點(diǎn))的個(gè)數(shù)【變式探究】(1)函數(shù) y= f(x)為定義在 R 上的減函數(shù)，函數(shù) y= f(x 1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1 , 0)對(duì)稱，x, y 滿足不等式 f(x 2x) + f(2y y2)w0, M(1, 2) , N(x , y) , O 為坐標(biāo)原

9、點(diǎn)，則當(dāng) 1wxw4 時(shí)，OM-赤的取值范圍為()A.12,+s) B.0,3C. 3 , 12 D . 0 , 12已知向量a ,3 ,Y滿足 Ia| = 1 , |a3| = I3| , (aY) (3Y) = 0.若對(duì)每一確定的3, |Y| 的最大值和_ 1| - 3e + 2a0,即1 + a0, 解得專wa 0,故實(shí)數(shù) a 的取值范圍是,0AC4.8最小值分別為 m n,則對(duì)任意3, m- n 的最小值是()91A.2B 1C. 2 D. 2【答案】D (2)A【解析】（1）由函數(shù)y=f（s-i）的圖像關(guān)于點(diǎn)o）對(duì)稱可得函數(shù)y=f tx）的圉像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)y=f（X）是奇

10、函數(shù).不等式f（x*-2s） + f（2y-/）5D等價(jià)于x;-2/-2y,即仗-y）仗+y- 2）幼 又灼耳 所以乎）表示的平面區(qū)域如圉中陰影部分所示令=而-麗=買+紐則y=-p? + |.由團(tuán)可知，IT,工取得最小值 5 當(dāng)直線y=-囲+ $經(jīng)過(guò)點(diǎn)匚時(shí)，工取得最大值訟故而-麗412.y5 s/c-2-304 5 5V平移向量a ,3,Y,使它們的起點(diǎn)位于點(diǎn) O 處，終點(diǎn)分別記作A, B, C，如圖所示，根據(jù)|a-3|=|3|可知點(diǎn) B 在 OA 的垂直平分線上.根據(jù)（aY） （3Y） = 0 知點(diǎn) C 在以 AB 為直徑的圓上，故 m n 等于圓的直徑 AB.又 OB= AB 所以要使 A

11、B 最小，則只要 OB 最小即可，由圖易知，當(dāng)點(diǎn) B 為線段 OA 的中1. 2015 全國(guó)卷n改編已知等比數(shù)列an滿足 ai= 3, ai+ as+ as= 21，貝Uas+ as+ a?=_【答案】422424222* 1 3 ,當(dāng)直線y=i尹+ $經(jīng)過(guò)點(diǎn)一2）時(shí).1點(diǎn)時(shí)，m n 取得最小值 2.10【解析】由 a1= 3,得 a1+ as+ as= 3(1 + q + q ) = 21,所以 1 + q + q = 7,即(q + 3)(q 2) = 0,解得 q = 2,所以 a3+ a5+ a7= (a1+ a3+ a5)q2= 21x2= 42.51A-2B . 1C. 2 D.

12、2【答案】(1)D(2)A平移向量 a , 3 , 丫，使它們的起點(diǎn)位于點(diǎn) 0 處，終點(diǎn)分別記作 A, B, C,如圖所示，根據(jù)| B | =| 3 I 可知點(diǎn) B 在 0A 的垂直平分線上.根據(jù)（ 丫）（3丫）=0 知點(diǎn) C 在以 AB 為直徑的圓上，故 m n 等于圓的直徑 AB又 OB=AB所以要使 AB 最小，貝 U 只要 0B 最小即可，由圖易知，當(dāng)點(diǎn) B 為線段 0A 的中1點(diǎn)時(shí)，m- n 取得最小值門【高考真題解讀】【答案】429AoAoo9【解析】由 ai=3,得 ai+a3+a5= 3(1 + q + q) = 21,所以 1 + q +q =7,即(q +3)(q -2)

13、=0,解得 q =2, 所以 as+ as+a?= (a 1+1. 2015 全國(guó)卷 n 改編已知等比數(shù)列an滿足 31=3,ai + a3+a5=21,貝J a3+as+a7 =5as+ &)q2= 21 x2= 42.51A-2B . 1C. 2 D. 2【答案】(1)D(2)A平移向量 a , 3 , 丫，使它們的起點(diǎn)位于點(diǎn) 0 處，終點(diǎn)分別記作 A, B, C,如圖所示，根據(jù)| B | =| 3 I 可知點(diǎn) B 在 0A 的垂直平分線上.根據(jù)（ 丫）（3丫）=0 知點(diǎn) C 在以 AB 為直徑的圓上，故 m n 等于圓的直徑 AB又 OB=AB所以要使 AB 最小，貝 U 只要 0B 最小即可，由圖易知，當(dāng)點(diǎn) B 為線段 0A 的中1點(diǎn)時(shí)，m- n 取得最小值