穩(wěn)態(tài)熱傳導問題的有限元法

1、芇6.穩(wěn)態(tài)熱傳導問題的有限元法膅本章的內(nèi)容如下：芄6.1熱傳導方程與換熱邊界袂6.2穩(wěn)態(tài)溫度場分析的一般有限元列式莇6.3三角形單元的有限元列式薆6.4溫度場分析舉例羆6.1熱傳導方程與換熱邊界蟻在分析工程問題時，經(jīng)常要了解工件內(nèi)部的溫度分布情況，例如發(fā)動機的工作溫度、金屬工件在熱處理過程中的溫度變化、流體溫度分布等。物體內(nèi)部的溫度分布取決于物體內(nèi)部的熱量交換，以及物體與外部介質(zhì)之間的熱量交換，一般認為是與時間相關(guān)的。物體內(nèi)部的熱交換采用以下的熱傳導方程( Fourier方程)來描述，云Q亙Lq：z(6-1)羇式中'為密度，kg/m3； c為比熱容，J/(kg K) ； x, y, z

2、為導熱系數(shù)， w m k ； T 為溫度，C； t為時間，s； Q為內(nèi)熱源密度，w/m3。蒄對于各向同性材料，不同方向上的導熱系數(shù)相同，熱傳導方程可寫為以下形式,2 2 2:T-T: 2T-T(6-2):c石石寧 Qt:x:y:z蕆除了熱傳導方程，計算物體內(nèi)部的溫度分布，還需要指定初始條件和邊界條件。初始條件是指物體最初的溫度分布情況，莈 T t = T0 x, y,z(6-3)膆邊界條件是指物體外表面與周圍環(huán)境的熱交換情況。在傳熱學中一般把邊界條件分為 三類。1)2)蒃給定物體邊界上的溫度，稱為第一類邊界條件。薇物體表面上的溫度或溫度函數(shù)為已知,薅或Ts=Ts(x,y, z,t)( 6-4)

3、3)4) 薃給定物體邊界上的熱量輸入或輸出，稱為第二類邊界條件。膂已知物體表面上熱流密度,蚇或Mnxyny znz).x:-y；z= qs(x,y,乙t)(6-5)5) 6)羅給定對流換熱條件，稱為第三類邊界條件。蒞物體與其相接觸的流體介質(zhì)之間的對流換熱系數(shù)和介質(zhì)的溫度為已知。(6-6):T:T ny nz 二 h(Tf -T$).y;z肁其中h為換熱系數(shù)，W/(m2 K) ； Ts是物體表面的溫度；Tf是介質(zhì)溫度。莆 如果邊界上的換熱條件不隨時間變化，物體內(nèi)部的熱源也不隨時間變化， 在經(jīng)過一定時間的熱交換后，物體內(nèi)各點溫度也將不隨時間變化，即螃這類問題稱為穩(wěn)態(tài)(Steady state)熱傳

4、導問題。穩(wěn)態(tài)熱傳導問題并不是溫度場不隨時間的變化，而是指溫度分布穩(wěn)定后的狀態(tài)，我們不關(guān)心物體內(nèi)部的溫度場如何從初始狀態(tài)過渡到最后的穩(wěn)定溫度場。隨時間變化的瞬態(tài)(Tran sie nt)熱傳導方程就退化為穩(wěn)態(tài)熱傳導方程，三維問題的穩(wěn)態(tài)熱傳導方程為，列)cz(6-7)肁對于各向同性的材料，可以得到以下的方程，稱為Poisson方程,螇牛芻2=0(6-8)X:y:zLaplace 方程,考慮物體不包含內(nèi)熱源的情況，各向同性材料中的溫度場滿足(6-9)膀在分析穩(wěn)態(tài)熱傳導問題時，不需要考慮物體的初始溫度分布對最后的穩(wěn)定溫度場的影響，因此不必考慮溫度場的初始條件，而只需考慮換熱邊界條件。計算穩(wěn)態(tài)溫度場實際

5、上是求解偏微分方程的邊值問題。溫度場是標量場，將物體離散成有限單元后，每個單元結(jié)點上 只有一個溫度未知數(shù)，比彈性力學問題要簡單。進行溫度場計算時有限單元的形函數(shù)與彈性 力學問題計算時的完全一致，單元內(nèi)部的溫度分布用單元的形函數(shù)，由單元結(jié)點上的溫度來確定。由于實際工程問題中的換熱邊界條件比較復雜，在許多場合下也很難進行測量， 如何定義正確的換熱邊界條件是溫度場計算的一個難點。膈6.2穩(wěn)態(tài)溫度場分析的一般有限元列式羃在前面我們已經(jīng)介紹了有限元方法可以用來分析場問題，穩(wěn)態(tài)溫度場計算是一個典型的場問題。我們可以采用虛功方程建立彈性力學問題分析的有限元格式，推導出的單元剛度矩陣有明確的力學含義。在這里，

6、介紹如何用加權(quán)余量法（ Weighted Residual Method ）建立 穩(wěn)態(tài)溫度場分析的有限元列式。薁微分方程的邊值問題，可以一般地表示為未知函數(shù)u滿足微分方程組,（在域門內(nèi)）（6-10）A(u)芀 A(u) = <A2(u) > = 0芅 未知函數(shù)u還滿足邊界條件,蚅B(u) = <B2(u) ' = 0(在邊界上)(6-11)芀 如果未知函數(shù) U是上述邊值問題的精確解，則在域中的任一點上U都滿足微分方程（6-10），在邊界的任一點上都滿足邊界條件（6-11 ）。對于復雜的工程問題，這樣的精確解往往很難找到，需要設(shè)法尋找近似解。所選取的近似解是一族帶有待定

7、參數(shù)的已知函數(shù)， 般表示為n(6-12)莀 u ： u 八 Niai = Nai d蚆其中ai為待定系數(shù)，Ni為已知函數(shù)，被稱為試探函數(shù)。試探函數(shù)要取自完全的函數(shù)序列, 是線性獨立的。由于試探函數(shù)是完全的函數(shù)序列，任一函數(shù)都可以用這個序列來表示。膃采用這種形式的近似解不能精確地滿足微分方程和邊界條件，所產(chǎn)生的誤差就稱為余 量。莃 微分方程（6-10）的余量為，蒀 R =A （Na）（ 6-13）肇 邊界條件（6-11）的余量為，裊 R =B（Na）（ 6-14）膂 選擇一族已知的函數(shù)， 使余量的加權(quán)積分為零， 強迫近似解所產(chǎn)生的余量在某種平均意義上等于零,W Tr d =0(6-15)蒈Wj和

8、Wj稱為權(quán)函數(shù)，通過公式（6-15）可以選擇待定的參數(shù)ai。節(jié)這種采用使余量的加權(quán)積分為零來求得微分方程近似解的方法稱為加權(quán)余量法。對權(quán)函數(shù)的不同選擇就得到了不同的加權(quán)余量法，常用的方法包括配點法、子域法、最小二乘法、 力矩法和伽遼金法（Galerkin method ）。在很多情況下，采用 Galerkin法得到的方程組的系 數(shù)矩陣是對稱的，在這里也采用Galerkin法建立穩(wěn)態(tài)溫度場分析的一般有限元列式。在Galerkin法中，直接采用試探函數(shù)序列作為權(quán)函數(shù)，取Wj = N j，Wj二-N j。袀下面用求解二階常微分方程為例，說明Galerkin法（參見，王勖成編著 “有限元法基本原理和數(shù)

9、值方法”的1.2.3節(jié)）。蝕例，求解二階常微分方程羄邊界條件：當x=0時，u=0 ；當x=1時，u=0。莄取兩項近似解：=N1，W, = N2肀 由公式(6-15)可以得到兩個加權(quán)積分方程,蒞積分后可以得到一個二元一次方程組，解得，螂近似解為， =x(1 _x)(0.19240.1707x)肂該方程的精確解為，U =目 -Xsin 1腿近似解與精確解的結(jié)果比較見表6-1，螆表6-1近似解與精確解比較薄螁 x=0.25艿 x=0.5腿 x=0.75羂薀 0.04401艿 0.06975薈 0.06006蚄薃 0.04408荿 0.06944蚅 0.06008蒅假定單元的形函數(shù)為，莂 單元結(jié)點的溫

10、度為，葿單元內(nèi)部的溫度分布為，肅 以二維問題為例，說明用Galerkin法建立穩(wěn)態(tài)溫度場的一般有限元格式的過程。二維問題的穩(wěn)態(tài)熱傳導方程為，袃 /-x | + 扎 y + Q = 0( 6-16a)dx&丿 £y Icy 膀第一類換熱邊界為蕿 T s =Ts(6-16b)蒆第二類換熱邊界條件為,薅 Lnx+対燈 ny=qs(6-16c):x:y罿第三類邊界條件為,汀汀 x nx 7 ny；:x:y二 h(Tf(6-16d)袇在一個單元內(nèi)的加權(quán)積分公式為,e ：T：T肅W、( X )( ' y ) Qd'T = 0(6-17)ex£xcy&y羂

11、由分部積分得，蝿應用Green定理，一個單元內(nèi)的加權(quán)積分公式寫為,e W.汀、訥汀、-L (兀)+Q y 丁)-WiQdO Q ex£xcycy肄+ q Widx 巴nx Uy 旦ny)dF=0-e:x: y(6-18)螅采用Galerkin方法，選擇權(quán)函數(shù)為，螁將單元內(nèi)的溫度分布函數(shù)和換熱邊界條件代入(6-18)式，單元的加權(quán)積分公式為,eJNi(fN、 ：N( ：N,J ( x )( y )T dxx yyee-NiQd- .Niqsd】ee3 NihNTed - 3 MhTfd一 0(6-19)e蒅換熱邊界條件代入后，在 (6-19)式內(nèi)相應出現(xiàn)了第二類換熱邊界項- §

12、; Niqsd，第eee三類換熱邊界項 £ NjhNTed-£ NjhTfdF,但沒有出現(xiàn)與第一類換熱邊界對應的項。這是因為，采用 Ni作為權(quán)函數(shù)，第一類換熱邊界被自動滿足。寫成矩陣形式有,e(：N、T( :N)(；：N、t( rN、 e, .()(x)() C y)T d '繪 &次®eye丁etJNTQd- 2小匕山:hNTNTed - ； NThTfd 0n個結(jié)點的溫度丁。按有限元格式蒀公式(6-20 )是n個聯(lián)立的線性方程組，可以確定 將(6-20 )表示為,袈KeTe 二Pe(6-21)祎其中矩陣K e為單元的導熱矩陣或稱為溫度剛度矩陣，

13、T e為單元的結(jié)點溫度向量，P稱為單元的溫度載荷向量或熱載荷向量( Thermal load vector )。對于某個特定單元，單元導 熱矩陣Ke和溫度載荷向量P e的元素分別為，:也池Ni刑豈2(X cXe丁JNiNd(6-22)eee薃 P = $ MqsdF + £ MhTfdF + $ NQdT(6-23)羈如果某個單元完全處于物體的內(nèi)部，芇在整個物體上的加權(quán)積分方程是單元積分方程的和，e-zezee(：INhT(.訃：N12exexet _N Qd-e)T( V1NJ)Ted- jyye t2N qsd-:hNTNTed -、: NThTfd =0(6-24)節(jié) 根據(jù)單元

14、結(jié)點的局部編號與整體編號的關(guān)系，直接求和得到整體剛度矩陣， 整體方程組為，6.3三角形單元的有限元列式蚈圖6-1三角形單元，二維溫肄回顧第三章的內(nèi)容可以發(fā)現(xiàn)，與計算彈性力學平面問題時所采用的方法 度場問題計算中所采用的三角形單元可以使用相同的形函數(shù)，肁單元內(nèi)的溫度分布用結(jié)點上的溫度值表示為,膈 T=Nj Nj NmTj>( 6-25)V在三角形單兀上，采用Galerkin法可得,A Nt'(二)A:X: X丄(二)QdA=o.y;y(6-26)假定單元內(nèi)的導熱系數(shù)為常數(shù),4AxdxdA =-XxX 'A飛bi bjbibmbibjbj2bjbm.bibmbjbmb；TxT

15、iJm,14A2bi 出 bj bibmbjTibmHTj >dAlTm,(6-27)cNT cT'y -A: y :ydA =14A2CiCjCmTjlCm_X4AIGCCi CmCiCj2CjC j CmIT jCi CmCj Cm2CmLTm丿x A(6-28)芄單元的剛度矩陣為, 袂顯然，單元的導熱矩陣是對稱的。莈如果單元的內(nèi)部熱源為常數(shù)，由內(nèi)部熱源產(chǎn)生的溫度載荷項為,NiT N QdA =Q jdQA螂由Green公式可得(6-29)Il、ztTT"TCTCt C IA (NT 3) (NdAx: x y: y-Tt-Txnx N ' y '

16、ny )dS:x: y（N蕆方便起見，把換熱邊界統(tǒng)一表示為第三類換熱邊界，(6-30)- CT _CT . cTA (N x)(N ydA羇：x:X:y:y( 6-30)TtTe=1 hN (Tf -Ts)dS =( hN TfdS- hN NT dS蒄如果在單元邊上存在熱交換，各條邊上的邊界換熱條件在單元剛度矩陣中生成的附加項 為， .210【莀Ke1206(6-31).000八e“恂蕆K=0216i012 一衛(wèi)0 0 一(6-32)-ehl mi2 0 1K-0 0 06I1 0 2莈(6-33)袂由邊界換熱條件生成的溫度載荷向量為,(6-34)hTflj=2hT f 1 jm-20*11

17、(6-35)礦hfmj；i(6-36)6.4溫度場分析舉例正方形截面的煙囪如圖 6-2所示，煙囪由混凝土建造，邊長為60cm，通道的邊長為20cm，混凝土的導熱系數(shù)為 k =1.4W/(m K)。假定煙囪內(nèi)表面的溫度為 100°C,煙囪外表面暴露2在空氣中，空氣的溫度為 30C，換熱系數(shù)為h = 20W/(m K)。計算煙囪截面內(nèi)的穩(wěn)態(tài)溫度場。(參見，F(xiàn)inite Element Method Theory and Application with ANSYS, p279)圖6-2煙囪截面圖6-3有限元模型圖6-4穩(wěn)態(tài)溫度分布圖6-5熱流量分布穩(wěn)態(tài)溫度場分布與物體的初始狀態(tài)無關(guān)，那么

18、是否與材料的導熱系數(shù)相關(guān)？我們把煙囪的模型做些修改，假定煙囪壁由兩層材料構(gòu)成。內(nèi)層材料為混凝土，外表面的截面尺寸為 30cm 30cm ,煙囪通道 的尺寸不 變，仍為20cm 20cm。外層材料的 導熱 系數(shù)為 k =0.1W/(m K)，外部表面的截面尺寸不變，內(nèi)部表面的截面尺寸為30cm 30cm。換熱邊界條件不變，雙層煙囪的有限元模型如圖6-6所示。圖6-6雙層煙囪的有限元模型圖6-7雙層煙囪的溫度分布圖6-8雙層煙囪的熱流量分布對比兩種不同結(jié)構(gòu)煙囪的溫度分布和熱流量分布，穩(wěn)態(tài)溫度場分布與材料的換熱系數(shù)相關(guān)。雙層煙囪外層材料的導熱系數(shù)比較小，接近保溫材料，熱量很快傳進內(nèi)層煙囪，但向外 部環(huán)境傳熱慢了很多，所以內(nèi)層煙囪的溫度很高。比較熱流量分布，保溫材料的卻能夠有效 的阻止熱量散失。北方城市的供暖管道都包有一層隔熱材料就是基于這個道理。僅供個人用于學習、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den