高中數(shù)學選修2-2(課時訓練)：2.1合情推理與演繹推理2.1.2Word版含答案

1、2.1.2 演繹推理£預2號學 挑提行我.點點點丈學習目標1 .理解演繹推理的意義.2 .掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.3 . 了解合情推理和演繹推理之間的區(qū)別和聯(lián)系.知識鏈接1 .演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？答 演繹推理的結(jié)論不會超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就一定正確.2 .如何分清大前提、小前提和結(jié)論？答 在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根據(jù)一般原理對特殊情況作出的判斷，這與平時我們解答問題中的思考是一樣的，即先指出一般情況，從中取出一個特例，特例也具有一般意義.例如，平

2、行四邊形對角線互相平分， 這是一般情況；矩形是平行四邊形， 這是特例；矩形對角線互相平分，這是特例具有一般意義.3.演繹推理一般是怎樣的模式？答 “三段論”是演繹推理的一般模式，它包括：（1）大前提已知的一般原理；（2）小前提所研究的特殊情況；（3）結(jié)論一一根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.預習導引1 .演繹推理含義從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理特點由一般到特殊的推理2.三段論一般模式常用格式大前提已知的一般原理M是P小前提所研究的特殊情況S是M結(jié)論根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷S是Ph課堂講義 占重點徘點.個個擊破要點一用三段論的形式表示演繹推理例1把下列演繹推理寫

3、成三段論的形式.(1)在一個標準大氣壓下，水的沸點是 100 C,所以在一個標準大氣壓下把水加熱到100 C時，水會沸騰；(2)一切奇數(shù)都不能被2整除，210°+1是奇數(shù)，所以2100+1不能被2整除；三角函數(shù)都是周期函數(shù)，y=tan ”是三角函數(shù)，因此 y= tan ”是周期函數(shù).解(1)在一個標準大氣壓下，水的沸點是100 C ,大前提在一個標準大氣壓下把水加熱到100 C ,小前提水會沸騰.結(jié)論(2)一切奇數(shù)都不能被 2整除，大前提210°+1是奇數(shù)，小前提2100+ 1不能被2整除.結(jié)論(3)三角函數(shù)都是周期函數(shù)，大前提y = tan a是三角函數(shù)，小前提y = t

4、an a是周期函數(shù).結(jié)論規(guī)律方法用三段論寫推理過程時，關(guān)鍵是明確大、小前提，三段論中的大前提提供了一個一般性的原理，小前提指出了一種特殊情況，兩個命題結(jié)合起來， 揭示了一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系.有時可省略小前提，有時甚至也可大前提與小前提都省略.在尋找大前提時，可找一個使結(jié)論成立的充分條件作為大前提.跟蹤演練1試將下列演繹推理寫成三段論的形式：(1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行，海王星是太陽系中的大行星，所以海王星 以橢圓軌道繞太陽運行；(2)所有導體通電時發(fā)熱，鐵是導體，所以鐵通電時發(fā)熱；一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù) y= 2x 1是一次函數(shù)，所以 y= 2x 1是單調(diào)函數(shù)；(4)

5、等差數(shù)列的通項公式具有形式an=pn+q(p, q是常數(shù))，數(shù)列1,2,3,，n是等差數(shù)列，所以數(shù)列1,2,3,，n的通項具有an=pn + q的形式.解(1)大前提：太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運行；小前提：海王星是太陽系里的大行星；結(jié)論：海王星以橢圓形軌道繞太陽運行.(2)大前提：所有導體通電時發(fā)熱；小前提：鐵是導體；結(jié)論：鐵通電時發(fā)熱.(3)大前提：一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；小前提：函數(shù)y=2x1是一次函數(shù)；結(jié)論：y=2x 1是單調(diào)函數(shù).(4)大前提：等差數(shù)列的通項公式具有形式an=pn+q;小前提：數(shù)列1,2,3,，n是等差數(shù)列；結(jié)論：數(shù)列1,2,3,，n的通項具有an=pn+q的形

6、式.要點二演繹推理的應用例2 正三棱柱 ABC A1B1C1的棱長均為a, D、E分別為CC與AB的中點，AB交AB1 于點G.(1)求證：A1BXAD;(2)求證：CE/平面 AB1D.證明(1)連接BD.三棱柱 ABC A1B1C1是棱長均為a的正三棱柱，A1ABB1 為正方形，A1BXAB1.- D是C1C的中點，.A1C1D0 BCD, .A1D=BD, .G 為 A1B 的中點,AB，DG,又. DGnAB1=G, . AB,平面 AB1D.又 AD?平面 ABD,A1BXAD.(2)連接 GE, EG / A1A,GEL平面 ABC. DC，平面 ABC, GE / DC,11 G

7、E=DC = 2a, 四邊形GECD為平行四邊形，CE/GD.又 CE?平面 ABD, DG?平面 AB1D,2 .CE /平面 AB1D.規(guī)律方法 (1)應用三段論解決問題時，應當首先明確什么是大前提和小前提，但為了敘述 的簡潔，如果前提是顯然的，則可以省略.(2)數(shù)學問題的解決與證明都蘊含著演繹推理，即一連串的三段論，關(guān)鍵是找到每一步推理 的依據(jù)大前提、小前提，注意前一個推理的結(jié)論會作為下一個三段論的前提.2x 1跟蹤演練2求證：函數(shù)y=-2x 是奇函數(shù)，且在定義域上是增函數(shù).、rf2x+ 1、 22證明 y=2x+1=i_Wr所以f(x)的定義域為R.可機=,2-x2；7 卜 e2)2

8、2,2、2 2, 2 2x=2- R+rvr 廠2- E 十叩)2 2x+1=2- 2x+1 乙 2-2=0.即f(x)= f(x),所以f(x)是奇函數(shù).任取 xi , x2 e R,且 xi<x2.2.2則 f(xi)一可刈=2支 + 1 - J 2& + 1J1 1 _ 1 、2x1 2x2=2 12x2+2x1+1 廠 2(2x2 + 1 12%+ 1.由于 x1<x2,從而 2x1<2x2, 2x1-2x2<0,所以f(x1)<f(x2),故f(x)為增函數(shù).要點三合情推理、演繹推理的綜合應用例3如圖所示，三棱錐 A-BCD的三條側(cè)棱 AB, A

9、C, AD兩兩互相垂直，。為點A在底 面BCD上的射影.(1)求證：。為 BCD的垂心；(2)類比平面幾何的勾股定理，猜想此三棱錐側(cè)面與底面間的一個關(guān)系，并給出證明.(1)證明 ABXAD, ACXAD, ABAAC = A, AD，平面 ABC,又 BC?平面 ABC. ADXBC,又. AO,平面 BCD, AOXBC, . AD A AO = A, .BC,平面 AOD,BCXDO ,同理可證 CDXBO,.O為ABCD的垂心.(2)解猜想：SABC+ S ACD + S2 ABD=SA BCD.證明：連接DO并延長交BC于E,連結(jié)AE, 由(1)知AD，平面ABC,AE?平面 ABC

10、,ADXAE,又 AOXED,.AE2= EO ED,AE 2EO)舸 ED )即 屋ABC = SABOC SBCD.同理可證：SAacd = SA COD SABCD ,S ABD = SABOD SABCD .1- S2ABC+ S2ACD + S2ABD = S4 BCD (SaBOc+ SACOD + SABOD)= S BCD SABCD= S2 BCD.規(guī)律方法合情推理僅是“合乎情理”的推理，它得到的結(jié)論不一定真.但合情推理常常幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律， 為我們提供證明的思路和方法，而演繹推理得到的結(jié)論一定正確(前提和推理形式都正確的前提下).跟蹤演練3已知命題："若

11、數(shù)列an是等比數(shù)列，且an>0,則數(shù)列bn= naia2an(n C N ) 也是等比數(shù)列”.類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論.解 類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列%是等差數(shù)列，則數(shù)列bn= ai + a2+ an也是等差數(shù)列. n證明如下：+ n(n 1 .設等差數(shù)列an的公差為 d,則 bn=ai+a2；一土亙=n-2=ai+-2(n- 1),所以數(shù)列bn是以ai為首項，2為公差的等差數(shù)列.r當堂檢測當堂訓練,體驗成功i.下面幾種推理過程是演繹推理的是()A.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補，如果/ A與/B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，

12、則/ A +ZB=i80°B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人C.由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)1, 1D.在數(shù)列an中，ai=1, an = 2,n-i+an1（n>2）,由此歸納出an的通項公式答案 A解析 A是演繹推理，B、D是歸納推理，C是類比推理.2.”因為對數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)（大前提），又y=log< x是對數(shù)函數(shù)（小前提），所以y3=log，是增函數(shù)（結(jié)論）.”下列說法正確的是（）A.大前提錯誤導致結(jié)論錯誤B.小前提錯誤導致結(jié)論錯誤C.推理形式錯誤導致結(jié)論錯誤D.大前提和小前提都錯誤導致結(jié)論

13、錯誤答案 A解析 y=logax是增函數(shù)錯誤.故大前提錯.3.把“函數(shù)y=x2+x+ 1的圖象是一條拋物線”恢復成三段論，則大前提： ;小 前提：;結(jié)論：.答案二次函數(shù)的圖象是一條拋物線圖象是一條拋物線函數(shù)y=x2+x+1是二次函數(shù)函數(shù)y=x2+x+1的4. “如圖，在 ABC 中，AC>BC,CD是AB邊上的高，求證：/ ACD>/BCD”證明：在 ABC中，因為 CD LAB, AC>BC,所以AD>BD, 于是/ ACD>Z BCD.則在上面證明的過程中錯誤的是 .（只填序號） 答案 解析 由AD>BD,得到/ ACD>Z BCD的推理的大前提應

14、是 “在同一三角形中，大邊對大 角”，小前提是 AD>BD"，而AD與BD不在同一三角形中，故錯誤.調(diào)堂小結(jié)1 .演繹推理是從一般性原理出發(fā)，推出某個特殊情況的推理方法；只要前提和推理形式正 確，通過演繹推理得到的結(jié)論一定正確.2 .在數(shù)學中，證明命題的正確性都要使用演繹推理，推理的一般模式是三段論，證題過程 中常省略三段論的大前提.¥會層訓練 白解疑劌保.訓/檢博一、基礎達標1 .下列表述正確的是()歸納推理是由部分到整體的推理；歸納推理是由一般到一般的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理；類比推理是由特殊到一般的推理；類比推理是由特殊到特殊的推理.A.B.C.D.答

15、案 D解析 根據(jù)歸納推理，演繹推理，類比推理的概念特征可以知道正確.2 .論語 學路篇中說：“名不正，則言不順；言不順，則事不成；事不成，則禮樂不興； 禮樂不興，則刑罰不中；刑罰不中，則民無所措手足；所以，名不正，則民無所措手足. ”上述推理用的是()A.類比推理B.歸納推理C.演繹推理D. 一次三段論答案 C解析 這是一個復合三段論，從“名不正”推出“民無所措手足”，連續(xù)運用五次三段論，屬演繹推理形式.3 .正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x) = sin(x2+1)是正弦函數(shù)，因此f(x)=sin (x2+1)是奇函數(shù).以上推理()A.結(jié)論正確B.大前提不正確C.小前提不正確D.全不正確答案 C解析

16、 由于函數(shù)f(x) = sin (x2+1)不是正弦函數(shù).故小前提不正確.4 . “二四邊形ABCD是矩形，四邊形ABCD的對角線相等.”以上推理的大前提是()A.正方形都是對角線相等的四邊形B.矩形都是對角線相等的四邊形C.等腰梯形都是對角線相等的四邊形D.矩形都是對邊平行且相等的四邊形答案 B解析 利用三段論分析：大前提：矩形都是對角線相等的四邊形；小前提：四邊形 ABCD是矩形；結(jié)論：四邊形 ABCD的對角線相等.5 .三段論：“小宏在 2013年的高考中考入了重點本科院校；小宏在 2013年的高考中 只要正常發(fā)揮就能考入重點本科院校； 小宏在2013年的高考中正常發(fā)揮”中， “小前提”

17、 是（填序號）.答案解析 在這個推理中，是大前提，是小前提，是結(jié)論.6 .在求函數(shù)y= 0log » ，的定義域時，第一步推理中大前提是當,有意義時，a>0;小前提是 Jog2X- 2有意義；結(jié)論是 .答案 y= log2x 2的定義域是4,+8） 解析由大前提知10g2X 2>0,解得x>4.7 .用三段論證明：直角三角形兩銳角之和為90°.證明因為任意三角形內(nèi)角之和為180。（大前提），而直角三角形是三角形（小前提），所以直角三角形內(nèi)角之和為 180° （結(jié)論）.設直角三角形兩個銳角分別為/A、/B,則有/ A+Z B+90 = 180,因為

18、等量減等量差相等（大前提），（/A+/ B + 90°） 90° = 180° 90°（小前提），所以/ A+ / B = 90°（結(jié)論）.二、能力提升8 . “所有9的倍數(shù)（M）都是3的倍數(shù)（P）,某奇數(shù)（S）是9的倍數(shù)（M）,故某奇數(shù)（S）是3的倍 數(shù)（P）. ”上述推理是（）A .小前提錯B.結(jié)論錯C.正確的D.大前提錯答案 C解析由三段論推理概念知推理正確.9 .已知三條不重合的直線m、n、l,兩個不重合的平面 a、3,有下列命題：若 m / n, n? a,則 m / a;若 l, a, m± 3且 l / m,則 a/ 3

19、;若 m? a, n? a, m / & n / 3,則 a/ 3;若 a± 3, aA 3= m, n? 3, nm,則 n,其中正確的命題個數(shù)是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案 B解析 中，m還可能在平面a內(nèi)，錯誤；正確；中，m與n相交時才成立，錯誤；正確.故選B.，一， 一 110 .已知函數(shù) f(x)滿足：f(1) = 4, 4f(x)f(y)=f(x+ y)+f(x y)(x, yC R),則 f(2 010) =. ,1答案2解析 令 y= 1 得 4f(x) f(1) = f(x+1) +f(x1)即 f(x)=f(x+1)+f(x 1)令 x 取 x+

20、 1 則 f(x+ 1) = f(x+2) + f(x)由得 f(x) = f(x+2) + f(x)+f(x- 1),即 f(x1) = f(x+2), .f(x)= f(x+3), . f(x+ 3)=- f(x+6),，f(x)=f(x+ 6),即f(x)周期為6,. .f(2 010) = f(6X 335+ 0)= f(0)對 4f(x)f(y)= f(x+y)+f(x y),令 x= 1, y=0,得4f(1)f(0) = 2f(1),-1r一一1-f(0)=2,即 f(2 010)=2.11 .用演繹推理證明函數(shù)f(x)=|sin x尾周期函數(shù).證明大前提：若函數(shù)y = f(x)對于定義域內(nèi)白任意一個x值滿足f(x+T)=f(x)(T為非零常數(shù)),則它為周期函數(shù)，T為它的一個周期.小前提：f(x+|sin(x+ 句|= |sin x|= f(x).結(jié)論：函數(shù)f(x)=|sin x|是周期函數(shù).12 . S為 ABC所在平面外一點，SAL平面ABC,平面SABL平面SBC.求證：ABXBC.證明如圖，作AEXSBT E.平