11有理數(shù)的乘方例題與講解

1、2.11 有理數(shù)的乘方基礎知識孱本技能m FJ I/3，I ，I IJ 111 J i F' i ；1 .有理數(shù)乘方的概念乘方的意義：一般地，n個相同的因數(shù)a相乘：，X .乂 口乂乂 ) ,記作an ,即 M個入-aX&XaX 義)= an,這種求幾個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做哥.在an中，a叫做底數(shù)，n叫做 指數(shù)，an讀作a的n次方(或a的n次哥).(2)乘方的表示方法(3)學習乘方的意義，需要注意的幾個方面：注意乘方的雙重含義乘方指的是求幾個相同因數(shù)的積的運算，其結果叫做哥.由此不難發(fā)現(xiàn)，乘方具有雙重含義：一是乘方表示一種運算；二是乘方表示一種特殊的乘法運

2、算的結果.如25中，25可以看成一種運算，表示有 5個2相乘，即25=2X2X2X2X2,這時，25 應讀作2的五次方；另一方面，25又可看成5個2相乘的結果，即2X2X2X2X2 = 25,這 時25卻讀作2的5次哥；注意乘方底數(shù)的書寫格式乘方的書寫一定要規(guī)范，不然會引起誤會.當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，一定要記住添上括號，以體現(xiàn)底數(shù)是負數(shù)或分數(shù)的整體性.如( 3)X(3)X(3)X(3)應記作(3)4,不能記作 34.(3)4 與34表示的意義和結果完全不同.前者表示4個-3相乘，結果為81;后者為4個3相乘的積的相反數(shù)，結果為一81.再如5*5*)*5*5*5應記作呷上不能記作5；4 4 4

3、4 4 444一個數(shù)可以看成這個數(shù)本身的一次方，如3就是31, a就是a1,只是指數(shù)1通常省略an與一an的區(qū)別：i .an表示n個a相乘，底數(shù)是a,指數(shù)是n,讀作：a的n次方.ii . an表示n個a乘積的相反數(shù)，底數(shù)是 a,指數(shù)是n,讀作：a的n次方的相反數(shù).如：(一3)3底數(shù)是一3,指數(shù)是3,讀作一3的3次方，表示3個一3相乘，(-3)3=(- 3)X (3)X(3)= 27. 33底數(shù)是3,指數(shù)是3,讀作3的3次方的相反數(shù).33=(3X3X3) =27.所以(一3)3與一33的結果雖然都是一27,但表示的含義并不同.注意乘方運算的轉化.計算乘方運算的結果時，應將乘方運算轉化為乘法運算來

4、完成.如計算(5)3時，應將它轉化為計算(5)X(5)X (5)的積；再如計算 吆j4時，應將它1 11 1轉化為計算2X2X2W的積.【例1】 把下列各式寫成乘方的形式，并指出底數(shù)，指數(shù)各是什么？(1)( 8.3)X (8.3)X ( 8.3) X ( 8.3) X ( 8.3);2(2)gxlx5X5；(3)ax ax a x x a(2 011 個 a).分析：以上三題都是相同因數(shù)相乘，可用乘方的形式表示，相同因數(shù)為底數(shù)，相同因 數(shù)的個數(shù)為指數(shù)，指數(shù)寫在右上角.解：(1)( 8.3)X (8.3)X ( 8.3)X ( 8.3)X ( 8.3)=(8.3)5；2 2 2/2 4(2)x

5、- X _X-= I T.()5 5 5 55 '(3)ax ax ax x a(2 011 個 a) = a2 011.警誤區(qū)書寫乘方的注意事項當?shù)讛?shù)是負數(shù)或分數(shù)時，寫成乘方的形式時，底數(shù)一定 要加上括號,如(1), (2)兩題.2 .乘方運算的符號法則次(1)有理數(shù)乘方的符號法則：正數(shù)的任何次哥是正數(shù)；負數(shù)的偶次哥是正數(shù)，奇 哥是負數(shù)；0的任何次哥等于0; 1的任何次哥等于1.(2)根據(jù)乘方的符號法則和乘方運算的轉化，關于乘方有如下幾個性質(zhì)：0的任何正整數(shù)次哥都是 0;互為相反數(shù)的偶次哥相等；互為相反數(shù)的奇次哥互為相 反數(shù).如 0n=0(n 是正整數(shù));(-4)6=46; (-4)

6、3=-43.進行乘方運算時與其他運算一樣，先要確定符號，再計算出絕對值，同時還應注意(-a)2n=a2n, (_a)2n + 1=_ a2n+1(n是正整數(shù))，由乘方的法則我們還知道：a2n>0,即任何有理 數(shù)的偶次哥是非負數(shù).談重點 決定乘方結果的符號的因素有理數(shù)乘方結果的符號取決于：一底數(shù)的符號， 二指數(shù)的奇偶.【例2】利用有理數(shù)乘方運算的符號法則計算:(3)2； (2)1.53; (3)-3); (4)(-1)11;(5)(-1)2； (6)(1)2n； (7)(-1)2n1.分析：根據(jù)有理數(shù)乘方的符號法則：(2)正數(shù)的任何次哥都是正數(shù)，(1)(3)(5)(6)是負數(shù)的偶次哥，結果

7、為正；(4)(7)是負數(shù)的奇次哥，結果為負.解：(1)( 3)2=3X 3=9;(2)1.53= 1.5 X 1.5X 1.5=3.375;4 4 4X&X 4 X 4 256.(3)卜 3/ 3*3*3*3= 81，(4)(-1)11 = -1；(5)(T)2=1；(6)(-1)2n=1；(7)(-1)2n 1 = - 1.基本方法易木黑力口3 .有理數(shù)乘方的運算有理數(shù)乘方運算的思路：確定哥的符號；確定哥的絕對值.有理數(shù)的乘方是一種特殊的乘法運算一一因數(shù)相同的乘法運算，哥是乘方運算的結果.因此有理數(shù)的乘方運算可以轉化為乘法來運算，先根據(jù)有理數(shù)乘方的符號法則確定哥的符號，再根據(jù)乘方的意

8、義把乘方轉化為乘法，來運算哥的絕對值，最后得出塞的結果.例如計算( 5)3,先確定哥的符號為“”號，再計算53= 125,即(5)3= 125;再如，計算(一2)X32 時，先算 32=9,再算(一2)X9=18.正確理解有理數(shù)乘方的意義是進行乘方運算的前提，千萬不能把底數(shù)與指數(shù)直接相乘.在進行有理數(shù)的乘方運算時要辨別清楚底數(shù)和指數(shù)，以及符號問題，避免出錯.【例 31】 計算：(1)33; (2)(2)2; (3)(3X2)3; (4)-(-2)3.分析：運算時，先確定符號，再 計算乘方.(1)負號在哥的前面，結果是負數(shù)； (2)負數(shù) 的偶次哥，結果是正數(shù)；(3)先計算底數(shù)3X2= 6,再計算

9、(6)3; (4)先計算( 2)3,其結 果是負數(shù)，再加上前面的負號，最后結果是正數(shù).解：(1)33= (3X 3X 3) = 27;(2)(-2)2=4;(3)(-3X 2)3 = (-6)3 = - 216;(4)(2)3=(8)=8.警誤區(qū)勿把底數(shù)乘指數(shù)在進行乘方運算時，一定要避免出現(xiàn)把底數(shù)與指數(shù)直接相乘的運算錯誤.如一33=- (3X3) = - 9,這是由于沒有理解乘方的意義導致的.【例32】 計算(0.25)10X412的值.分析：直接求(0.25)10和412比較麻煩，但仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)(0.25)10=0.2510,表示10個0.25相乘，而412表示12個4相乘，這就提醒我們

10、利用乘法的交換律和結合律，比較 容易求出結果.解：(一0.25)10X 412= (0.25)10X 412=(0.25)10 X 410 x 42= (0.25 X 4) 10 X 42=1X 16=16.4 .有理數(shù)乘方運算的應用有理數(shù)的乘方運算在現(xiàn)實生活中有廣泛的應用，給生活中經(jīng)常出現(xiàn)的大數(shù)的讀寫帶來了極大的方便.現(xiàn)代高科技技術離不開數(shù)學技術，數(shù)學也是一門神奇的藝術，它那神奇的力量常常讓人感到意外和驚奇！比如，一層樓高約 3米，一張紙的厚度只有 0.1毫米，0.1毫米與3米相比幾乎可以忽 略不計，如果我們將紙對折、 再對折，如此這樣對折20次后，其厚度將比30層樓房還要高， 這就是有理數(shù)

11、乘方的神奇魔力，在現(xiàn)實生活中有著很廣泛的應用.數(shù)學是一門規(guī)律性很強的學科，只要掌握了它的規(guī)律，很多問題都可以迎刃而解了，乘方的規(guī)律也不例外.同學們要認真思考，仔細觀察找到有理數(shù)乘方應用的規(guī)律.【例4】“蘭州拉面”在學校門口開了一個連鎖店，今天開張，做拉面的張師傅站在 門口進行廣告宣傳，當眾拉起了拉面.他精湛的拉面技術贏得了圍觀顧客的陣陣喝彩，吃面的人更,是絡繹不絕.張師傅先是用一根直徑約13厘米的粗面條，把兩頭捏起來拉長，然后再把兩頭捏起來拉長，不斷地這樣，張師傅共拉了 10次，在他手里出現(xiàn)了一根根直徑約0.1毫米的細面條.算一算：張師傅拉10次共拉出了多少根細面條？若拉 n次呢？(請把探索的

12、結果填入下 表中)次數(shù)12345610n面條根數(shù)分析：第一次拉出21 = 2根，第二次拉出 22= 4根，第三次拉出 23= 8根，所以第n次 拉出2n根.解：拉面的根數(shù)與拉面的次數(shù) n有關系，拉面的根數(shù)=2n.次數(shù)12345610n面條根數(shù)二2481632 :642102n5 .與乘方相關的探究題探究題是近幾年中考中的亮點， 滲透多個知識點，形式多樣.解題時，一般遵循從特殊 到一般的探究思路，先準確計算幾個特例的結果， 再通過對這些結果的分析、歸納得到一個 較一般的結論，最后再應用這個結論解決問題.由于乘方是一種新運算，它是一種特殊的乘法，特殊在因數(shù)相同，是同學們新接觸的運算，所以解決 問題

13、時要注意，當?shù)讛?shù)是分數(shù)或負數(shù)時，寫成塞時底數(shù)要加括號.與有理數(shù)的乘方有關的探究題主要有以下幾種：(1)個位數(shù)字是幾，在中考中經(jīng)常涉及到，例如3n的個位數(shù)字是 3,9,7,1,3,971,依次循環(huán)；(2)拉面的條數(shù)、折紙的張數(shù)、握手 的次數(shù)、繩子的長度、細胞分裂的個數(shù)等，都利用2n或g1求解.【例51】 有一張厚度是0.1毫米的紙，將它對折 1次后，厚度為2X0.1毫米.(1)對折2次后，厚度為多少毫 米？(2)對折20次后，厚度為多少毫米？分析：此題的關鍵是將紙的層數(shù)化為哥的形式，找出對應關系.根據(jù)問題容易得到當對折兩次后厚度為 4X0.1 = 22X0.1毫米，對折3次后厚度變?yōu)?X 0.1 = 23X0.1毫米，對折4 次是1