2005——2010廣東高考數(shù)學(xué)試卷 詳細(xì)解答(理科)

1、2005年廣東省高考數(shù)學(xué)試卷參考公式： 如果事件A、B互斥，那么P（A+B）P（A）+P（B） 如果事件A、B相互獨(dú)立，那么P（A·B）P（A）·P（B）第一部分 選擇題（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1. 若集合，則MN（ ） A. 3 B. 0 C. 0，2 D. 0，3 2. 若，其中，i是虛數(shù)單位，則（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5 3. （ ） A. B. 0 C. D. 4. 已知高為3的直棱柱ABCABC的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形（如圖1所示），則三棱錐BABC的體

2、積為（ ） A. B. C. D. 5. 若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則m（ ） A. B. C. D. 6. 函數(shù)是減函數(shù)的區(qū)間為（ ） A. B. C. D.（0，2） 7. 給出下列關(guān)于互不相同的直線m、l、n和平面、的四個(gè)命題： 若； 若m、l是異面直線，； 若； 若 其中為假命題的是（ ） A. B. C. D. 8. 先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為X、Y，則的概率為（ ） A. B. C. D. 9. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象關(guān)于直線對(duì)稱?，F(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個(gè)單位，再沿軸向上平移1個(gè)單位，

3、所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖2所示），則函數(shù)的表達(dá)式為（ ） A. B. C. D. 10. 已知數(shù)列（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5第二部分 非選擇題（共100分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。 11. 函數(shù)的定義域是 。 12. 已知向量則x 。 13. 已知的展開式中的系數(shù)與的展開式中x3的系數(shù)相等，則 。 14. 設(shè)平面內(nèi)有n條直線（n3），其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)。若用表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則 ；當(dāng)n>4時(shí)， 。（用n表示）三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。 15

4、.（本小題滿分12分） 化簡(jiǎn)（，），并求函數(shù)的值域和最小正周期。 16.（本小題滿分14分） 如圖3所示，在四面體PABC中，已知PABC6，PCAB10，AC8，PB。F是線段PB上一點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AB上，且EFPB。 （）證明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小。圖3 17.（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線yx2上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩不同動(dòng)點(diǎn)A、B滿足AOBO（如圖4所示）。 （）求AOB的重心G（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程； （）AOB的面積是否存在最小值？若存在，請(qǐng)求出最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由。圖4 18.（本小題滿分12分） 箱中裝有大小相同

5、的黃、白兩種顏色的乒乓球，黃、白乒乓球的數(shù)量比為s:t?，F(xiàn)從箱中每次任意取出一個(gè)球，若取出的是黃球則結(jié)束，若取出的是白球，則將其放回箱中，并繼續(xù)從箱中任意取出一個(gè)球，但取球的次數(shù)最多不超過n次，以表示取球結(jié)束時(shí)已取到白球的次數(shù)。 （）求的分布列； （）求的數(shù)學(xué)期望。 19.（本小題滿分14分） 設(shè)函數(shù)，且在閉區(qū)間0，7上，只有 （）試判斷函數(shù)的奇偶性； （）試求方程在閉區(qū)間2005，2005上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。 20.（本小題滿分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖5所示）。將矩形折疊，使A點(diǎn)

6、落在線段DC上。 （）若折痕所在直線的斜率為k，試寫出折痕所在直線的方程；（）求折痕的長(zhǎng)的最大值。試題答案一、選擇題 1. B2. D3. A4. D5. B 6. D7. C8. C9. A10. B二、填空題 11. x|x<012.4 13.14. 5，三、解答題 15. 解： 函數(shù)f(x)的值域?yàn)?函數(shù)f(x)的周期 16. （I）證明： PAC是以PAC為直角的直角三角形，同理可證 PAB是以PAB為直角的直角三角形，PCB是以PCB為直角的直角三角形。 故PA平面ABC 又 而 故CFPB，又已知EFPB PB平面CEF （II）由（I）知PBCE，PA平面ABC AB是PB

7、在平面ABC上的射影，故ABCE 在平面PAB內(nèi)，過F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1平面ABC， EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC 故FEB是二面角BCEF的平面角。 二面角BCEF的大小為 17. 解：（I）設(shè)AOB的重心為G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 （1） OAOB ，即，（2） 又點(diǎn)A，B在拋物線上，有 代入（2）化簡(jiǎn)得： 所以重心為G的軌跡方程為 （II） 由（I）得： 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立。 所以AOB的面積存在最小值，存在時(shí)求得最小值為1。 18. 解：（I）的可能取值為：0，1，2，n 的分布列為012n-1np （II）的數(shù)學(xué)希望為

8、 （1） （2） （1）（2）得： 19. （I）解：由f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)得函數(shù)的對(duì)稱軸為 從而知函數(shù)不是奇函數(shù) 由 ，從而知函數(shù)的周期為 又，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù); （II）由 （II）又 故f(x)在0，10和-10，0上均有兩個(gè)解，從而可知函數(shù)在0，2005上有402個(gè)解，在-2005，0上有400個(gè)解，所以函數(shù)在-2005，2005上有802個(gè)解 20. 解：（I）（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程 （2）當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段CD上的點(diǎn)為G(a，1) 所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有 故G點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與O

9、G的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段OG的中點(diǎn)）為 折痕所在的直線方程，即 由（1）（2）得折痕所在的直線方程為： k0時(shí)，；時(shí) （II）（1）當(dāng)時(shí)，折痕的長(zhǎng)為2 （2）當(dāng)時(shí)，折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 令解得 所以折痕的長(zhǎng)度的最大值22006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)第一部分 選擇題（共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1、函數(shù)的定義域是A. B. C. D. 2、若復(fù)數(shù)滿足方程，則A. B. C. D. 圖13、下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是A. B. C. D. 4、如圖1所示，是的邊上

10、的中點(diǎn)，則向量A. B. C. D. 5、給出以下四個(gè)命題：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行，如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面圖2如果兩條直線都平行于一個(gè)平面，那么這兩條直線互相平行，如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.其中真命題的個(gè)數(shù)是A.4 B. 3 C. 2 D. 16、已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為A.5 B.4 C. 3 D. 27、函數(shù)的反函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn)（如圖2所示），則方程在上的根是A.4 B.3 C. 2 D.1

11、圖38、已知雙曲線，則雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離之比等于A. B. C. 2 D. 49、在約束條件下，當(dāng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的最大值的變化范圍是A. B. C. D. 10、對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)和，規(guī)定：，當(dāng)且僅當(dāng)；運(yùn)算“”為：；運(yùn)算“”為：，設(shè)，若，則A. B. C. D. 第二部分 非選擇題（共100分）二、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分.11、_.12、棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_.13、在的展開式中，的系數(shù)為_.圖414、在德國(guó)不來(lái)梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有

12、1層，就一個(gè)球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個(gè)乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）.三解答題：本大題共6小題，共80分.15、(本題14分)已知函數(shù).(I)求的最小正周期；(II)求的的最大值和最小值；(III)若，求的值.16、(本題12分)某運(yùn)動(dòng)員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布如下：789100現(xiàn)進(jìn)行兩次射擊，以該運(yùn)動(dòng)員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績(jī)，記為.圖5 (I)求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率(II)求的分布列(III) 求的數(shù)學(xué)期望.17、(本題14分)如圖5所示，、分別世、的直徑，與兩圓所在的平

13、面均垂直，.是的直徑，,.(I)求二面角的大??；(II)求直線與所成的角.18、(本題14分)設(shè)函數(shù)分別在處取得極小值、極大值.平面上點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，該平面上動(dòng)點(diǎn)滿足,點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn).求(I)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(II)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.19、(本題14分)已知公比為的無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為9，無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為.(I)求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；(II)對(duì)給定的，設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，求的前10項(xiàng)之和；(III)設(shè)為數(shù)列的第項(xiàng)，求，并求正整數(shù)，使得存在且不等于零.（注：無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和即當(dāng)時(shí)該無(wú)窮等比數(shù)列前項(xiàng)和的極限）20、(本題12分)是定義在上且滿足如下條件的函數(shù)組成的集合：對(duì)

14、任意的，都有；存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有.(I)設(shè) ，證明：(II)設(shè)，如果存在，使得，那么這樣的是唯一的；(III) 設(shè)，任取，令，證明：給定正整數(shù)，對(duì)任意的正整數(shù)，成立不等式2006年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(B)參考答案1、解：由，故選B.2、由，故選D.3、B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不是奇函數(shù),是減函數(shù);故選A.4、，故選A.5、正確，故選B.6、，故選C.7、的根是2，故選C8、依題意可知 ，故選C.9、由交點(diǎn)為，（1） 當(dāng)時(shí)可行域是四邊形OABC，此時(shí)，（2） 當(dāng)時(shí)可行域是OA此時(shí)，故選D.10、由得,所以,故選B.

15、二、填空題11、12、13、所以的系數(shù)為14、10，三、解答題15解：（）的最小正周期為;（）的最大值為和最小值；（）因?yàn)?，?即 16解：()求該運(yùn)動(dòng)員兩次都命中7環(huán)的概率為；() 的可能取值為7、8、9、10 分布列為78910P0.040.210.390.36() 的數(shù)學(xué)希望為.17、解：()AD與兩圓所在的平面均垂直,ADAB, ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依題意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小為450；()以O(shè)為原點(diǎn)，BC、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（

16、0，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，0）所以，設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則直線BD與EF所成的角為18解: ()令解得當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí),所以,函數(shù)在處取得極小值,在取得極大值,故,所以, 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為.() 設(shè)，所以，又PQ的中點(diǎn)在上，所以消去得19解: ()依題意可知,()由()知,所以數(shù)列的的首項(xiàng)為,公差,即數(shù)列的前10項(xiàng)之和為155.() =，=當(dāng)m=2時(shí)，=，當(dāng)m>2時(shí)，=0，所以m=220解：對(duì)任意,所以對(duì)任意的，所以0<,令=，所以反證法:設(shè)存在兩個(gè)使得,則由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立。，所以+2007年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù) 學(xué)（理科

17、）參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高 如果事件互斥，那么如果事件相互獨(dú)立，那么 用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式，一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的1已知函數(shù)的定義域，的定義域?yàn)?，則=（ ）ABCD2若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)（是虛數(shù)單位，是實(shí)數(shù)），則（ ）A2BCD3若函數(shù)，則是（ ）A最小正周期為的奇函數(shù)B最小正周期為的奇函數(shù)C最小正周期為的偶函數(shù)D最小正周期為的偶函數(shù)4客車從甲地以60km/h的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地停留了半小時(shí)，然后以80km/h的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)內(nèi)地下列描述客車從甲地出發(fā)，經(jīng)

18、過乙地，最后到達(dá)丙地所經(jīng)過的路程與時(shí)間之間關(guān)系的圖象中，正確的是（）s(km)s(km)s(km)s(km)160160160160140120140120140120140120100100100100808080806060606000000321321321321DCBAt(h)t(h)t(h)t(h)5已知數(shù)列的前項(xiàng)和，第項(xiàng)滿足，則（ ）A9B8C7D66圖1是某縣參加2007年高考的學(xué)生身高條形統(tǒng)計(jì)圖，從左到右的各條形表示的學(xué)生人數(shù)依次記為（如表示身高（單位：cm）在內(nèi)的學(xué)生人數(shù)）圖2是統(tǒng)計(jì)圖1中身高在一定范圍內(nèi)學(xué)生人數(shù)的一個(gè)算法流程圖現(xiàn)要統(tǒng)計(jì)身高在160180cm（含160cm，不

19、含180cm）的學(xué)生人數(shù)，那么在流程圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填寫的條件是（） 圖1圖2開始輸入結(jié)束否是50100150200250300350400450500550600145150155160165170175180185190195人數(shù)/人身高/cm圖37圖3是某汽車維修公司的維修點(diǎn)環(huán)形分布圖公司在年初分配給四個(gè)維修點(diǎn)某種配件各50件在使用前發(fā)現(xiàn)需將四個(gè)維修點(diǎn)的這批配件分別調(diào)整為，件，但調(diào)整只能在相鄰維修點(diǎn)之間進(jìn)行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動(dòng)件次（件配件從一個(gè)維修點(diǎn)調(diào)整到相鄰維修點(diǎn)的調(diào)動(dòng)件次為）為（）8設(shè)是至少含有兩個(gè)元素的集合，在上定義了一個(gè)二元運(yùn)算“*”（即對(duì)任意的，對(duì)于有序元素對(duì)（），

20、在中有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)）若對(duì)任意的，有，則對(duì)任意的，下列等式中不恒成立的是（ ）ABCD二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分其中1315題是選做題，考生只能選做二題，三題全答的，只計(jì)算前兩題得分9甲、乙兩個(gè)袋中裝有紅、白兩種顏色的小球，這些小球除顏色外完全相同，其中甲袋裝有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙袋裝有1個(gè)紅球，5個(gè)白球現(xiàn)分別從甲、乙兩袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球，則取出的兩球是紅球的概率為 （答案用分?jǐn)?shù)表示）10若向量滿足，與的夾角為，則 圖411在平面直角坐標(biāo)系中，有一定點(diǎn)，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是 12如果一個(gè)凸多面體是棱錐，那么這個(gè)凸多面體的所

21、有頂點(diǎn)所確定的直線共有 條，這些直線中共有對(duì)異面直線，則 ； （答案用數(shù)字或的解析式表示）圖513（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（參數(shù)），圓的參數(shù)方程為（參數(shù)），則圓的圓心坐標(biāo)為 ，圓心到直線的距離為 14（不等式選講選做題）設(shè)函數(shù)，則 ；若，則的取值范圍是 15（幾何證明選講選做題）如圖5所示，圓的直徑，為圓周上一點(diǎn)，過作圓的切線，過作的垂線，分別與直線、圓交于點(diǎn)，則 ，線段的長(zhǎng)為 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為，（1）若，求的值；（2）若是鈍角，求的取值范圍17（本

22、小題滿分12分）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸標(biāo)準(zhǔn)煤）的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)34562.5344.5（1）請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程；（3）已知該廠技改前噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為噸標(biāo)準(zhǔn)煤試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)生產(chǎn)噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？（參考數(shù)值：）18（本小題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系，已知圓心在第二象限、半徑為的圓與直線相切于坐標(biāo)原點(diǎn)橢圓與圓的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為（1）求圓的方程；（2）試探究圓上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)，使到橢圓右焦點(diǎn)的距離等于

23、線段的長(zhǎng)，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由19（本小題滿分14分）圖6PEDFBCA如圖6所示，等腰的底邊，高，點(diǎn)是線段上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，現(xiàn)沿將折起到的位置，使，記，表示四棱錐的體積（1）求的表達(dá)式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？（3）當(dāng)取得最大值時(shí)，求異面直線與所成角的余弦值20（本小題滿分14分）已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，求取值范圍21（本小題滿分14分）已知函數(shù)，是方程的兩個(gè)根（），是的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，（1）求的值；（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，都有；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)(理科) 一、選擇題：本大題共8小題，

24、每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知，復(fù)數(shù)的實(shí)部為，虛部為1，則的取值范圍是（ C ）ABCD【解析】，而，即， 2記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ D ）A16B24C36D48【解析】，故一年級(jí)二年級(jí)三年級(jí)女生373男生3773703某校共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表1已知在全校 學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到二年級(jí)女生的概率是0.19現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取64名學(xué)生，則應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（ C ）A24B18C16D12 表1【解析】依題意我們知道二年級(jí)的女生有380人，那么三年級(jí)的學(xué)生的人數(shù)應(yīng)該是，即總體中各個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例為

25、，故在分層抽樣中應(yīng)在三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為4若變量滿足則的最大值是（ C ）A90 B80 C70 D40【解析】畫出可行域,利用角點(diǎn)法易得答案C.5將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示分別是三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（ A ）EFDIAHGBCEFDABC側(cè)視圖1圖2BEABEBBECBED【解析】解題時(shí)在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案A.6已知命題所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（ D ）ABCD【解析】不難判斷命題為真命題，命題為假命題，從而上述敘述中只有 為真命題7設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點(diǎn)，

26、則（ B ）ABCD【解析】，若函數(shù)在上有大于零的極值點(diǎn)，即有正根。當(dāng)有成立時(shí),顯然有,此時(shí)，由我們馬上就能得到參數(shù)的范圍為.8在平行四邊形中，與交于點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)若，則（ B ）ABCD開始n整除a?是輸入結(jié)束輸出圖3否【解析】此題屬于中檔題.解題關(guān)鍵是利用平面幾何知識(shí)得出,然后利用向量的加減法則易得答案B.二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（912題）9閱讀圖3的程序框圖，若輸入，則輸出 ， （注：框圖中的賦值符號(hào)“”也可以寫成“”或“”）【解析】要結(jié)束程序的運(yùn)算，就必須通過整除的條件運(yùn)算，而同時(shí)也整除，那么的最小值應(yīng)為和的最小

27、公倍數(shù)12，即此時(shí)有。10已知（是正整數(shù)）的展開式中，的系數(shù)小于120，則 【解析】按二項(xiàng)式定理展開的通項(xiàng)為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。11經(jīng)過圓的圓心，且與直線垂直的直線方程是 【解析】易知點(diǎn)C為，而直線與垂直，我們?cè)O(shè)待求的直線的方程為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入馬上就能求出參數(shù)的值為，故待求的直線的方程為。12已知函數(shù)，則的最小正周期是 【解析】,此時(shí)可得函數(shù)的最小正周期。二、選做題（1315題，考生只能從中選做兩題）13（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，則曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 【解析】我們通過聯(lián)立解方程組解得,即兩曲線的交點(diǎn)為。14（不等式選講選做題）

28、已知，若關(guān)于的方程有實(shí)根，則的取值范圍是 【解析】方程即,利用絕對(duì)值的幾何意義(或零點(diǎn)分段法進(jìn)行求解)可得實(shí)數(shù)的取值范圍為15（幾何證明選講選做題）已知是圓的切線，切點(diǎn)為，是圓的直徑，與圓交于點(diǎn)，則圓的半徑 【解析】依題意，我們知道,由相似三角形的性質(zhì)我們有,即。三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明，證明過程或演算步驟16（本小題滿分13分）已知函數(shù)，的最大值是1，其圖像經(jīng)過點(diǎn)（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值【解析】（1）依題意有，則，將點(diǎn)代入得，而，故；（2）依題意有，而，。17（本小題滿分13分）隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件，經(jīng)質(zhì)檢，其中有一等品126件、二等

29、品50件、三等品20件、次品4件已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元、2萬(wàn)元、1萬(wàn)元，而1件次品虧損2萬(wàn)元設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）為（1）求的分布列；（2）求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)（即的數(shù)學(xué)期望）；（3）經(jīng)技術(shù)革新后，仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品，但次品率降為，一等品率提高為如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4.73萬(wàn)元，則三等品率最多是多少？【解析】的所有可能取值有6，2，1，-2；，故的分布列為：621-20.630.250.10.02（2）（3）設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為，則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為依題意，即，解得 所以三等品率最多為18（本小題滿分14分）設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程

30、為如圖4所示，過點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；（2）設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）【解析】（1）由得，AyxOBGFF1圖4當(dāng)?shù)?，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，過點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；（2）過作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，同理 以為直角的只有一個(gè)。若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和， 。關(guān)于的二次方程有

31、一大于零的解，有兩解，即以為直角的有兩個(gè)，因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。19（本小題滿分14分）設(shè)，函數(shù)，試討論函數(shù)的單調(diào)性【解析】 對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)。20（本小題滿分14分）FCPGEAB圖5D如圖5所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，垂直底面，分別是上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的平行線交于（1）求與平面所成角的正弦值；（2）證明：是直角三角形；（3）當(dāng)時(shí)，求的面積【解析】（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即為以為直角的直角三角形。設(shè)點(diǎn)到面

32、的距離為,由有,即 ;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）時(shí),即,的面積21（本小題滿分12分）設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，（）（1）證明：，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，求的前項(xiàng)和【解析】（1）由求根公式，不妨設(shè)，得，（2）設(shè)，則，由得，消去，得，是方程的根，由題意可知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程組的解記為即、分別是公比為、的等比數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得,兩式相減，得，即，當(dāng)時(shí)，即方程有重根，即，得，不妨設(shè)，由可知，即，等式兩邊同時(shí)除以，得，即數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，,綜上所述，（3）把，代入，得，解得絕密啟用前 試卷類型：B2009年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（廣東卷）數(shù)學(xué)（

33、理科）本試卷共4頁(yè)，21小題，滿分150分。考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽宇筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。4作答選做題

34、時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題組號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的，答案無(wú)效。 5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高一、 選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的巳知全集，集合和的關(guān)系的韋恩（enn）圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有A個(gè) 個(gè)個(gè) 無(wú)窮個(gè)1.解：，所以 故，選B設(shè)是復(fù)數(shù)，表示滿足的最小正整數(shù)，則對(duì)虛數(shù)單位， 2. 解：因?yàn)?， ，所以滿足的最小正整數(shù)的值是4。故，選C若函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，其圖像經(jīng)過點(diǎn)，則 3.解：由函數(shù)是

35、函數(shù)的反函數(shù)，可知，又其圖像經(jīng)過點(diǎn)，即，所以a=, 。故答B(yǎng)。巳知等比數(shù)列滿足，且，則當(dāng)時(shí)， 4。解：在中，令n=5,得，令n=3,得， 又，所以，從而解得，公比，所以1+3+（2n-1）=5給定下列四個(gè)命題：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；垂直于同一直線的兩條直線相互平行；若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直其中，為真命題的是和 和 .和 和5.解： 顯然 和是假命題，故否定A,B,C, 答 D.6一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知成角，

36、且的大小分別為和，則的大小為 6.解：依題意，可知，所以， =28.所以，力的大小為， 答D。F1F2F3OABCD6解法2. D.結(jié)合向量的平行四邊形法則,易知的大小即平行四邊形對(duì)角線的長(zhǎng)度,根據(jù)余弦定理,可得,故,從而選D.72010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有36種 12種 18種 48種7。解：若小張和小趙兩人都被選中，則不同的選派方案有種，若小張和小趙兩人只有一人都被選中，則不同的選派方案有種，故， 總的不同的選派方

37、案共有12+24=36種。 答A。8已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā),并沿同一路線假定為直線）行駛甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）那么對(duì)于圖中給定的，下列判斷中一定正確的是A在時(shí)刻，甲車在乙車前面B時(shí)刻后，甲車在乙車后面C在時(shí)刻，兩車的位置相同D時(shí)刻后，乙車在甲車前面8. 解：因?yàn)樗俣群瘮?shù)是路程函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即，所以， 根據(jù)定積分的定義，比較圖中速度曲線分別與x軸及直線，圍成的圖形的面積，即可看出，應(yīng)選A。二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（題）隨機(jī)抽取某產(chǎn)品件，測(cè)得其長(zhǎng)度分別為，則圖3所示的程序框圖輸出的 ，表示的樣本的數(shù)字特征是 （注：框

38、圖中的賦值符號(hào)“=”也可以寫成“”“：=”）9.解：記時(shí)求得的S值為,記初始值為, 則,故,答案為(1) ；(2)這n件產(chǎn)品的平均長(zhǎng)度。若平面向量滿足，平行于軸，則 10。解：設(shè)，則，依題意，得 ，解得或，所以或。 答： 或。11巳知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，離心率為，且上一點(diǎn)到的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為12，則橢圓的方程為 _ 11.解：設(shè)橢圓G的方程為，焦半徑為c, 依題意，得2a=12，且， 解得a=6，c=, 所以所以， 橢圓G的方程為。12已知離散型隨機(jī)變量的分布列如右表若，則 ， 12。解：依題意，得，解得答： ； （二）選做題（13 15題，考生只能從中選做兩題）13（坐標(biāo)系

39、與參數(shù)方程選做題）若直線與直線（為參數(shù)）垂直，則 13解：直線化為普通方程是，該直線的斜率為， 直線（為參數(shù)）化為普通方程是，該直線的斜率為，則由兩直線垂直的充要條件，得， 。14（不等式選講選做題）不等式的實(shí)數(shù)解為 14。解： 解得且。所以原不等式的解集為x|且15(幾何證明選講選做題）如圖4，點(diǎn)是圓上的點(diǎn)， 且，則圓的面積等于 15解法一：連結(jié)OA，OB，則AOB=2ACB=90O，所以AOB為等腰直角三角形，又，所以，圓O的半徑R=，圓的面積等于解法二：設(shè)圓O的半徑為R，在ABC中，由正弦定理，得，解得R=，所以，圓的面積等于三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明

40、過程和演算步驟，16(本小題滿分12分）已知向量互相垂直，其中（1）求的值；（2）若，求的值16解：（1） 向量與互相垂直， ，即，又 代入，整理，得，由，可知，代入得故 ， 。（2）， 將（1）的結(jié)果代入其中，得 整理，得， 又代入，整理，得由，可知，所以，解得。17（本小題滿分12分）根據(jù)空氣質(zhì)量指數(shù)API（為整數(shù)）的不同，可將空氣質(zhì)量分級(jí)如下表:對(duì)某城市一年（365天）的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，獲得API數(shù)據(jù)按照區(qū)間進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖5（1）求直方圖中的值； （2）計(jì)算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù)；（3）求該城市某一周至少有2天的空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率.(結(jié)果用分

41、數(shù)表示已知,）17.解：（1）因?yàn)椋陬l率分布直方圖中，各個(gè)小矩形的面積之和等于1，依題意，得又 所以 。（2）一年中空氣質(zhì)量為良和的天數(shù)為 （天）；一年中空氣質(zhì)量為輕微污染的天數(shù)為 （天）；（3）由（2）可知，在一年之中空氣質(zhì)量為良或輕微污染的天數(shù)共有119+100=219（天） 所以，在一年之中的任何一天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率是， 設(shè)一周中的空氣質(zhì)量為良或輕微污染的天數(shù)為，則B（7，） ，（k=0,1,2,7）設(shè)“該城市某一周至少有2天的空氣質(zhì)量為良或輕微污染”為事件A，則= =.18（本小題滿分分）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是正方形的中心，點(diǎn)、分別是棱的中點(diǎn)設(shè)點(diǎn)分別是點(diǎn)、在平面內(nèi)

42、的正投影（）求以為頂點(diǎn)，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（）證明：直線；（）求異面直線所成角的正弦值18.(1)解：點(diǎn)D,分別是點(diǎn)A,在平面內(nèi)的正投影四邊形在平面內(nèi)的正投影為四邊形 又平面 ，且 所以，所求錐體的體積為=（）證明：平面 ，平面 ，在正方形中，分別是的中點(diǎn)， 又=；（）設(shè)的中點(diǎn)為H，連結(jié)EH， 則EHCD，且EH=CD=2， AEH就是異面直線所成角 又CD平面，EH平面 在RTAEH中，EH =2，AH=，所以EA=所以，異面直線所成角的正弦值為。解法2：（1）依題作點(diǎn)、在平面內(nèi)的正投影、，則、分別為、的中點(diǎn)，連結(jié)、，則所求為四棱錐的體積，其底面面積為 ，又面，

43、.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別作軸，軸，軸，得、，又，則，即，又，平面.（3），則，設(shè)異面直線所成角為，則.19（本小題滿分分）已知曲線與直線交于兩點(diǎn)和，且記曲線在點(diǎn)和點(diǎn)之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為設(shè)點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合（）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，試求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；（）若曲線與有公共點(diǎn)，試求的最小值19.解：（1）解曲線C與直線的聯(lián)立方程組,得, 又，所以點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為 點(diǎn)是線段的中點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)是上的任一點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)和點(diǎn)均不重合 ， 即，且設(shè)線段的中點(diǎn)為(x,y),則點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程為（s為參數(shù)，且）；消去s 整理，得，且所以，線段的中點(diǎn)的軌

44、跡方程是，；（）曲線可化為，它是以G(a,2)為圓心，以為半徑的圓，設(shè)直線與y軸相交于點(diǎn)E，則E點(diǎn)的坐標(biāo)為E(0,2)；自點(diǎn)A做直線的垂線，交直線y=2 于點(diǎn)F，在RTEAF中，AEF= ，所以， ， 當(dāng)且圓G與直線相切時(shí)，圓心G必定在線段FE上，且切點(diǎn)必定在線段AE上，于是，此時(shí)的a的值就是所求的最小值。當(dāng)圓G與直線相切時(shí) ， 解得，或者（舍去）所以，使曲線G與平面區(qū)域D有公共點(diǎn)的a的最小值是（備注：討論圓G與直線切點(diǎn)的位置的必要性。若圓G的半徑大于|AF|,則圓G與直線的切點(diǎn)將落在線段EA的延長(zhǎng)線上，此時(shí)，圓G與平面區(qū)域D沒有公共點(diǎn)，這時(shí)令圓G過點(diǎn)A，求出的a 的兩個(gè)值，其中的那個(gè)較小的數(shù)，才是所求。）20（本小題滿分分）已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值設(shè)（）若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的值；（）如何取值時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)20.解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為 則它的導(dǎo)函數(shù)為， 函數(shù)的圖像與直線平行， 2a=2，解得a=1,所以 ，在處取得極小值，即，解得。所以 ，=（）（1）設(shè)點(diǎn)點(diǎn)P（，）為曲線上的任意一點(diǎn)則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離為由基本不等式定理可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)“=”成立，此時(shí)=又已知點(diǎn)P到點(diǎn)的距離的最小值為，所以令兩邊平方整理， 得當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，解得所以，的值為或者；（2）函數(shù)令=（）令，即（