2013華師網(wǎng)絡(luò)學(xué)院數(shù)學(xué)建模在線作業(yè)題答案

1、數(shù)學(xué)建模作業(yè)題注意事項(xiàng)：作業(yè)共十題，每題十分， 全部是比較簡單的建模計(jì)算題， 題目既是課本上的習(xí)題， 在課 本 304315 有參考解答， 又是在線題庫的題目， 在題庫里有更詳細(xì)的解答。 學(xué)員應(yīng)該先自己 動腦筋解決，然后才參考一下課本及題庫的解答。評分高低主要是看完成作業(yè)的態(tài)度、獨(dú)立程度和表達(dá)清晰程度。 上傳的作業(yè)必須是包括全部作業(yè)的單獨(dú)一份 word 文檔，必須自己錄入，不允許掃描， 不允許直接插入題庫答案中的圖片。嚴(yán)重違反者，不及格。請于有效期結(jié)束前兩周提交上傳作業(yè)， 教師盡快批改， 請學(xué)員有效期結(jié)束前一周查看成 績，不及格的學(xué)員可以在課程答疑欄目提出或者課程論壇提出重交申請， 教師刪除原

2、作業(yè)后， 這些學(xué)員可以在有效期結(jié)束前之前重交作業(yè)。每人只有一次重交機(jī)會。作業(yè)題與考試相關(guān)（當(dāng)然不會一模一樣） ，認(rèn)真完成作業(yè)的學(xué)員，必將在考試取得好成 績。一、教材 76頁第 1章習(xí)題 1第 7題（來自高中數(shù)學(xué)課本的數(shù)學(xué)探究問題，滿分 10分） 表 1.17 是某地一年中 10 天的白晝時間（單位：小時） ，請選擇合適的函數(shù)模型，并進(jìn) 行數(shù)據(jù)擬合 .表 1.17 某地一年中 10 天的白晝時間日期1月1日2月 28日3月 21日4月 27日5月6日白晝時間5.5910.2312.3816.3917.26日期6月 21日8月 14日9月 23日10 月 25 日11月 21 日白晝時間19.40

3、16.3412.018.486.131. 解：根據(jù)地理常識，某地的白晝時間是以一年為周期變化的，以日期在一年中的序號為自變量 x，以白晝時間為因變量 y,則根據(jù)表 1.17 的數(shù)據(jù)可知在一年（一個周期）內(nèi)， 隨著 x的增加， y先增后減， y大約在 6月 21日（夏至）達(dá)到最大值， 在12月 21日（冬 至）達(dá)到最小值，在 3月 21日（春分）或 9月 21日（秋分）達(dá)到中間值。選擇正弦函 數(shù)2y=Asin（ 365 x 1.3712）+12 .385預(yù)測該地 12月 21日的白晝時間為 5.49小時二、教材 100 頁第 2 章習(xí)題 2 第 1 題（滿分 10 分）繼續(xù)考慮第 2.2 節(jié)“汽

4、車剎車距離”案例，請問“兩秒準(zhǔn)則”和“一車長度準(zhǔn)則”一樣嗎？“兩秒準(zhǔn)則”是否足夠安全？對于安全車距，你有沒有更好的建議？2解：“兩秒準(zhǔn)則”表明前后車距D 與車速成正比例關(guān)系 D=K 2,其中 K2=2s , 對于小型汽車，“一車長度準(zhǔn)則”與“兩秒準(zhǔn)則”不一致。由d D=2（K21）可以計(jì)算得到當(dāng)<（ K21）/2=54.428/h 時有 d<D，“兩秒準(zhǔn)則”足夠安全，或者吧剎車距離實(shí)測數(shù)據(jù)和“兩秒準(zhǔn)則” 都畫在同一幅圖中， 根據(jù)圖形指出 “兩秒準(zhǔn)則” 足夠安全的車速范圍。用最大剎車距離除以車速， 得到最大剎車距離所需要的尾隨時間， 并以尾隨時間為根據(jù)， 提出更安全的準(zhǔn)則，如“ 3秒

5、準(zhǔn)則”、“4秒準(zhǔn)則”或“ t 秒準(zhǔn)則”（如下圖）。t 秒準(zhǔn)則，剎車距離的模型和數(shù)據(jù)29三、教材 100 頁第 2 章習(xí)題 2 第 3 題（滿分 10 分）繼續(xù)考慮第 2.3 節(jié)“生豬出售時機(jī)”案例，做靈敏度分析，分別考慮農(nóng)場每天投入的資 金對最佳出售時機(jī)和多賺的純利潤的影響 .解：（ 1）考慮每天投入的資金 c 發(fā)生的相對為 c/c,則生豬飼養(yǎng)的天數(shù) t 發(fā)生的 相對變化 t/t是 c/c的多少倍，即定義 t 對 c的靈敏度為t/tS(t,c)=c/c因?yàn)?c0，所以重新定義 t對 c的靈敏度為S（t,c）t/tc/cdt c dc × t由課本上可知 t= rp(0)-2ggr(0

6、)-c2grrp(0)-g(0) c所以 t= 2gr-2gr , 所以 t 是 c 的減函數(shù)為了使 t0，c 應(yīng)滿足 rp(0)-g(0)-c>0 結(jié)合可得 S(t,c)crp(0)-g(0)-c3.212-0.08×903.22 這個結(jié)果表示的意思是如果農(nóng)場每天投入的資金 c 增加 1%，出售時間就應(yīng)該提前 2%2)同( 1)理總收益 Q 對每天投入資金 c 的靈敏度為S(Q,c)=dQdc×QQmax=rp(0)g(0)c24gr結(jié)合得Qmax=2crp(0)g(0)c2×3.2120.08×903.2= 4 這結(jié)果表示的意思是如果每天投入的

7、資金 c 增加 1%，那么最大利潤就會減少 4%四、教材 143 頁第 3 章習(xí)題 3 第 2 題(滿分 10 分)某種山貓?jiān)谳^好、 中等及較差的自然環(huán)境下， 年平均增長率分別為 1.68%、0.55%和 -4.5%. 假設(shè)開始時有 100 只山貓，按以下情況分別討論山貓數(shù)量逐年變化的過程及趨勢：(1) 三種自然環(huán)境下 25 年的變化過程，結(jié)果要列表并圖示；(2) 如果每年捕獲 3 只，山貓數(shù)量將如何變化？會滅絕嗎？如果每年只捕獲 1 只呢？(3) 在較差的自然環(huán)境下，如果要使山貓數(shù)量穩(wěn)定在 60 只左右，每年要人工繁殖多少 只？解記第 k 年山貓 xk,設(shè)自然壞境下的年平均增長率為 r，則列

8、式得xk+1=(1+r)x k, k=0,1,2其解為等比數(shù)列xk=x0(1+r)k, k=0,1,2當(dāng)分別取 r=0.0168 , 0.0055和-0.0450時，山貓的數(shù)量在 25 年內(nèi)不同的環(huán)境下的數(shù)量演變?yōu)槟贻^好中等較差010010010011021019621031019131051028741071028351091037961111037671121047281141046991161056610118106631112010660121221075813124107551412610852151281095016131109481713311046181351104419137

9、11142201401124021142112382214411336231471133524149114332515211532從上可以得出結(jié)論：1)在較好的自然環(huán)境下即無限增長；2)在中等的自然環(huán)境下即r=0.0168 時，xk 單調(diào)增趨于無窮大 ，山貓的數(shù)量將r=0.0055 時，xk 單調(diào)增并且趨于穩(wěn)定值；3)在較差的環(huán)境中即 r=-0.0450 時，xk 單調(diào)衰減趨于 0，山貓將瀕臨滅絕。若每年捕獲 3 只,b=3，則列式為X k+1 =(1+r)x kb則山貓?jiān)?25 年內(nèi)的演變?yōu)槟贻^好中等較差01001001001999893297958539693784959072593886

10、669285607908354889804998777431086753911847234128370291381672514796421157862171676591317745610187354619715132069480216746-3226543-6236340-9246137-11255935-14由圖上可知，無論在什么環(huán)境下，如果每年捕獲山貓 3 只，單調(diào)減趨于 0，那么 最終山貓的數(shù)量都會滅絕，在較差的環(huán)境中第 20 年就會滅絕。同理，如果每年人工捕獲山貓 1 只，那么山貓?jiān)诓煌h(huán)境中的演變?yōu)槟贻^好中等較差010010010011011009521019989310299844

11、10398795104987561049770710597668106966291079659101079555111089551121099448131109445141119342151119339161129236171139234181149231191159129201169126211179024221189022231198920241208818251218816如果每年人工捕獲山貓一只，在較好的環(huán)境下山貓的數(shù)量仍然會一直增加，在中 等的環(huán)境下，山貓的數(shù)量趨于穩(wěn)定，但會慢慢減少，在較差的環(huán)境下，山貓的數(shù)量一 直在減少，很快就會滅絕。若要使山貓的數(shù)量穩(wěn)定在 60只左右， 設(shè)每年需

12、要人工繁殖 b只，到第 k 年山貓的數(shù) 量為 xk=(1+r)x k-1+b,k=0,1,2這時 xk= xk-1 =60，r=-4.5%，代入上式得 b3五、教材 143 頁第 3 章習(xí)題 3 第 4 題(滿分 10 分) 某成功人士向?qū)W院捐獻(xiàn) 20 萬元設(shè)立優(yōu)秀本科生獎學(xué)金，學(xué)院領(lǐng)導(dǎo)打算將這筆捐款以整 存整取一年定期的形式存入銀行， 第二年一到期就支取， 取出一部分作為當(dāng)年的獎學(xué)金， 剩 下的繼續(xù)以整存整取一年定期的形式存入銀行請你研究這個問題， 并向?qū)W院領(lǐng)導(dǎo)寫一份 報(bào)告.解：記存款的年利息為 r ,由于一開始存入銀行的本金為 x0,第 k 年存入銀行的錢為 Xk,并且每年取出當(dāng)獎金的錢為

13、 b, 則它們之間存在的關(guān)系 有：每年利息 =本年存入款項(xiàng) 年利息 每年取出款項(xiàng) =上一年存入款項(xiàng) +每年利息每年存入款項(xiàng) =每年取出款項(xiàng) 獎金列式得：由上式解得由實(shí)際情況，已知 x0 =20（ 萬元），r在近10多年的變化幅度在 2%4%之間，我們?nèi)?3個值，分別為 2% ，3%，4%，1）當(dāng)年利率為 2%時，每年存入款項(xiàng)隨獎金數(shù)變化如下年數(shù) 獎金數(shù)額 2 千元 4 千元 6 千元0 20.0000 20.0000 20.00001.000020.200020.000019.80002.000020.404020.000019.59603.000020.612120.000019.38794

14、.000020.824320.000019.17575.000021.040820.000018.95926.000021.261620.000018.73847.000021.486920.000018.51318.000021.716620.000018.28349.000021.950920.000018.049110.000022.189920.000017.810111.000022.433720.000017.566312.000022.682420.000017.317613.000022.936120.000017.063914.000023.194820.000016.805

15、215.000023.458720.000016.541316.000023.727920.000016.272117.000024.002420.000015.997618.000024.282520.000015.717519.000024.568120.000015.431920.000024.859520.000015.140521.000025.156720.000014.843322.000025.459820.000014.540223.000025.769020.000014.231024.000026.084420.000013.915625.000026.406120.00

16、0013.593926.000026.734220.000013.265827.000027.068920.000012.931128.000027.410220.000012.589829.000027.758420.000012.241630.000028.113620.000011.8864當(dāng)年利率為 2%，學(xué)金定為 4 千元時，因?yàn)?0r1,x00 ， 經(jīng)驗(yàn)算得知 xkx0b，r因此存款的數(shù)額將趨于穩(wěn)定當(dāng)年利率為 2%，獎學(xué)金的數(shù)額大于 4 千元時，xk 單調(diào)遞減并且將在某一年變?yōu)榱?同理，當(dāng)獎學(xué)金的數(shù)額小于 4 千元時，存款的數(shù)額將會無限增長2）當(dāng)年利率為 3%時，每年存入款項(xiàng)隨獎金

17、數(shù)變化如下年數(shù) 獎金數(shù)額 4 千元 6 千元8 千元020.000020.00001.000020.200020.00002.000020.406020.00003.000020.618220.00004.000020.836720.00005.000021.061820.00006.000021.293720.00007.000021.532520.00008.000021.778520.00009.000022.031820.000010.000022.292820.000011.000022.561620.000012.000022.838420.000020.000019.800019

18、.594019.381819.163318.938218.706318.467518.221517.968217.707217.438417.161613.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 20.0000 21.0000 22.0000 23.0000 24.0000 25.0000 26.0000 27.0000 28.0000 29.0000 30.000023.123623.417323.719824.031424.352324.682925.023425.374125.735326.107426.490626.88

19、5327.291927.710628.141928.586229.043829.5151 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.0000 20.000016.876416.582716.280215.968615.647715.317114.976614.625914.264713.892613.509413.114712.708112.289411.858111.4138

20、10.956210.4849年利率為 3%，學(xué)金定為 6 千元時，因?yàn)? r 1,x00 ， 經(jīng)驗(yàn)算得知 xkx0b ，因 r此存款的數(shù)額將趨于穩(wěn)定 當(dāng)年利率為 3%，獎學(xué)金的數(shù)額大于 6 千元時， xk 單調(diào)遞減并且將在某一年變?yōu)榱?.同理，當(dāng)獎學(xué)金的數(shù)額小于 6 千元時，存款的數(shù)額將會無限增長3）當(dāng)年利率為 4%時，每年存入款項(xiàng)隨獎金數(shù)變化如下年數(shù) 獎金數(shù)額6 千元8 千元1 萬元020.000020.000020.00001.000020.200020.000019.80002.000020.408020.000019.59203.000020.624320.000019.37574.0

21、00020.849320.000019.15075.000021.083320.000018.91676.000021.326620.000018.67347.000021.579720.000018.42038.000021.842820.000018.15729.000022.116620.000017.883410.000022.401220.000017.598811.000022.697320.000017.302712.000023.005220.000016.994813.000023.325420.000016.674614.000023.658420.000016.34161

22、5.000024.004720.000015.995316.000024.364920.000015.635117.000024.739520.000015.260518.000025.129120.000014.870919.000025.534220.000014.465820.000025.955620.000014.044421.000026.393820.000013.606222.000026.849620.000013.150423.000027.323620.000012.676424.000027.816520.000012.183525.000028.329220.0000

23、11.670826.000028.862320.000011.137727.000029.416820.000010.583228.000029.993520.000010.006529.000030.593320.00009.406730.000031.217020.00008.7830年利率為 4%，學(xué)金定為 8千元時，因?yàn)?0 r 1,x0 0， 經(jīng)驗(yàn)算得知 xk x0 b ，因 r 此存款的數(shù)額將趨于穩(wěn)定 . 當(dāng)年利率為 4%，獎學(xué)金的數(shù)額大于 8 千元時， xk 單調(diào)遞減并且將在某一年變?yōu)榱?.同理，當(dāng)獎學(xué)金的數(shù)額小于 8 千元時，存款的數(shù)額將會無限增長六、教材 143 頁第 3 章

24、習(xí)題 3 第 5 題（滿分 10 分）有一位老人 60歲時將養(yǎng)老金 10 萬元以整存零取方式 （指本金一次存入， 分次支取本金 的一種儲蓄）存入，從第一個月開始每月支取 1000 元，銀行每月初按月利率 0.3%把上月結(jié) 余額孳生的利息自動存入養(yǎng)老金 . 請你計(jì)算老人多少歲時將把養(yǎng)老金用完？如果想用到 80 歲，問 60 歲時應(yīng)存入多少錢？解：記養(yǎng)老金第 k 月末的銀行賬戶余額為 xk元，則列式為 xk+1=（1+r）xkb根據(jù)一階線性常系數(shù)非齊次差分方程得b k bxk=（x0+r ）（1+r）k rk=0,1,2,3由題目可知 x 0=100000 ，b=1000 元， r=0.003,所

25、以賬戶余額的變化如下月份01. 0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000余額 10.0000 9.9300 9.8598 9.7894 9.7187 9.6479 9.5768 9.5056 9.4341 9.3624 9.2905 9.2183 9.1460 9.0734 9.0007 8.9277 8.8544 8.7810 8.7074 8.6335 8.5594 8.4851 8.4105 8.3357 8.2607 8.1855 8.1101 8.0344 7.9585 7.8824 7.

26、8060 7.7295 7.6526 7.5756 7.4983 7.4208 7.3431 7.2651 7.1869 7.1085 7.0298 6.9509 6.871711. 0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 17.0000 18.0000 19.0000 20.0000 21.0000 22.0000 23.0000 24.0000 25.0000 26.0000 27.0000 28.0000 29.0000 30.0000 31.0000 32.0000 33.0000 34.0000 35.0000 36.0000 37.

27、0000 38.0000 39.0000 40.0000 41.0000 42.000043.000044.000045.000046.000047.000048.000049.000050.000051.000052.000053.000054.000055.000056.000057.000058.000059.000060.000061.000062.000063.000064.000065.000066.000067.000068.000069.000070.000071.000072.000073.000074.000075.000076.000077.000078.000079.0

28、00080.000081.000082.000083.000084.000085.000086.00006.79246.71276.63296.55286.47246.39186.31106.23006.14866.06715.98535.90325.82105.73845.65565.57265.48935.40585.32205.23805.15375.06914.98444.89934.81404.72844.64264.55664.47024.38364.29684.20974.12234.03473.94683.85863.77023.68153.59263.50333.41383.

29、32413.23413.143887.0000 88.0000 89.0000 90.0000 91.0000 92.0000 93.0000 94.0000 95.0000 96.0000 97.0000 98.0000 99.0000 100.0000 101.0000 102.0000 103.0000 104.0000 105.0000 106.0000 107.0000 108.0000 109.0000 110.0000111. 0000 112.0000 113.0000 114.0000 115.0000 116.0000 117.0000 118.0000 119.0000

30、120.0000 121.0000 122.0000 123.0000 124.0000 125.00003.05322.96232.87122.77982.68822.59632.50402.41162.31882.22572.13242.03881.94491.85081.75631.66161.56661.47131.37571.27981.18371.08720.99050.89340.79610.69850.60060.50240.40390.30510.20600.10670.0070-0.0930-0.1933-0.2939-0.3947-0.4959-0.5974由表中和圖中可

31、知，到第 119 個月賬戶余額為 70 元，到了第 120 個月就沒有余額了。也就 是 10 年后就沒有了，若想用 20 年也就是 240 個月，則賬戶應(yīng)存 x0 ，此時有Xk=(x0+r )(1+r)kbr把 k=240,r=0.003 帶入上式得1000X240=(x0+0.003) (1+0.003) 24010000.003=0 得 x0=170908 元所以老人應(yīng)該存入 170908 元才能用到 80 歲。七、教材 302 頁第 7 章習(xí)題 7 第 1 題（滿分 10 分） 對于不允許缺貨的確定性靜態(tài)庫存模型，做靈敏度分析，討論參數(shù) 變化對最優(yōu)訂貨策略的影響 .p1 、 p2 和 r

32、 的微小解：（1）考慮每次訂貨的固定費(fèi)用 p1發(fā)生的相對為 p1/ p1,則最優(yōu)訂貨周期 T*發(fā)生的相對變化 T*/T* 是p1/ p1的多少倍，即定義 p1對T*的靈敏度為T*/T*S(T*，p1)=p1/p1因?yàn)?p10，所以重新定義 p1對 T*的靈敏度為S（T* ，p1）dT*dp1p1T*由課本上可知 T*=( 2pp21r )0.5Q*=r T*中對 p1 求導(dǎo)式和式代入得S（T* ，p1）=0.5 同理得S（Q* ，p1） =0.5S（T* ，p2） = 0.5S（Q* ，p2） = 0.5S（T* ，r）=0.5S（Q*，r）=0.5八、教材 302 頁第 7 章習(xí)題 7 第 2 題（滿分 10 分）習(xí)題 7 第 2 題. 某配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種部件 . 每次輪換生產(chǎn)不同的部件時，因更 換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)（與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)） . 同一部件的產(chǎn)量大于需求時，因積壓資金、占 用倉庫要付庫存費(fèi) . 今已知某一部件的日需求量 100 件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi) 5000 元，庫存費(fèi)每日 每件 1 元 . 如果生產(chǎn)能