導(dǎo)數(shù)計算公式

1、導(dǎo)數(shù)公式、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式1已知函數(shù)：(1)y=f(x) = c； (2)y= f(x) = x; (3)y=f(x) = x2; (4)y= f(x)=1； x(5)y= f(x) = VX.問題:上述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是什么?提示:N f x+ Ax f xccAx0, . y' = lim y=y mo m0.2)(x)=1, (3)(x2)' =2x, (4)x ' = x2, (5)(點)=放.函數(shù)(2)(3)(5)均可表示為y=xa(aC Q*)的形式，其導(dǎo)數(shù)有何規(guī)律?1提示：.©(x)' = 1 x1 1, (3)(x2)' =2

2、x21, (5)(5)' =(x2)'1. 一=詼(x ' = a"基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f' (x)=0f(x) = xaC Q*)f (x)= a "f(x)= sin xf' (x)=cos xf(x) = cos xf' (x)= sin xf(x) = axf ' (x)axln af(x) = exf ' (x)exf(x) = logax,1f (x).'，xln af(x)=ln x,1f (x)x x二、導(dǎo)數(shù)運算法則一一1已知 f(x) = x, g

3、(x) = x問題1: f(x), g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是什么?11,一問題2:試求Q(x) = x+1, H(x) = x：的導(dǎo)數(shù). xx一11 Zx提?。? 0= (x+ Ax) + I A x + - = Ax +,xx+ Axx x x+ Ax.同理 H (x) = 1 + / x問題3: Q(x), H(x)的導(dǎo)數(shù)與f(x), g(x)的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？提示：Q(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x), g(x)導(dǎo)數(shù)的和，H(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x), g(x)導(dǎo)數(shù)的差.導(dǎo)數(shù)運算法則1. f(x)=g(x) =f' (x)=g'(x)2. f(x) g(x)' =f' (x

4、)g(x) + f(x)g' (x) . c，'_lim lim 1 _1 _ 1 _1反1 xx+及'Q (x)20及m0 1xx+及 Tx2.3.gx2x一(g(x)W0)題型一利用導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo)例 1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y= 10x; (2)y=lg x； (3) y log 1 x ；242(4)y=取；(5) y sin x cos1.1x x c(5) . y= sin 2 +cos 2 2解(1)y =(10x) =10xln 10； (2)y' =(lg x)' =x0；(3)y =1= xln 2 ； (4)y =(Vx=xln

5、244x-1A x,= sin22 + 2sin2c0%+ cos22 1 =sin x, y，= (sin x)= cos x.練習(xí)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y= ex； (2)y= 110 x； (3)y= lg 5; (4)y= 3lg3/x; (5)y= 2cos2x1.一 ,1,1111,1解：(1)y = ex = e/&=ex=ex； (2)y = 10 1-ln 10.-一 ， 小花="70= T0 xln10； (3) /= lg 5 是常數(shù)函數(shù)，. y' = (lg 5)' 二0； (4) . y= 3lg3x= lg x,y' =(

6、lg x)'1g、。;(5)y=2co4一1 =cos x, .y' = (cos x)' = sin x. =而題型二 利用導(dǎo)數(shù)的運算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):3x x2e + 1(1)y= x3 -xe; (2)y= x sin2cos2； (3)y= x2+log3x; (4)y= .解(1)y' =(x3)' ex+ x3(ex)' =3x2ex+x3ex= x2(3+x)ex.1 .,11(2) . y= x 2sin x, y =x 2(sin x) =1cos x.1y =(x2+log3x)=(x2)+(log3x)

7、=2x+ xjn-3eex- 1 2. 練習(xí)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： cos x 小、 .，廠/c、1+爪,1Vx /八 I 1 (1)y= x； (2)y=xsin x+Vx; (3)y= yJx +iTx； «)丫=均 xq. 5, cos x ,cos x' x- cos x x 'x . six cos x 解：(1)y = =s=s xxxsin x+cos x +Vx21 y!x2 2 + 2x 4(3) y="+ -= -= "- 2, y+ 1 ' ex-1 - ex+1 ex1 'ex ex1 ex+ 1 exy=ex-

8、1 2;ex-1 2-2exy'=(xsin x)+ ( x)= sin x+xcos x+_1_2 Vx41-x- 2=-4 1 -x_41 x 2. 1 1 ,12y = ig x-x2=(1g x) - x2=xn而+x3.題型三導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例3 (1)曲線y= -5ex + 3在點(0, 2)處的切線方程為 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P在曲線C: y=x310x+13上，且在 第一象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2,則點P的坐標(biāo)為即 3(a1)xy+4 3a= 0.一、已知斜率，求切線方程.此類問題可以設(shè)出切點，利用導(dǎo)數(shù)與已知直線的斜率關(guān)系來確定切點， 進(jìn)而求

9、出切線方程.例：求與直線x + 4y+ 1 = 0垂直的曲線f(x)=2x21的切線方程.解：所求切線與直線x+4y+ 1 = 0垂直，所以所求切線的斜率 k= 4.設(shè)切點坐標(biāo)為(x0, y0),則f' (x0)= 4x0 = 4,即x0= 1.所以切點坐標(biāo)為(1,1).故所求切線方程為V 1 = 4(x 1),即4x y3 = 0.二、已知過曲線上一點，求切線方程.過曲線上一點的切線，該點不一定是切點，故應(yīng)先設(shè)出切點，再利用該 點在切線上來確定切點，進(jìn)而求出切線方程.例：求過曲線f(x) = x32x上的點(1, 1)的切線方程.解：設(shè)切點坐標(biāo)為(x0, yO),因為 f'

10、(x) = 3x22,所以 f' (x0) = 3x2 2,且 y°= f(x0) = x32x0.所以切線方程為V y0=(3x2 2)(x x0),即 y (x3 2x0) = (3x0 2)(x x0).因為切線過點(1, 1),故一 1 一 (x3 - 2x0) = (3x2 2)-(4 x。)即 2x33x2+ 1 = 0,1解得 X0= 1 或 X0 = 2，故所求切線方程為x- y 2=0或5x+ 4y1 = 0.三、已知過曲線外一點，求切線方程.這一題型要設(shè)出切點，再利用斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求出切點，從而求出切線方程.例：已知函數(shù)f(x) = x33

11、x,過點A(0,16)作曲線y= f(x)的切線，求切線 方程.解：由題意知點A(0,16)不在曲線f(x) = x33x上，設(shè)切點坐標(biāo)為M(xo, yo).則 f' (xo)=3x03,故切線方程為 y-yo=3(x0-1)(x-xo).又點A(0,16)在切線上，所以 16(x03xo)= 3(x01)(0 xo),化簡得x0= 8,解得x0= 2,即切點為M(-2, 2),故切線方程為9x y+ 16= 0.課后練習(xí)1.給出下列結(jié)論:(cos x)' = sin x； sin：'3冗= co%;31, ,11 ,1若y=三則y，= 一x；十二本其中正確的個數(shù)是()

12、A. 0B. 1C. 2D. 3解析：（cos x）' =sin x,所以錯誤；sin3=當(dāng)，而 步=0,所以10 x2， 2x 一錯誤；-2 ' = -44-=-2x 3,所以錯誤; xx xd2 , 1x 2-31 ,0- x z 2x 121-偵=-=k=2x =禾所以正確.答案：B2 .函數(shù)y= sin x - cos的導(dǎo)數(shù)是（）A . y' =cos2x+ sin2xB. y' =cos2x sin2xC. y' =2cos x - sixD. y' = cos x - sin解析： y' = (sin x cox)'

13、= cos x cox +sin x +sin x)=co$x sin2x.3 .若 f(x)=(2x+ a)2,且 f' (2)=20,則 a=解析：f(x)=4x2 + 4ax+ a2,f' (x)=8x+4a,.f' (2)= 16+4a=20, ；a=1.答案：14,已知曲線y= x4+ax2+1在點(1, a + 2)處切線的斜率為8,則a=解析：y' =4x3 + 2ax,因為曲線在點（一1, a + 2）處切線的斜率為8,所 以 y' |x=-1 = - 4- 2a= 8,解得 a= - 6.答案：一6 5.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):小 2 i 1

14、 , 1(1)y= x x2 + x + x3 ;1 + cos x(2)y: X2 ；(3)y= (4x x)(ex+1).解：(1)丫=乂 x2 + ：+x3 =x3+1+x2,y' =3x2x3.1 + cos x ' x2 1 + cos x x2 'xsin x 2cos x 2(2)y =x4二x3.xx(3)法一：. y= (4xx)(ex+1) = 4xex+4xxexx, . y' = (4xex+4x xexx)' =(4x)'ex+4x(ex)'+(4x)' xex + x(ex)' x'=e

15、x4xln4 +4xex+4xln 4-ex-xex- 1 = ex(4xln 4+4x-1 -x) + 4xln 4- 1.法二：y' =(4xx)' (ex+1)+(4xx)(ex+1)' = (4xln 4-1)(ex+1)+(4xx)ex= ex(4xln 4+4x 1 - x) + 4xln 4 1.v 1 11 x 1 x 1 x 1 x ')解析(1)y' = 5ex, 所求曲線的切線斜率k= y' |x= 0= 5e0= 5,切線方程為 y- (2) = 5(x 0),即 5x+ y+ 2=0.設(shè)點P的坐標(biāo)為(x0, y°),因為y' =3x210,所以3x210= 2,解得 x0=±奴點P在第一象限內(nèi)，所以x0=2,又點P在曲線C上，所以y0 =2310X2+13=1,所以點 P 的坐標(biāo)為(2,1). (1)5x + y+ 2=0 (2)(2,1)練習(xí) 若曲線f(x)=acos x與曲線g(x) = x2+bx+1在交點(0, m)處有公切 線，貝U a+b =.解析：f' (x)= asin x, g' (x) = 2x+b,;曲線f(x) = acosx與曲線g(x) = x2+bx+ 1在交點(0,