拉格朗日方程的應用與舉例08講

1、拉格朗日方程的應用及舉例拉格朗日方程有以下幾個特點：1拉格朗日方程適用于完整系統(tǒng)，可以獲得數目最少的運動微分方程，即可以建立與自由度數目相同的n個方程，是一個包含 n個二階常微分方程組，方程組的階數為2n。求解這個方程組可得到以廣義坐標描述的系統(tǒng)運動方程。2拉格朗日方程的形式具有不變性。對于任意坐標具有統(tǒng)一的形式，即不隨坐標的選取 而變化。特別是解題時有徑直的程序可循，應用方便。3 所有的理想約束的約束反力均不出現(xiàn)在運動微分方程中。系統(tǒng)的約束條件愈多，這個特點帶來的便利越突出。4拉格朗日方程是以能量的觀點建立起來的方程，只含有表征系統(tǒng)運動的動能和表征主動力作用 的廣義力，避開了力、速度、加速度

2、等矢量的復雜運算。5拉格朗日方程不但可以建立相對慣性系的運動，還可以直接建立相對非慣性系的動力學方程，只要寫出的動能是絕對 運動的動能即可，至于方程所描述的運動是對什么參考系的運動，那么取決于所選的廣義坐 標?？v觀拉格朗日方程，看出分析力學在牛頓力學的根底上，提出嚴密的分析方法，從描 述系統(tǒng)的位形到建立微分方程都帶有新的飛躍。我們還應看到，雖然拉格朗日方法在理論 上和應用上都有重要的價值，但是，牛頓力學的價值并未降低，特別是它的幾何直觀性和 規(guī)格化的方法使人樂于應用，由于計算機的廣泛使用，牛頓一歐拉方法又有所開展。我們 將會看到，用拉格朗日方程求解，在獲得數量最少的運動微分方程時，其求導過程有

3、時過 于繁瑣，并有較多的耦合項。應用拉格朗日方程建立動力學方程時，應首先建立以廣義坐標 q和廣義速度q表示的動能函數和廣義力 Q。為此，首先討論動能的計算和廣義力的計算，在此根底上，再討論拉 格朗日方程的應用。一、動能的計算對于系統(tǒng)的動能，可以寫出關于廣義速度 q的齊次函數的表達式。在實際計算中，應用 理論力學的有關知識就可以建立以廣義坐標和廣義速度所表達的動能函數。例1-1 質量為m,半徑為r的均質圓盤D， 沿OAB直角曲桿的AB段只滾不滑。圓盤的盤面和曲 桿均放置在水平面上。 曲桿以勻角速度 1繞通過 O點的鉛直軸轉動，試求圓盤的動能。解：取廣義坐標x和，x為圓盤與曲桿接觸點到 曲桿A點的

4、距離， 為曲桿OAB的轉角， =1t。C的速度和相對于質心平動坐標應用柯尼希定理求圓盤的動能。為此，先求圓盤質心系的角速度。假設以曲桿 OAB為動參考系，C為動點,r x,ex 1，c. x2X2再應用剛體繞二平行軸轉動的合成方法,圓盤的角速度為于是圓盤的動能為1 m(x2x212)1 2mr4假設將動能表達式展開，得到T -mx41 mr21X1 mr4可以看出，圓盤的動能包含廣義速度x的二次項，廣義速度 x的一次項和它的零次項。二、廣義力的計算概括地說，廣義力有三種計算方法：1根據廣義力的定義，有NXyiZiQjFiz - Fiy - Fiz -j 1,2, ,Ni 1qjqiqi我們可以

5、按照這個公式來計算，但是，有時計算是繁冗的。2我們知道，作用在系統(tǒng)上的諸主動力對于任何虛位移元功之和等于諸廣義力對于相 應的廣義坐標的虛位移元功之和，即NnF i &ii 1對于完整系統(tǒng)，廣義坐標的變分q1,q2,變分為qj,而令其它坐標變分均為零，即qjM 0,q1 = q2 =那么上式為NF i旳Qj旳ji 1,qn是彼此獨立的。假設給出某一廣義坐標的qj-1 = qj +1 = = qn = 0Fisri于是Qji 1sqjj 1, 2, ,n由于系統(tǒng)的主動力在給定的虛位移中元功之和Fii 1si的計算是我們熟悉的，那么廣義力Qj對應于和的廣義力以Q和Q_表示。于是，ycacos

6、Sca sin SyD2 a cosbcosS D2as in Sbsi nXb2a si n2bsi nS<B2 a cos S2bsin當獲得變分，而保持不變，即=0時，AFsN(Xi SXiYi SiZi SZi)i 1解：系統(tǒng)具有兩個自由度。依題意，取和并在o點用點的水平力,為廣義坐標,當獲得變分，而(2Fi acos RasinS1C2F1acos=0時,2P2asin )SPsin2 P2 sin2F1b cos SP2bsin SQj可較易地計算出。依次給出不同序數的坐標變分的同時，令其它坐標變分為零，那么可依 次計算出與廣義坐標對應的廣義力。這種方法是我們經常應用的。3假

7、設作用于系統(tǒng)上的主動力有勢，那么通過勢能函數即可求出廣義力。設勢能函數為 V,那么可應用式Vqj進行廣義力的計算。例1-3 均質桿OA和AB在A點鉸鏈連接， 鉸鏈支承。桿重分別為 P1和P2, F1為作用于B 試求對應于和的廣義力。2F1b cosP2bsinST - mvO2 Jo三、拉格朗日方程的應用應用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的動力學方程時，一般采用以下步驟：1分析系統(tǒng)的約束條件，判斷系統(tǒng)的類型是否為完整系統(tǒng)，是定常還是非定常的，是 保守的還是非保守的。2假設系統(tǒng)為完整的，在確定其自由度數目后，選擇恰當的廣義坐標。3 計算出以廣義速度表達的動能Tq, q，t、勢能V q, t或廣義力Q q,

8、 t，假設主動力有勢，計算出拉格朗日函數Lq， q，t。4列出拉格朗日方程。例1-4 半徑為R、質量為m的圓環(huán)掛在一半徑為r的固定圓柱上。設圓環(huán)與圓柱間有足夠大的摩擦力阻止相對滑動，試寫出圓環(huán)的 運動微分方程，并求微幅擺動的周期。解：圓環(huán)具有一個自由度，是完整系統(tǒng)。取為廣義坐標，圓環(huán)的動能為其中V。 R r o，瞬心為A，那么VoR于是T 2m(R r)2 2 2余昭 2 m(R r)2 2主動力有勢，系統(tǒng)的勢能為V = mg (R r) cos2m(R r)2ddtV2m(R r)2mg(R r) sin代入拉格朗日方程，得到系統(tǒng)的動力學方程:22m(R r) mg(R r) si n02(

9、 R r) g sin 0考慮到微幅，有2(R)周期為2n2(R r)由于主動力有勢，可以寫出拉格朗日函數:2 2LTV m(R r) mg(R r)cos代入式1-25 中同樣可以得到系統(tǒng)的動力學方程。2.擺線繞在固定圓柱上，尺寸如圖；求此擺的運動微分方 程選為廣義坐標，選解這是單自由度保守系統(tǒng)， 零勢能位置，那么1 2T -m(l R )2 2V mg( I Rsin)(I R )cos 將T、V代入保守系統(tǒng)的拉格朗日方程dt或將拉格朗日函數L = TV代入如下形式的拉格朗日方程d T T V2gsin 0r，質量都是m，此機構位于水平(Id _l dt皆可得運動微分方程3.三均質齒輪，半

10、徑皆為面，假設無重系桿受矩為 M的力偶作用；求系桿的角加速度解 這是單自由度非保守系統(tǒng)，選系桿的轉角為廣義坐標，那么有關的角速度和速度為VO22r, V034r該系統(tǒng)的廣義力為動能為1 2 mvo221 mr22 1 22mvo322 211mr代入拉格朗日方程M222mrt = 0 時，x = 10cm， x= 0，求當例1-9 試求例1-1中圓盤的運動微分方程。又，假設x=20cm時，x為多少?例1-1 質量為m,半徑為r的均質圓盤D， 沿OAB直角曲桿的AB段只滾不滑。圓盤的盤面和曲 桿均放置在水平面上。曲桿以勻角速度1繞通過0點的鉛直軸轉動，試求圓盤的動能。解：由例1-1已求得動能T為

11、21 . 222、12XT m(x x 1 ) mr 1-2 4r水平臺為零勢面，那么圓盤的勢能為V = 0系統(tǒng)的拉格朗日函數 L為LT莎*x212) 1mr42x1 _ rL1xmxmr1x2rdL13L2mxmxmx,-m 1 xdtx22x代入拉格朗日方程，有32x1 x 02由于系統(tǒng)是非定常的，雖然作用于圓盤上的主動力有勢，但并不存在能量積分，由于拉格 朗日函數L不顯含時間t，系統(tǒng)有廣義能量積分。由動能表達式得到圓盤的廣義能量積分為于是得到整理后，有3 2mx43 2mx4當 t = 0 時，xo = 10cm， Xo = 0，mr 1x,T0 -m2 2T2-T0 + V=常數.1

12、2mr42 21X12 h1 2 2 mr 143 mx42 21 xh1hl50 m于是有當 x = 20cm 時，x2200 114.1 1 cm/s例9質量為m,半徑為r的圓環(huán)O豎立在一粗糙平面上。圓環(huán) 的邊緣上剛連一質量為 m的質點A。試寫出系統(tǒng)的運動微分方程。解：由圓環(huán)O和質點A組成的系統(tǒng)只能在地面上作純滾動，自由度為1,取OA與鉛垂線的夾角 為廣義坐標，以系統(tǒng)為研究對象,O點處水平面為零勢能面，那么系統(tǒng)的動能和勢能分別為iJo 2fmvO1mvA1 2 2mr21m(r )2£m(r )22 2(r )2(r ) cosmr2(2cos )V mgr cos于是有mgr

13、sin代入拉格朗日方程，導出22(2 cos )( g r)sin 0x和圓柱體相對于楔塊的位移為廣義坐例1-7 三角楔塊A可沿水平光滑面作直線 運動，楔塊 A的質量為 mi,其上受有簡諧力 F = H sin t的作用(H和 均為常量)。楔塊斜邊 BD 上有一質量為 m2、半徑為r的圓柱體，沿 BD滾 動而不滑動，二彈簧的剛體系數分別為ki和k2o試建立系統(tǒng)的運動微分方程。解：系統(tǒng)具有二個自由度。取三角楔塊的位移 標，二者均以其靜平衡位置為原點。楔塊A作平動，VAX ,圓柱體作平面運動，質心速度vc為Vc2 2x2x cos角速度為系統(tǒng)的動能T為rT2-m1 x21m2222212(x2x cos )m?r 4r1(m122m2)x3m2m2 x cos4系統(tǒng)的勢能V為Vm2g sin 1 ki (x io)21 k2(20)22 2在平衡位置有關系式k1 ( 10 x) 0,m2g sink? 200于