一元二次不等式及其解法教學(xué)講義

1、ZHI &HI SMU LI SHUJV ZJ CE1)一元二次不等式及其解法教學(xué)講義ZHI SHI SHU LI知識(shí)梳理1. 一元二次不等式的解法(1) 將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2 + bx+ c>0(a>0)或ax2 +bx+ c<0(a>0).計(jì)算相應(yīng)的判別式.(3) 當(dāng)0時(shí)，求出相應(yīng)的一元二次方程的根.(4) 利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.a>0 且 b2 4ac<0(x R).a<0 且 b2 4ac<0(x R).2. 三個(gè)二次之間的關(guān)系判別式= b2 4ac>

2、0= 0A<0二次函數(shù)y= ax2 + bx+ c(a>0)的圖象r<一兀二次方程ax2 + bx+ c= 0(a>0)的根有兩相異實(shí)根X1, X2(X1 <X2)有兩相等實(shí)根bX1 = X2= 務(wù)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2 + bx+ c>0(a>0)的解集 XlX>X2 或X<X1x|x R 且 XM X1遲ax2 + bx+ c<0(a>0)的解集x|X1<X<X2?實(shí)ZHONG YAO JIE LUN重要結(jié)論)1. ax2 + bx+ c>0(a豐0)恒成立的充要條件是:2. ax2 + bx+ c<0(a

3、豐0)恒成立的充要條件是:注意：在題目中沒(méi)有指明不等式為二次不等式時(shí)，若二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)， 應(yīng)先對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為0的情況進(jìn)行分析，檢驗(yàn)此時(shí)是否符合條件.3二次不等式解集的“邊界值”是相應(yīng)二次方程的根.4簡(jiǎn)單分式不等式的解法f x(1) 市>0(<°)? f(x)g(x)>o(<o)；y xf xf x g x > 0 < 0(2) 0( w 0)?.g xg x 工 05.簡(jiǎn)單的指數(shù)與對(duì)數(shù)不等式的解法(1) 若 a>1, af(x)>ag(x)? f(x)>g(x)； 若 0<a<1, af(x)>ag(x)?

4、 f(x)<g(x).若 a>1, logaf(x)>logag(x)? f(x)>g(x)>0; 若 0<a<1, logaf(x)>logag(x)? 0<f(x)<g(x).rSHUANG JI ZI CE雙基自測(cè)1不等式(x- 1)(2 - x) > 0的解集為(A )A . x|1w xw 2C. x|1<x<2B. x|xw 1 或 x>2D. xx<1 或 x>2解析由(x- 1)(2 x) > 0可知(x-2)(x- 1)w 0,所以不等式的解集為x|1w xw 2 故選A .

5、1 一 x2 不等式一> 0的解集為(B )2 + xA . - 2,1B . (-2,1C. ( a, 2) U (1,+ )D . ( 3 2 U (1 ,+ )1 - x 2 + x > 0,解析原不等式化為2 + xm 0,x-1 x+ 2 w0即，所以2<xw 1故選B.x + 2工 04. (2018 山東煙臺(tái)期中)若集合 M = x|x2+ x 12W0 , N= y|y= 3x, x< 1，則集合x(chóng)|x M 且x?N等于(D )A . (0,3B . 4,3C. 4,0)D . 4,0解析M = 4,3, N = (0,3,x|x M 且 x?N = 4

6、,0，故選 D .5. 若不等式(a 3)x2 + 2(a 3)x 4<0對(duì)一切x R恒成立，則實(shí)數(shù) a取值的集合為(D )A . ( 3 3)B. ( 1,3)C. 1,3D. ( 1,3解析當(dāng)a= 3時(shí)，一4<0恒成立；a<3,當(dāng)3時(shí)，= 4 a 3 2+ 16 a 3 <0,解得1<a<3.所以1<aw 3.16. (2018 東煙臺(tái)聯(lián)考)不等式x>-的解集為(1,0) U (1 ,+3 ).x解析當(dāng)x>0時(shí)，原不等式等價(jià)于x2>1，解得x>1 ;當(dāng)x<0時(shí)，原不等式等價(jià)于 x2<1，解1得一1<x<

7、;0.所以不等式x>x的解集為(一1,0) U (1,+3).3直動(dòng)揮究10 DIMI TU 吟 MUT-UV jiyl考點(diǎn)1 一元二次不等式的解法一一多維探究 角度1不含參數(shù)的不等式” 例1解下列不等式(1) 2x2 + x+ 3<0 ;(2) x2 2x+ 2>0;2x 13 4x1.分析(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)， 變?yōu)?x2 x 3>0,求方程2/ x 3= 0的根，若無(wú)根, 則解集為R，若有根，則按"小于取中間，大于取兩邊”寫(xiě)出解集；f 移項(xiàng)通分化為g>0的形式，進(jìn)而化為f(x) g(x)>0求解.9 x解析(1)化2x2 + x+ 3&

8、lt;0 為 2x2 x 3>0,3(x+ 1)(2x 3)>0，即(x+ 1)(x 2)>0,3x>2或 x< 1,3 原不等式的解集為(r 1)u q,+g).因?yàn)锳<0，所以方程x若a> 0，原不等式等價(jià)于(x )(x 1)v 0. a 2x+ 2 = 0無(wú)實(shí)數(shù)解，而y= x2 2x+ 2的圖象開(kāi)口向上，可得原不等式x2 2x+ 2>0的解集為R.2x 16x 43x 2化> 1為 > 0,即卩 < 0,3 4x3 4x4x 33233(3x 2)(4x 3)w 0，且 xm 4,即(x R(x0(且 4)23原不等式的解

9、集為x|§w x<4.名師點(diǎn)撥 ？解一元二次不等式的一般步驟(1) 化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式.(2) 判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式.(3) 求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說(shuō)明方程有沒(méi)有實(shí)根.(4) 寫(xiě)：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫(xiě)出不等式的解集.角度2含參數(shù)的不等式" 例2解下列關(guān)于x的不等式：(1) ax2 (a+ 1)x + 1<0(a R);(2) / 2ax+ 2w 0(a R)；分析(1)因二次項(xiàng)系數(shù)含有字母，故需對(duì)其符號(hào)分類(lèi)求解，即討論 a與0的關(guān)系，并注意1根的大小關(guān)系，即討論 -與1的關(guān)系，故需分a<0,

10、a= 0,0<a<1 , a= 1, a>1五種情況求解; a(2)由于系數(shù)中含有字母，故需考慮對(duì)應(yīng)的方程有無(wú)實(shí)根，以及有根時(shí)根的大小關(guān)系；解析(1)若a = 0，原不等式等價(jià)于x+ 1v 0，解得x> 1.1 1若av 0，則原不等式等價(jià)于(x p(x 1)> 0,解得xva或x> 1.1 1 當(dāng) a= i時(shí)，i, (x?(x i)vo無(wú)解；iii 當(dāng) a> 1 時(shí)，av 1,解(x a)(x 1)v 0 得avxv 1 ；aaa111 當(dāng) Ov av 1 時(shí)，：1，解(x )(x 1) v 0 得 1 v xv .aaa1綜上所述：當(dāng)av 0時(shí)，解

11、集為xx va或x> 1；當(dāng)a = 0時(shí)，解集為xx> 1;當(dāng)Ov av 1 a1 1時(shí)，解集為x|1 vxv# ；當(dāng)a = 1時(shí)，解集為？；當(dāng)a> 1時(shí)，解集為x：vxv 1.對(duì)于方程 x2 2ax+ 2 = 0，因?yàn)? 4a2 8,所以當(dāng) Av 0，即一. 2v av 2時(shí)，x2 2ax +2= 0無(wú)實(shí)根又二次函數(shù) y= x2 2ax+ 2的圖象開(kāi)口向上，所以原不等式的解集為？；當(dāng)A= 0,即卩a= ±2時(shí)，x2 2ax+ 2= 0有兩個(gè)相等的實(shí)根，當(dāng)a= ,2時(shí)，原不等式的解集為x|x= 2,當(dāng)a=2時(shí)，原不等式的解集為x|x= .2；當(dāng)A> 0,即卩a

12、> .2或av 2時(shí)，x2 2ax+ 2= 0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，分別為 X1 = a "a2 2,x2= a+，a2 2,且 X1< X2,所以原不等式的解集為 x|a a2 2< x< a + " a2 2. 綜上，當(dāng) a> 2或 av 2時(shí)，解集為x|a " a2 2<x<a +”. a2 2;當(dāng) a = . 2時(shí)，解集 為x|x= ,2;當(dāng) a = .2時(shí)，解集為x|x= ,2;當(dāng)一,2v av . 2時(shí)，解集為？.名師點(diǎn)撥？含參數(shù)的不等式的求解往往需要分類(lèi)討論(1) 若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對(duì)根的

13、大小分類(lèi)討論(分點(diǎn)由X1 = X2確定)；若不易分解因式，且判別式符號(hào)確定，可考慮求根公式，以便寫(xiě)出解集，若判別式符號(hào)不能確定，則需對(duì)判別式分類(lèi)討論(分點(diǎn)由A= 0確定).(2) 若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)系數(shù)是否為零，然后討論二次項(xiàng)系數(shù)大于零、小于零，以便確定解集形式.(3) 解簡(jiǎn)單分式不等式是通過(guò)移項(xiàng)、通分化為整式不等式求解，要注意分母不能為零.(4) 解簡(jiǎn)單的指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式時(shí)，若底含有參數(shù)，則需對(duì)其是否大于1分類(lèi)求解，注意對(duì)數(shù) 的真數(shù)必須為正.變式訓(xùn)練1(1) (角度1)(2018陜西部分學(xué)校摸底檢測(cè))已知集合U = Z ,集合A=x Z|3W x<7 , B = xZ

14、|x2 7x+ 10>0，貝U A A (?uB)= ( A )A . 3,4,5B . 2,3,4,5C. 4,5D. 2,3,4x一 11(2) (角度1)不等式2w 1的解集為x|x> 2或XW- 2.(3) (角度 2)解不等式 x2 (a+ 1)x+ a<0(a R)解析(1) '/A= 3,4,5,6 , B = x Z|x>5 或 x<2 , a?ub= 2,3,4,5 , ：4 A (?UB) = 3,4,5, 故選A .x 1x 1 x 2x+ 2(2) < 1? 1w 0?w 0?> 0.2x+12x+ 12x+12x+1x

15、+ 2x + 2 2x+ 10,10?解得x|x> 3或 xw 2.2x+ 12x+ 1工 0,2由 x? (a + 1)x + a= 0,得(x a)(x 1) = 0,'X1= a,X2 = 1, 當(dāng) a>1 時(shí)，x2 (a+ 1)x+ a<0 的解集為x|1<x<a, 當(dāng)a= 1時(shí)，x2 (a + 1)x+ a<0的解集為？, 當(dāng) a<1 時(shí)，x2 (a+ 1)x+ a<0 的解集為x|a<x<1.考點(diǎn)2三個(gè)二次間的關(guān)系一一師生共研(1)(2018重慶模擬)關(guān)于x的不等式x2 2ax 8a2<0(a>0)的解

16、集為(X1, X2),且X2 X1= 15,貝V a = ( A )15215C "4T若不等式x2+ ax 2>0在區(qū)間1,5上有解，則a的取值范圍是(A )a .(y，+m)C. (1 ,+s )23B. ( 23，D. ( g.12?分析(1)思路一：禾U用根與系數(shù)的關(guān)系求解思路二：因?yàn)閍>0，可解方程x2 2ax 8a2=0，得兩根X1 , X2,代入X2 X1= 15求解；令f(x) = x2 + ax 2, = a2 + 8>0恒成立，又兩根之積為負(fù)值，所以只要f(1) > 0或f(1)<0且f(5)>0，于是得解；思路二："

17、正難則反”，求 x2 + ax 2< 0在區(qū)間1,5上恒成立的a的 取值集合，只需f(5) < 0，再求其補(bǔ)集即可；思路三：分離參數(shù).解析 解法一：由題意知 xi, X2是方程x2 2ax 8a2= 0的兩根，則xi + X2= 2a, xix2 =158a2.又 X2 xi= 15,.(x2 xi)2= (xi + X2)2 4x1x2= 4a2 + 32a2= 36a2= 152.a>0 ,a6 =52故選A.解法二：由 x2 2ax 8a2 = (x + 2a)(x 4a)<0,Ta>0,.不等式的解集為(2a,4a).5又不等式的解集為 (xi, x2),

18、 xi = 2a, X2= 4a. -><2 xi= 4a ( 2a) = 6a = 15,.a =，故選令f(x) = x2 + ax 2，貝U = a2 + 8>0, 方程f(x) = 0,有兩個(gè)不等實(shí)根， 又兩根之積為負(fù),方程有一正根和一負(fù)根.解法不等式x2+ ax 2>0在區(qū)間1,5上有解，只要f 1 <0,f(1) > 0 或f 5 >0.解得a> 1或f(5)w 0,即卩 25+ 5a 2< 0,解得 a<數(shù)的值或范圍，為簡(jiǎn)化討論注意數(shù)形結(jié)合，如本例變式訓(xùn)練2中對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0, 2).、 1 1 、(1)已知不

19、等式ax2 bx 1 > 0的解集是, 3，則不等式x2 bx a<0的解集是(A )A (2,3)B . ( s, 2) U (3,+s )C. (3, 2D . ( s, 1 U (2 ,+s )(2018九江模擬)若關(guān)于x的不等式x2 4x 2 a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是(A )A . ( s, 2)B . ( 2 ,+s )C. ( 6 ,+s )D.( s, 6)1 1 2解析(1)依題意，與3是方程ax2bx 1 = 0的兩根,b_1 1a = 2 3， 則1= 1 x 1a 23，b=5a= 6， 即1= 1a= 6，又a<0 ,

20、不等式x2 bx a<0可化為bax1>0,15即6x2 + 6x 1>0,即 x2 5x+ 6<0 ,解得 2<x<3.故選 A .解法一：由函數(shù) f(x) = x2 4x 2 a圖象的對(duì)稱(chēng)軸為 x = 2.二不等式x2 4x 2 a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解？ f(4)>0,即卩a< 2，故選A .解法二：(分離參數(shù)法)不等式x2 4x 2 a>0在區(qū)間(1,4)內(nèi)有解等價(jià)于 ax2 4x 2)max,令 g(x) = x2 4x 2, x (1,4) ,.g(x)<g(4) = 2,.a< 2.故選 A.考點(diǎn)3 一元

21、二次不等式恒成立問(wèn)題” 例 4 已知 f(x) = mx2 mx 1.師生共研(1)若對(duì)于x R, f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若對(duì)于x 1,3 , f(x)< m+ 5恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;若對(duì)于|mS 1, f(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.分析(1)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母 m,應(yīng)分m= 0和m0討論求解；(2)數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論;(3) 把二次不等式轉(zhuǎn)化為含 m的一次不等式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求解.解析(1)要使mx2 mx 1<0恒成立, 若m= 0,顯然1<0;m<0,若 m 0,貝U? 4<m<0.= m2 + 4

22、m<0所以m的取值范圍為(一4,0.要使f(x)< m+ 5在1,3上恒成立, 只需 mx2 mx+ m<6 恒成立(x 1,3),13又因?yàn)?x2 x +1 = (x 2)2+4>o,所以m<x令y=6x2 x+161 23.x 2 + 4因?yàn)閠= (x *)2 + 3在1,3上是增函數(shù),所以6x2 x+ 1在1,3上是減函數(shù).6因此函數(shù)的最小值 ymin = 7.所以m的取值范圍是(一R, 67).(3) 將不等式f(x)<0整理成關(guān)于 m的不等式為(x2 x)m 1<0.令 g(m)= (x2 x)m 1, m 1,1.2g 1 <0, x

23、 + x 1<0 ,則即g 1 <0x2 x 1<0 ,1 “51+ .5解得一2<x<2，1 yf5 1 + 5 即x的取值范圍為(一,).名師點(diǎn)撥 ？一元二次不等式恒成立問(wèn)題1 .在R上恒成立(1) 一元二次不等式ax2 + bx + c>0(或0)對(duì)于一切x R 恒成立的條件是a>0,= b2 4ac<0 或 w 0 .一元二次不等式 ax2 + bx + c<0(或w 0)對(duì)于一切 x R 恒成立的條件是注意： ax2 bx c>0 恒成立 ?c>0ax2 bxc<0 恒成立 ?a= b= 0a<0c<

24、02= b 4ac<0a<0，= b2 4ac<0 或 w 0 .2在給定某區(qū)間上恒成立(1)當(dāng) x m, n, f(x) = ax2 + bx+ c>0 恒成立，結(jié)合圖象，只需 f(x)min>0 即可；當(dāng) x m, n, f(x) = ax2 + bx+ cw 0 恒成立，只需 f(x)maxW 0 即可.3解決恒成立問(wèn)題一定要搞清誰(shuí)是自變量，誰(shuí)是參數(shù)一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是自 變量,求誰(shuí)的范圍,誰(shuí)就是參數(shù).4."不等式f(x) > 0有解(或解集不空)的參數(shù)m的取值集合”是“f(x)<0恒成立的參數(shù) m取 值集合”的補(bǔ)集；“ f(x

25、)>0的解集為？”即“ f(x)w 0恒成立.a= b= 0a>0或= b2 4ac<0；變式訓(xùn)練 3(1)(2018甘肅天水月考)若不等式ax2 + 2ax 4<2x2+ 4x對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ( B )B. ( 2,2A. ( 2,2)C. ( 3 2) U 2 ,3)D. ( , 2(2018山西忻州第一中學(xué)模擬)已知關(guān)于x的不等式x2 4x> m對(duì)任意的x (0,1恒成立, 則有 ( A )B. m> 3A mw 3C. 3w m<0D. m> 4已知對(duì)于任意的a 1,1,函數(shù)f(x)= x2 + (a 4)x + 4 2a的值總大于0,則x的取值范 圍是 ( B )A x|1<x<3B x|x<1 或 x&g