四種線性代數(shù)模型

1、它不僅是其他數(shù)線性代數(shù)是高等學(xué)校理工科和經(jīng)濟(jì)類學(xué)科相關(guān)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課, 學(xué)課程的基礎(chǔ)，也是物理、力學(xué)、電路等專業(yè)課程的基礎(chǔ)。作為處理離散問題工具的線性代 數(shù)，也是從事科學(xué)研究和工程設(shè)計(jì)的科研人員必備的數(shù)學(xué)工具之一。實(shí)驗(yàn)一生物遺傳模型1. 工程背景設(shè)一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的基因型為AA Aa和aa。常染色體遺傳的規(guī)律是：后代是從每個(gè)親體的基因?qū)χ袀€(gè)繼承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)Α?如果考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A a控制的，那末就有三種基因?qū)?，記為AA Aa和aa。研究所計(jì)劃采用 Aa(AA)型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。問經(jīng)過若干年后，這種植物的任意一代的三種基

2、因型分布如何2. 問題分析分析雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率，如表6-4所示。表6-4基因型概率矩陣后代父體一母體的基因?qū)驅(qū)A- AAAA AaAA aaAa AaAa aaaaaaAA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/213. 模型建立與求解設(shè)an, bn, Cn分別表示第n代植物中基因型AA Aa、aa型的植物占植物總數(shù)的百分率。則ana。第n代植物的基因1型分布為(n) xbn(0) ,xb0表示植物型的初始分布。依據(jù)上述基因CnC0型概率矩陣，有anan 11b,bn1bbn 12小bn12G 1 , Cn0 , anbnG1，表小為矩陣形式an

3、1 1/20an 1bn0 1/21bn 1Cn0 00Cn 111/ 20記M01/ 21 ，則 xMxM xM xM x000于是問題歸結(jié)為如何計(jì)算 Mn，可將M對(duì)角化。易于計(jì)算M的特征值為1、1/2、0,其相應(yīng)的特征向量為(1,0,0)T ，(0, 1,0)T，(1,2,1)T。10111/20令P012，則M P 01/21P 1o0010001n1/2 0于是(n) xnM(0) xP 01/2 11 1P x(0)00 01011n 0010110120 (1/2)n0012 x(0)0010 0000111 (1/ 2n)n 11 (1/ 2)a。b° C0(1/n、.

4、2 )b0(1/2n1)C001/2nn 11/ 2x(0)(1/2n)b0(1/2n1)C00 0 0 01(1/2n)b0(1/2n 1)C0(1/2n)b0 (1/2n 1)C0。0當(dāng)n , an1,bn0，因此，可以認(rèn)為經(jīng)過若干年后，培育出的植物基本上呈現(xiàn)AA型。實(shí)驗(yàn)二員工培訓(xùn)問題1. 工程背景某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將1/6熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核xn有2/5成為熟練工。若記第 n年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工與非熟練工所占比例分別為n 。yn2問題X問題1:第n+1年熟練工與非熟練工所占比例

5、n 1與第n年熟練工與非熟練工所占比y 1Xn的關(guān)系。yn1問題2:若第1年熟練工與非熟練工所占比例為X12 ，求Xn 1yi1yn i23.模型建立與求解52 1訐 5(eXnYn)3/15(6Xnyn)。92Xn 1Xnyn整理化簡(jiǎn)得10513yn 1Xnyn10592即Xn1105Xn，記Ayn 113yn105依據(jù)題意，有Xn 1由問題1結(jié)果，有 Xn 1 Ayn 192105，亦有Xn 1AXn。13yn 1yn1051XnA2Xn 1IIIAn 2。ynyn 112易于計(jì)算1、1/2是矩陣A的兩個(gè)特征值，且相應(yīng)的特征問題歸結(jié)為求 An，可將A對(duì)角化。4,11,1924 記P1110

6、，則 P 10 115 p 13105向量為TT1 001、n1 4（2）5 1（1）n11 4(1)n實(shí)驗(yàn)三多金屬分選流程計(jì)算1.工程背景設(shè)，j 原礦產(chǎn)率及第j種產(chǎn)品產(chǎn)率，%100% ;i原礦中第i種金屬品位，%j 第j種產(chǎn)品中第i種金屬品位，%第j種產(chǎn)品中第i種金屬的理論回收率， %按照金屬平衡和產(chǎn)率平衡進(jìn)行計(jì)算。為了計(jì)算方便，尾礦視為產(chǎn)品。金屬平衡，ni j ij, i 1,2，川,m j i產(chǎn)品平衡，100%其中，尾礦產(chǎn)率及金屬品位為in解次多元線性方程組求出產(chǎn)品產(chǎn)率。各產(chǎn)品任一金屬回收率jj ijn100%。j ijj 12問題某鉛鋅礦選礦廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為鉛、鋅、硫精礦和尾礦，已化驗(yàn)知

7、各產(chǎn)品的金屬品位（見F表），試計(jì)算各產(chǎn)品產(chǎn)率和回收率。表6-5各產(chǎn)品的化驗(yàn)品位品位產(chǎn)品名稱鉛（金屬1）鋅（金屬2）硫（金屬3）原礦鉛鋅硫尾礦3.模型建立與求解設(shè)鉛、鋅、硫和尾礦的產(chǎn)率為X1,X2,X3和X4，按照金屬平衡與產(chǎn)率平衡，可建立以下線性方程組：71.04為 1.20x2 0.38x3 0.34% 100 3.143.71xi 51.50x2 0.35x3 0.10x4 100 3.6315.70x1 30.80x2 42.38x3 1.40x4100 15.41X X2 X3 X4100matlaBM 代碼：A=;1 1 1 1%創(chuàng)建系數(shù)矩陣b=314 363 1541 100

8、9; ; % 常數(shù)列矩陣x=Ab % 利用 x=inv(A)*bx =又x0=repmat(x,1,4); %創(chuàng)建多維數(shù)組B0=repmat(b,1 4)'s=x0.*A ' ./B0%計(jì)算各產(chǎn)品的理論回收率，最后一列為產(chǎn)率s=將計(jì)算結(jié)果填入下表表6-6各產(chǎn)品產(chǎn)率及回收率計(jì)算結(jié)果產(chǎn)品名稱產(chǎn)率/%回收率/%鉛鋅硫原礦鉛鋅硫尾礦100100100100實(shí)驗(yàn)四交通流量模型1問題圖6-8給出了某城市部分單行街道的交通流量（每小時(shí)過車數(shù)），計(jì)算各線路上車輛數(shù)x3100x6300x4400200x2x5 x7300xi goox8200300 50000x9 x10600700圖6-8假設(shè)

9、：（1）全部流入網(wǎng)絡(luò)的流量等于全部流出網(wǎng)絡(luò)的流量.（2）全部流入一個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量等于全部流出此節(jié)點(diǎn)的流量.2. 模型的建立與求解由假設(shè)可知，所給問題滿足如下線性方程組：x2 x3 x4300X4X5500X7X200X1X2800XX5800X7X8100X400X10X9200X10600X8X3X51003. Matlab程序?qū)崿F(xiàn)A=0,1,-1,1,0,0,0,0,0,0;0,0,0,1,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,-1,1,0,0,0;1,1,0,0,0,0,0,0,0,0;1,0,0,0,1,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0,1,1,0,0;0,0,0,0,0

10、,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,0,0,0,-1,1;0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,1,0,0,1,0,1,0,0% 矩陣Ab=300;500,200;800;800;100;400;200;600,100B=A,b%增廣矩陣BRan k(A)%計(jì)算矩陣A的秩Ran k(B)%計(jì)算增廣矩陣B的秩，若秩相等，則有解rref(B)%將增廣矩陣B化為最簡(jiǎn)型4.結(jié)果分析增廣矩陣B =01-1100(100c300001100a05I：IO00000-11002001100000a0SOO1CI010C000sao0ULI00011d010000000001040Q00Cl00000r120000a000(1001600001QQ101u1QQ系數(shù)矩陣的秩Ran k(A)=8增廣矩陣的秩Rank(B)=8<10，說明該非齊次線性方程組有無窮多個(gè)解.增廣矩陣的最簡(jiǎn)型為：10001000a0SCO100-aca000010aa0000200001o0o0500000U10icu-10000001i0wo000a0a14CID0000000001BOOQQ0CQQQQ00000000a0a00其對(duì)應(yīng)的齊次同解方程組為X5800X2X50X3200X4X5500X