2013非線性動(dòng)力學(xué)練習(xí)題

1、2013“非線性振動(dòng)”練習(xí)題1、簡(jiǎn)述繪制相軌線的原理及其作用。2、用小參數(shù)攝動(dòng)法求x + x = x2x « 1)的一階近似解。3、用多尺度法或均值法求(第三章16)X + x = x3 (W « 1)的一階近似解。4、用多尺度法求周期激勵(lì)范德波爾方程7PX + x = £(1 一 X2 )x + F cost. X(O) = A + 7. X(O) = 0% _少 的非共振解。5、設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程為x + tyx = -x1 +Fcosftjr( « 1)試求ea鞏的主共振解。6、簡(jiǎn)述非線性單自由度保守系統(tǒng)自由振動(dòng)的主要特點(diǎn)及與線性系 統(tǒng)的區(qū)別。7、簡(jiǎn)述

2、非線性單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)特點(diǎn)。8、簡(jiǎn)述自激振動(dòng)產(chǎn)生的主要原因及其特點(diǎn)。9、以兩自由度非線性系統(tǒng)為例，簡(jiǎn)述非線性多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的 主要特點(diǎn)。10、簡(jiǎn)述分岔和混沌的概念。(考試從中選取5題)1、簡(jiǎn)述繪制相軌線的原理及其作用。答：繪制相軌跡線的原理如下：將系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程X4(X)=O轉(zhuǎn)化為以狀態(tài)變量表示的狀態(tài)方程組(1)y=x y=*(,y)在利川I .式消去微分d,得到y(tǒng)和X的關(guān)系式(2)dy _ /(x,y) dx y這個(gè)式子所確定的平面(x,y)上的各點(diǎn)的向量場(chǎng)，就構(gòu)成了相軌跡族。繪制相軌跡線的方法有兩種，第一是等傾線法。等傾線法的原理如下，令方程(2)右 邊等于常數(shù)C,得

3、到(x,y)相平而內(nèi)以C為參數(shù)的曲線族/(x,y)+Cy=O(3)稱作相軌跡的等傾線族，族內(nèi)每一曲線上的所有點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的由方程(2)確走的向量場(chǎng)都 指向同一方向。第二種方法是李納法。其原理如下：適當(dāng)選擇單位使彈簧的系數(shù)為1，設(shè)單位庚就的阻尼力為-0(y),則有f(x,y)=x+0(y)- 相軌跡微分方程為dy_x+0(y)CIX yT-IiII h做輔助曲線=0(y) O此輔助曲線即上述零斜辛歲傾線，過某個(gè)相點(diǎn)P (.y) 作X軸的平行線與輔助曲線交與R點(diǎn)，再過R點(diǎn)作y軸的平行線與X軸交于S點(diǎn)，連接PS, 將向量屍逆時(shí)針誕H 9()度后的方向就是方程(4)確怎的相軌跡切線方向。相軌跡線可以幫助我

4、們定性地了解系統(tǒng)在不同初始條件下的運(yùn)動(dòng)全貌。當(dāng)系統(tǒng)是強(qiáng)非線 性振動(dòng)的時(shí)候，近似解析法(如小參數(shù)攝動(dòng)法，多尺度法)不再適用，此時(shí)可以采用相軌跡 法來(lái)研究。(相軌跡線的作用)非線性動(dòng)力學(xué)主要研究非線性振動(dòng)系統(tǒng)周期振動(dòng)規(guī)律（振幅，頻率，相位的變化規(guī)律） 利周期解的穩(wěn)定條件。苴研究?jī)?nèi)容主要有：保守系統(tǒng)中的穩(wěn)定性及軌道擴(kuò)散問題：振動(dòng)的宦 性理論：非線性振動(dòng)的近似解析方法：非線性振動(dòng)中混沌的控制和同步問題：隨機(jī)振動(dòng)系統(tǒng) 和參數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)問題等。所以，方程的主共振解為2、用小參數(shù)攝動(dòng)法求x + x = x2x « 1)的一階近似解。解:此處取一階近似解X=Ao +£召+0(，)(1)設(shè) 1

5、=+D 即=1-D (2)此處D為調(diào)諧參數(shù)并設(shè)F=K (3)將(1) (2) (3)代入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中則有XO + Xl +(2 -D£)(Xo+wx i)=-(x0+x l)2 +K COS t(4)考慮到£兩邊同次慕的系數(shù)相等，于是有日：X0 +<2xo=O (5a)P: X1 +i2x1=Dx0 -x02 +KCOStyr(5b)由(5a)可得 Xo=ACoSQ/+BsinQ/ (6)將(6)代入(5b)中有i42B2Xl +2XI=DA COS COt +DB SinCOt-(1+COS 2e ) (I-COS 2t )-ABsin269+Ar COS t2

6、2(7)為了消去久期項(xiàng)，必有使得8SQ和Sin期的系數(shù)都為O干是有DA+K =O(8)DB=O于是有解(7)A=-=- B=O(9)D D(9) 可得(10)A? A2Xl=Rl COSe/+R*sinQ/+ COS2t11-2262由初始條件 XI(O)=O XI (O)=O(II)可得R2=O(12)AZ(XI =COSft?/ +1 3/X=ACOS t+ COSCOt+ cos (14)(3/2獷 6/丿這里A=-(其中D為調(diào)諧參數(shù))(15)D3、用多尺度法或均值法求X + x = £X' ( « 1)的一階近似解。4、用多尺度法求周期激勵(lì)范德波爾方程IPX

7、 + x = £(1 一 X2 )x + F cost. X(O) = A + .上(0) = 0的非共振解。5、設(shè)運(yùn)動(dòng)微分方程為i + <yjx = -x + Fcost ( « 1)試求的主共振解。6、簡(jiǎn)述非線性單自由度保守系統(tǒng)自由振動(dòng)的主要特點(diǎn)及與線性系統(tǒng) 的區(qū)別。答：特點(diǎn)：(1) 恢復(fù)力與位移不成線性比例或阻尼力與速度不成線性比例非線性單自由度保守系統(tǒng)自由振動(dòng)的機(jī)械能守恒(3)系統(tǒng)的周期與初始條件有關(guān)。保守系統(tǒng)的微分方程形式如：加(r) + P(")=°庶中P(II)是僅依賴于系統(tǒng)位移U的 非線性有勢(shì)力。(5 ) OOO區(qū)別：線性振動(dòng)只適用

8、于小運(yùn)動(dòng)范帀，超過此范用，就變成非線性振動(dòng)。7、簡(jiǎn)述非線性單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)特點(diǎn)。 答：非線性單自由度f(wàn)W迫振動(dòng)有以下特點(diǎn)：(1)非線性單自由度系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程為：+FF (t)為正弦時(shí)為簡(jiǎn)諧激勵(lì)。上式為弱非線性,有周期解。(2) 振幅與激勵(lì)頻率在一定關(guān)系下發(fā)生突跳現(xiàn)象。(3) 在非線性系統(tǒng)中，當(dāng)干擾力頻率在派生系統(tǒng)固有頻率附近變化，而受迫振動(dòng)振幅很大 時(shí)，發(fā)生主共振。一左條件下還會(huì)發(fā)生超諧共振、亞諧共振、組合共振等非主共振現(xiàn)象。9、以兩自由度非線性系統(tǒng)為例，簡(jiǎn)述非線性多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的主k_m要特點(diǎn)。z.2 g 2州 +©；內(nèi)=IXl -x2Ol答

9、：多自由度系統(tǒng)的非線性振動(dòng)，除商百由度系統(tǒng)之外,很少有精確解多采用數(shù)值方法為 .22 . .¾Ig植儆腦須君世條弁下廠存心創(chuàng)均fe硯象嚴(yán)和現(xiàn)象、周期激勵(lì)下不存在周期運(yùn)動(dòng) 的現(xiàn)象。V在兩自由度時(shí)：(1)內(nèi)共振現(xiàn)象，以彈簧擺有限振動(dòng)為例,經(jīng)過計(jì)算得到：彈簧的伸長(zhǎng)和擺動(dòng)均為有界,而兩種運(yùn)動(dòng)的幅值交替增減,能量不斷在兩種振 動(dòng)形式之間交換,變種現(xiàn)彖稱為內(nèi)共振。（2）受迫振動(dòng)中的飽和現(xiàn)象，以船舶在海浪作用為例,設(shè)“為橫搖: £ 為仰俯 角振動(dòng)方程可寫為.Xl + CDXl =-2XZlil +6ZlXI x2 + Flcos(t + i)X2 + 1x2 = -22x7 + a-,x + Fr CoS伽 + 2)若存在內(nèi)共振即c% q2©)i當(dāng)海浪頻率e ©2且從縱向拍擊船舶Fl = 0)時(shí),開始激發(fā)仰俯振動(dòng) 隨著激勵(lì)幅值的增加仰俯振動(dòng)的幅值也增加但當(dāng)化超過某一臨界值 后宀幅值就不再增加:飽和)，能量滲透至Ih這就