電動(dòng)力學(xué)理論證明集錦

1、電動(dòng)力學(xué)理論證明集錦為了擴(kuò)充學(xué)生知識(shí)面，強(qiáng)化理論體系的證明與驗(yàn)證過(guò)程， 鞏固已學(xué)知識(shí)。在 此編撰了與電動(dòng)力學(xué)課程相關(guān)的 2020 余條理論證明內(nèi)容，有的是基礎(chǔ)理論， 但大部分是擴(kuò)展內(nèi)容。第一章電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律1.1.試證明通過(guò)任意閉合曲面的傳導(dǎo)電流、極化電流、位移電流、磁化電流 的總和為零。證明設(shè)傳導(dǎo)電流、磁化電流、極化電流、位移電流分別為，由麥克斯韋方程之一（安 培環(huán)路定理）給出對(duì)方程兩邊作任意閉合曲面積分，得即給出總電流為因?yàn)槭噶繄?chǎng)的旋度無(wú)散度：，故2.2.若是常矢量，證明除 R=0R=0 點(diǎn)以外，矢量的旋度等于標(biāo)量的負(fù)梯度，即, 其中 R R 為坐標(biāo)原點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，方向由原點(diǎn)指向場(chǎng)點(diǎn)

2、。證明在的條件下，有另一方面 經(jīng)比較以上兩式的右邊，便可給出的答案。注釋?zhuān)罕绢}中所見(jiàn)的矢量和標(biāo)量的形式在電動(dòng)力學(xué)內(nèi)容中有多處出現(xiàn), 下供參考（注意比較相同、相異之處）：（1 1）電偶極矩激發(fā)的電勢(shì)：；（2 2）磁偶極矩產(chǎn)生的磁標(biāo)勢(shì)：；（3 3）磁偶極矩產(chǎn)生的磁矢勢(shì)：。3.3.試由電場(chǎng)積分公式出發(fā)，證明證明因?yàn)椋玫礁鶕?jù)函數(shù)的挑選作用，給出4.4.試由畢奧- -薩伐爾定律出發(fā)，證明證明方法1:間接積分計(jì)算其中：0直接計(jì)算可得。以下進(jìn)一步計(jì)算，分兩步運(yùn)算:計(jì)算：其中第一項(xiàng)因?yàn)椋海坏诙?xiàng)運(yùn)用穩(wěn)恒電流條件，結(jié)果也為零計(jì)算： 最終得到: 方法2：直接積分計(jì)算 利用畢奧 - -薩伐爾定律直接作積分計(jì)算（交

3、換積分次序）（利用）開(kāi)列如注意，則，有（運(yùn)用斯托克斯公式）（交換積分次序）其中第一項(xiàng)用了奧高積分變換公式、 第二項(xiàng)用了運(yùn)算與無(wú)關(guān)化成微分式得 方法3：直接微分計(jì)算 利用公式和關(guān)系，直接計(jì)算因?yàn)椋ㄇ髮?dǎo)與函數(shù)變量無(wú)關(guān)） ，故利用函數(shù)的挑選作用，給出5 5試證明在均勻電介質(zhì)中存在關(guān)系 證明 因?yàn)椋⑶遥?= =常數(shù)，所以注意到，進(jìn)一步有6 6 試證明在均勻磁介質(zhì)中存在關(guān)系證明因?yàn)?，并?=,=常數(shù)，所以7 7 證明兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力大小相等，方向相反（但 兩個(gè)電流元之間的相互作用力一般并不服從牛頓第三定律）。證明（1 1）兩個(gè)電流元之間的相互作用力不服從牛頓第三定律。設(shè)兩電流元相距

4、，根據(jù)畢奧- -薩伐爾定律給出：電流元 1 1在電流元 2 2 處產(chǎn)生 的磁場(chǎng)為其中應(yīng)用安培力公式，給出電流元 1 1 對(duì)電流元 2 2 的作用力、電流元 2 2 對(duì)電流元 1 1 的作用力分別為雖然、，但一般情況下，即，因此兩個(gè)電流元之間的相互作用力不滿(mǎn)足牛頓第三定律。其原因是，不存在兩個(gè)獨(dú)立的電流元，只存在閉合回路。（2 2）兩個(gè)閉合的恒定電流圈之間的相互作用力滿(mǎn)足牛頓第三定律。方法1:（場(chǎng)）電流圈 1 1 （閉合回路 1 1 整體）在電流元 2 2 處激發(fā)的磁場(chǎng)為電流元 2 2 （電流圈 2 2 上的抽樣）所受的磁力為同樣，電流元 2 2 在電流元 1 1 處產(chǎn)生的磁場(chǎng)為進(jìn)一步，電流圈

5、1 1 對(duì)電流圈 2 2（整體兩閉合回路）的作用力為其中第一項(xiàng)的積分為這里對(duì)回路 2 2 的積分應(yīng)用了斯托克斯公式， 是以閉合回路為周界的任意曲面， 且 應(yīng)用了的結(jié)果。所以同理可得比較以上兩式，且注意到，可得。方法2：（力）依據(jù)電流元 1 1 對(duì)電流元 2 2 的作用力給出電流圈 1 1（閉合回路 1 1 整體）對(duì)電流元 2 2 的作用力為進(jìn)一步，給出電流圈 1 1 對(duì)電流圈 2 2（兩個(gè)閉合回路整體）的作用力為其余運(yùn)算同前（從略） 。綜上可見(jiàn)， 雖然兩個(gè)電流元之間的相互作用力不滿(mǎn)足牛頓第三定律， 但兩個(gè) 閉合的恒定電流圈之間的相互作用力是滿(mǎn)足牛頓第三定律的。8 8已知一個(gè)電荷系統(tǒng)的偶極距定義

6、為，利用電荷守恒定律證明的變化率為 證明 因?yàn)椴⑹傅纳⒍葹?, , 兩邊作積分得其中是的函數(shù)。所以又，故第二章靜電場(chǎng)9 9 簡(jiǎn)略證明矢量場(chǎng)的唯一性定理。證明假定有兩個(gè)矢量場(chǎng)均滿(mǎn)足定解條件，即引入差函數(shù)，貝 U U可見(jiàn)無(wú)旋，弓 I I 入對(duì)應(yīng)的勢(shì)函數(shù)，代入的散度方程給出即勢(shì)函數(shù)滿(mǎn)足拉普拉斯方程，且在 S S 面上將以上結(jié)果代入格林第一公式得到因?yàn)?，所以。又由于被積函數(shù)（非負(fù)），故上式成立的條件要求，即，亦即，滿(mǎn) 足所給定解條件的解是唯一性的。1010. 一塊極化介質(zhì)的極化矢量為，根據(jù)偶極子靜電勢(shì)的公式，極化介質(zhì)所 產(chǎn)生的靜電勢(shì)為另外，根據(jù)極化電荷公式及，極化介質(zhì)所產(chǎn)生的電勢(shì)又可表為 試證明以上兩

7、式是等同的。證明因?yàn)?，所以證畢第三章靜磁場(chǎng)1111 試證明矢量場(chǎng)能夠代表磁場(chǎng)。證明檢驗(yàn)是否等于 0 0:因?yàn)榈拇笮H為的函數(shù)、方向沿，在球坐標(biāo)系下容易求出滿(mǎn)足高斯定理，故能夠代表磁場(chǎng)。再用另一場(chǎng)方程在球坐標(biāo)系下計(jì)算旋度，求得對(duì)應(yīng)的電流分布為1212試證明規(guī)范變換函數(shù)滿(mǎn)足泊松方程。證明在的定義下，作規(guī)范變換：其中為任意可微的標(biāo)函數(shù)（規(guī)范變換函數(shù)），則即雖不同于，但對(duì)應(yīng)于同一個(gè)。在靜磁場(chǎng)中，人為常?。◣?kù)侖規(guī)范）。若，則可尋找，使，但對(duì)需要有限制:即規(guī)范變換函數(shù)滿(mǎn)足泊松方程。第四章 電磁波的傳播1313大部分晶體屬于各向異性介質(zhì)，其中麥克斯韋方程組最簡(jiǎn)單的解是且。試證明晶體光學(xué)第一基本方程成立。其中

8、為波傳播方向的單位矢量 證明 應(yīng)用無(wú)源區(qū)域的麥克斯韋方程組對(duì)于常幅矢和行波因子為的形式，存在代換：所以將以上關(guān)系代入展開(kāi)式：得利用得 即。證畢1414頻率為的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時(shí)，若仍按變化，但不再與平 行（即不成立）。（1 1）證明，但一般；（2 2）證明；（3 3）證明能流與波矢一般不在同一方向上。 證明 （1 1）應(yīng)用無(wú)源區(qū)域的麥克斯韋方程組由于仍按變化，則存在代換。利用，上述方程化為由第一、第二式給出從而綜上可見(jiàn)。此外，雖然，但由于，故一 般，直觀圖示如右。（2 2）將代入中得。（3 3）利用計(jì)算因?yàn)?，所以上式中第二?xiàng)不為 0 0,即能流與波矢一般不在同一方向上。 注釋?zhuān)海?

9、1）本題中不再與平行，即不成立；但應(yīng)用了，即是電各向異性介質(zhì)。（2 2）因?yàn)?，即，又，故三者組成右手系；此外，因?yàn)?，故三者共面，但?平行于。顯然，與之間的夾角也就是與之間的夾角。15.15. 試證明在不同介質(zhì)分界面上電磁波反射和折射時(shí)能量守恒。證明設(shè)平面波的入射角、反射角和折射角分別為，分界面的面積為，其中為介質(zhì) 的法矢。（1 1）入射到面積的功率為注意到一般介質(zhì)，所以（2 2）反射波、折射波的功率之和為將電場(chǎng)矢量分解為垂直于和平行于入射面分量的疊加，即，則由電場(chǎng)矢量垂直于、平行于入射面情況的菲涅耳公式得利用折射定律，即得其中第一項(xiàng)、第三項(xiàng)之和可以利用三角函數(shù)化為同理，第二項(xiàng)、第四項(xiàng)之和化為

10、綜合以上得最后，比較（1 1）式、（2 2）式的結(jié)果，可得，即入射波的功率等于反射波的 功率與折射波的功率之和。進(jìn)一步表明反射波能量與折射波能量之和等于入射波的能量，即在不同介質(zhì)分界面上電磁波發(fā)生反射和折射時(shí)遵守能量守恒定律。注釋?zhuān)海? 1）本題結(jié)果，即可以借助于反射系數(shù) R R 和折射系數(shù) T T 進(jìn)行表示。反射系 數(shù)和折射系數(shù)的定義為因?yàn)樗约?2)電磁波在介質(zhì)界面上發(fā)生反射和折射，其 反射率和折射率的定義為， 它們不同于反射系數(shù)和折射系數(shù)的定義。由于反射波與入射波在同空間， 但與折 射波在異空間，所以。16.16. 試證明導(dǎo)體內(nèi)部透入任一體積的電磁波能量正好等于這塊導(dǎo)體產(chǎn)生的 焦耳熱。證

11、明(1 1)設(shè)電磁場(chǎng)為：則在良導(dǎo)體內(nèi)所以故在單位時(shí)間內(nèi)由 Z=0Z=0 金屬表面單位面積平均流入內(nèi)部的電磁能量為(2(2)另外，金屬內(nèi)部的電流 J J 引起焦耳熱功率密度平均值為:故單位面積為底、Z Z 為高的體積內(nèi)，在單位時(shí)間內(nèi)平均熱耗能量為:其中，可見(jiàn)。證畢1717 .試證明良導(dǎo)體在高頻下的電阻相當(dāng)于厚度為的薄層的直流電阻證明取 Z Z 軸指向?qū)w內(nèi)部，由于高頻趨膚效應(yīng)，導(dǎo)體內(nèi)體電流密度為: 其中為表面處的電場(chǎng)。此電流分布在導(dǎo)體表面附近厚度的薄層內(nèi)一一視為面電流 分布： 由此得面電流最大值平方為：而導(dǎo)體內(nèi)平均熱功率密度為：II導(dǎo)體表面單位面積平均熱功率為：豐；1Irlhl將代入上式，有而良

12、導(dǎo)體，所以jf與比較，可得表面電阻。即良導(dǎo)體在高頻下的電阻相當(dāng)于厚度為的薄層的直流電阻。證畢第五章電磁波的輻射1818.證明：如果和滿(mǎn)足洛侖茲規(guī)范，則只要選擇這樣一個(gè)標(biāo)函數(shù)使之滿(mǎn)足, 則新的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)，仍然滿(mǎn)足洛侖茲規(guī)范。證明設(shè)和是滿(mǎn)足洛侖茲規(guī)范的勢(shì)函數(shù)，作規(guī)范變換則將代入之，得表明，只要滿(mǎn)足，則和也滿(mǎn)足洛侖茲規(guī)范條件1919證明荷質(zhì)比相同的不同帶電粒子構(gòu)成的體系不會(huì)產(chǎn)生偶極輻射。 證明 設(shè)體系有 N N 個(gè)粒子，第個(gè)粒子的質(zhì)量為，電荷為，總質(zhì)量為 M M 粒子的荷質(zhì)比相同，則體系的電偶極矩、磁偶極矩分別為（1 1）電偶極矩在的非相對(duì)論情形，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。質(zhì)心的矢徑為 即，則。由于系統(tǒng)不受

13、外力，則質(zhì)心加速度。將代入電偶極矩中，給出因?yàn)?，所以。由電偶極矩輻射公式可知該體系不存在電偶極矩輻射。（2 2）磁偶極矩其中體系的角動(dòng)量，系統(tǒng)不受外力時(shí)角動(dòng)量守恒，即，故。由磁偶極矩輻射公式可知該體系沒(méi)有磁偶極矩輻射。2020試證明真空中電磁場(chǎng)的動(dòng)量公式可以用表示為 證明 另外即所以，代入得最后將上式代入得因?yàn)槿齻€(gè)面積分的被積函數(shù)都反比于 R R 的三次方，而 S S 的邊界面積正比于 R R 的二 次方。因而 注釋?zhuān)航Y(jié)合所證結(jié)果，給出一個(gè)應(yīng)用示例：一質(zhì)量為、帶電為的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng), 試在穩(wěn)定情況下給出帶電粒子的總動(dòng)量。因?yàn)?，所以；考慮到帶電粒子在磁場(chǎng)中以速度運(yùn)動(dòng)，機(jī)械動(dòng)量為。給出該帶 電為粒子在外磁場(chǎng)中的總動(dòng)量為第六章狹義相對(duì)論2121.試用相對(duì)論動(dòng)量- 能量的變換式證明：是一不變量證明因?yàn)?，且，?xiě)成矩陣形式為2222.試證明在洛侖茲變換下與為不變量證明由電磁場(chǎng)四維張量變換關(guān)系可導(dǎo)出電磁場(chǎng)的變