初三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題指導(dǎo)

1、一、實數(shù)與整式例1 第29屆北京奧運會火炬接力活動歷時130天，傳遞行程約為.用科學(xué)記數(shù)法表示是（ ）.A.B.C.D.【分析】將一個較大的正數(shù)N（N 1）寫成的形式，其中.【解】故選A.【說明】科學(xué)記數(shù)法將繼續(xù)圍繞社會熱點問題進行考察，學(xué)生需多加練習(xí).例2 下列實數(shù)：,，中無理數(shù)個數(shù)有（ ）.A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個【分析】判斷一個實數(shù)是有理數(shù)還是無理數(shù)，關(guān)鍵是正確理解無理數(shù)的概念，解題時首先應(yīng)對三角函數(shù)、方根等進行化簡，然后據(jù)其結(jié)果再判斷.【解】是無理數(shù)，是有理數(shù)，是無理數(shù)，是無理數(shù)，是有理數(shù)，故選C.【說明】 實數(shù)的概念中以無理數(shù)尤為重要，這類考題多以基本概念為依據(jù)，以填

2、空、選擇形式出現(xiàn)，復(fù)習(xí)時應(yīng)加強對概念理解的練習(xí).例3 一跳蚤在一直線上從O點開始，第1次向右跳1個單位，緊接著第2次向左跳2個單位，第3次向右跳3個單位，第4次向左跳4個單位，依此規(guī)律跳下去，當(dāng)它跳第100次落下時，落點處離O點的距離是 個單位.【分析】第2次落在O點的左側(cè)，離O點個距離單位.第四次落在在O點的左側(cè)，離O點個距離單位. 所以第100次落下時，落點處離O點是50個距離單位.【解】第100次落下時，落點處離O點是50個距離單位.【說明】本題要求學(xué)生通過閱讀、觀察所給的條件，數(shù)形結(jié)合，善于借助數(shù)軸進行歸納與總結(jié)，找出規(guī)律后求解.例4若，則的值為_.【分析】初中階段學(xué)過的三種非負數(shù)是：

3、，又它們的和為零 ，所以每一個式子均為零.【解】，.，.【說明】本題出現(xiàn)的條件是非負數(shù)的和為零的形式,要充分利用非負數(shù)性質(zhì)來解題.例5 計算：.【分析】解題關(guān)鍵是二次根式的化簡、特殊角三角函數(shù)值以及非零數(shù)的零次冪恒為1的理解，以及的逆用.【解】原式= 【說明】根據(jù)實數(shù)的運算法則和運算順序解題是實數(shù)計算題的解題關(guān)鍵.學(xué)生還要注意在有些計算中需關(guān)注乘法公式的逆用.例6 從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個邊長為b的小正方形(如圖1-1)，然后將剩余部分剪拼成一個矩形(如圖1-1)，上述操作所能驗證的等式是( )圖圖1-1A.(ab)(ab)ab.(ab)aabb.(ab)aabb.aaba (ab)【分析

4、】剩余部分的面積為，新拼成后的矩形邊長分別為矩形面積為故選A.【解】選A.【說明】通過圖形變換前后的面積相等驗證了平方差公式這一恒等關(guān)系，進一步體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想.例7 化簡求值(1）已知，求的值.(2）已知，求的值.【分析】(1)題關(guān)鍵是代數(shù)式整體代入思想的運用. (2)題關(guān)鍵是配方法和非負數(shù)性質(zhì)的運用.【解】（1）原式=；（2）， 【說明】(1)整式運算要注重培養(yǎng)學(xué)生先觀察后動手的習(xí)慣，復(fù)習(xí)時要培養(yǎng)學(xué)生靈活運用雙基解題的能力；（2）整式乘法都以冪的運算法則和運算律為基礎(chǔ)的，要熟練掌握整式乘法的計算,注意整體代入法、配方法在求值題中的應(yīng)用.例8 在下圖(圖1-2)中，每個正方形由邊長為

5、1的小正方形組成.圖1-2(1)觀察圖形，請?zhí)顚懴铝斜砀瘢赫叫芜呴L1355（奇數(shù)）黑色小正方形個數(shù)15正方形邊長2466（偶數(shù)）黑色小正方形個數(shù)(2)在邊長為n（n1）的正方形中，設(shè)黑色小正方形的個數(shù)為P1，白色小正方形的個數(shù)為P2，問是否存在偶數(shù)n，使P2=5P1？若存在，請寫出n的值；若不存在，請說明理由.【解】1）1；5；9；13；2-1 4；8；12；16；2（2）為偶數(shù)時，=2，=.由題意得，解得=12,=0（不合題意）.所以存在偶數(shù)=12,使得p2=5p1.【說明】本題是一道探究性問題，解答這類題目時，同學(xué)們要仔細分析題目的變化規(guī)律，既要在小范圍內(nèi)尋找，（也就是觀察每一個等式，每

6、一個圖形內(nèi)部各個量的聯(lián)系）同時又要注意橫向聯(lián)系，即式與式、圖與圖之間進行比較和觀察，猜想、歸納、驗證,從而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì).這類試題也反映了特殊與一般的辨證思想.本題亦可從函數(shù)角度，猜想函數(shù)關(guān)系（包括一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)）來解題.【復(fù)習(xí)建議】1.立足基本知識點，如科學(xué)記數(shù)法、數(shù)軸與無理數(shù)的估值范圍、實數(shù)的冪的運算、指數(shù)（包括零指數(shù)、負整指數(shù)冪）運算、根式運算、絕對值化簡、特殊值的三角函數(shù)值等，解題時一要認真審題，觀察式子的結(jié)構(gòu)；二要弄清運算順序和法則，做到步步有據(jù)；三要注意符號的確定及最簡結(jié)果,耐心細致.2.實數(shù)計算考查趨向簡潔化和小綜合性，實數(shù)計算既可單獨出題，也可融入實際應(yīng)用.對于

7、實數(shù)的運算，熟練掌握整數(shù)運算法則（特別是乘法公式的運用和逆用），并能靈活運用，學(xué)會運用數(shù)形結(jié)合思想（如例3、6）、方程思想、整體代入法、化歸法 (如例7)、分類討論思想（如例8）來解題.3.加強學(xué)生閱讀思考、歸納探究（主要指尋找規(guī)律類試題）能力的培養(yǎng).重視聯(lián)系生活實際（如列代數(shù)式表示增長率、利息、打折、利潤等問題），靈活運用雙基，對有關(guān)數(shù)學(xué)情境類的實際問題，應(yīng)關(guān)注其數(shù)學(xué)解題方法、以及其中蘊含的數(shù)學(xué)思想本質(zhì).4.注意：數(shù)與式運算的考查在中考中是必不可少的，題型多為填空、選擇、計算，但其知識又滲透在其他各章節(jié)、學(xué)科知識中，故在運算過程中務(wù)必做到細心仔細，處理靈活，步驟完整.二、因式分解、分式、數(shù)的

8、開方例1把下列各式分解因式：(1)； (2)(3)； (4)(5)； (6)【分析】因式分解的一般思維方法是：先看是否有公因式可提，再看能否用公式，二次三項式一般可以考慮用十字相乘法，對于項數(shù)為四項或四項以上的，考慮用分組分解法【解】(1)原式(2)原式x3-(x-)(x2+(3)原式(4)原式.(5)原式(6)原式 【說明】因式分解時要注意以下幾點: 提公因式的關(guān)鍵是找出公因式(即多項式中各項系數(shù)的最大公約數(shù)與各項相同因式的最低次冪的積)，公因式可以是單項式，也可以是多項式；當(dāng)多項式中某一項是公因式時，提取后還有因數(shù)1留下防止漏項； 運用公式的關(guān)鍵是熟悉公式的結(jié)構(gòu)特點，了解公式中a、b的廣泛

9、含義，才能準(zhǔn)確、迅速解題； 二次三項式一般考慮十字相乘法； 運用分組分解法的原則是：分組后，組內(nèi)有公因式可提或能用公式或十字相乘，然后組與組之間又可以有公因式可提或能用公式或十字相乘； 因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止例2(1)如果分式無意義，那么x (2)當(dāng)分式的值為零時，x的值為(3)代數(shù)式中的取值范圍是 .【分析】(1)分母為零時，分式無意義(2)分式的值為零，必須滿足分子為零，分母不為零(3)二次根式有意義,被開方數(shù)不小于0.【解】(1)x2(2)， x -5(3) 0, -2.【說明】(1)、(2)題：分式的分母不為零時，分式有意義；特別是分式為零時，分子為零而忽略分母

10、不為零的條件第(3)題二次根式，不要忘記a0的條件.例3(1)化簡：(2)先化簡，再求值：，其中【分析】在進行分式的加減乘除混合運算中，要注意運算順序，先算乘除、再算加減，有括號先算括號里面的對于分子、分母是多項式的分式，應(yīng)先把分子、分母因式分解，然后再約分化簡;分式的化簡求值，需先將所給分式按計算的技巧與方法進行化簡，再把條件代入求值，有時可能對條件也要化簡 【解】(1)原式(2)原式，當(dāng)時，原式【說明】分式的計算(或化簡)主要依據(jù)分式的約分和通分，運算時要注意觀察式子的特點，靈活運用運算法則，防止盲目繁瑣的運算；若分式的分子、分母是多項式時，可考慮先進行因式分解分式的計算是考查學(xué)生因式分解

11、、通分、約分等運算能力的經(jīng)典題型，是中考的重要題型之一，復(fù)習(xí)中要重視例4 已知，則的值為()A-1B-2C-3D-4【分析】可以解方程組求出x、y的值，再求代數(shù)式的值如果能發(fā)現(xiàn)所求代數(shù)式可以因式分解，再整體代入則更為簡單【解】(-2)×(-1)2，故選B【說明】代數(shù)式求值問題條件多樣、形式多樣、技巧性較強，因此解題時需要同學(xué)們有扎實的基礎(chǔ)、敏銳的觀察力、靈活善變的思維和過硬的計算能力本題主要考查運用因式分解進行變形，再進行求值，要求學(xué)生能夠巧用因式分解來解題例5 (1)在二次根式，是同類二次根式的是()ABCD(2)計算：【分析】(1)解答本題的關(guān)鍵是能正確化簡題中的四個二次根式，然

12、后根據(jù)被開方數(shù)是否相同來選擇與是否為同類二次根式(2)二次根式的混合運算要注意運算的順序及化簡的法則【解】(1)與是同類二次根式的是，故答案選項C(2)原式4×2912(1)891111【說明】最簡二次根式、同類二次根式是本節(jié)內(nèi)容兩個重要概念，正確理解這兩個概念，是進行二次根式加減運算的前提，因此在總復(fù)習(xí)時，應(yīng)加強二次根式的化簡的習(xí)題訓(xùn)練例(1)先化簡，再求值：(2)已知，求代數(shù)式的值【分析】(1)化簡本題時可先利用公式來化去根號，然后通過分子、分母因式分解約分化簡(2)由于、均為可化簡的二次根式，應(yīng)先將、進行化簡。而多項式的次數(shù)較高，且可以因式分解，因此，容易想到轉(zhuǎn)化的思想方法，把

13、比較復(fù)雜的計算問題簡單化【解】(1)原式(2)，【說明】(1)本題是分式和二次根式的綜合計算問題，難點是要判斷a-1的正負性另外，值得注意的是化簡結(jié)果后求值的方法技巧，告誡學(xué)生不要用通分這種繁瑣的方法去求值(2)本題考查學(xué)生數(shù)學(xué)方法是：分母有理化、因式分解、配方法；運用數(shù)學(xué)思想是：轉(zhuǎn)化思想、整體思想教師在復(fù)習(xí)時要適量地進行有關(guān)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的滲透.【復(fù)習(xí)建議】1復(fù)習(xí)概念時不要死記硬背，要抓住概念中的關(guān)鍵詞語，并對相近概念進行辨析，如二次根式與最簡二次根式，這樣有利于由此及彼的掌握概念，加深理解的效果，以達到鞏固概念的目的2復(fù)習(xí)性質(zhì)、公式、法則時，要注意運用的條件，并重視對典型例題的變式訓(xùn)練

14、，熟練掌握運算方法，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，提高運算能力和解題技巧；并注意知識間的聯(lián)系，如分式、二次根式的計算或化簡時常常用到因式分解,例如：對例3、4中代數(shù)式的處理.3對于立方和(差)公式、十字相乘法、分母有理化等補充內(nèi)容，要求學(xué)生掌握和簡單應(yīng)用，但不必加深 4數(shù)學(xué)思想方法：(1)轉(zhuǎn)化思想，如例6；(2)整體思想，如例4、例6三、方程(組)及其應(yīng)用例1解下列方程(組)：(1)； (2)； (3)； *(4) 【分析】(1)本題有配方法、因式分解法、公式法等多種解法，選用因式分解法較為適宜；(2)直接去分母法可以化為整式方程，但通過觀察方程結(jié)構(gòu)特點，采用換元法較為簡便；(3)兩個方程先通過去分母和

15、去括號化為一般形式，然后用代入消元法或加減消元法，本題也可整體代入消元；()二元二次方程組一般用代入消元法，本題的幾何意義是求拋物線與直線的交點坐標(biāo)【解】(1)， (2)設(shè)y=，則原方程可化為：，去分母整理得：， 解得：， 或， ，經(jīng)檢驗：是原方程的根，原方程的根是 (3)原方程組即為，得，解得，把代入，得，原方程組的解是 (4)把方程代入方程，并整理得：，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；原方程組的解是，【說明】(1)解分式方程的關(guān)鍵在于確定最簡公分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由于可能產(chǎn)生增根，所以必須檢驗；(2)在解方程(組)時，若能先觀察方程(組)的結(jié)構(gòu)特征，運用整體代入、換元等數(shù)學(xué)思想方法可以使解題簡便例

16、2已知關(guān)于的方程的一個根是，求的值，方程是否還有其它根？【分析】根據(jù)方程的根的含義，把代入方程求出的值，由于沒有明確方程的類型，要對其分兩種情況進行討論【解】根據(jù)方程根的含義，將代入原方程，得，整理得：，解得：，(1)當(dāng)時，原方程是一元一次方程：，只有一個根；(2)當(dāng)時，原方程是一元二次方程：，易求得另一個根是【說明】本題考查方程的解的含義和對含有字母系數(shù)的方程進行分類討論例3已知關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根和，(1)求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，求的值【分析】(1)一元二次方程根的情況由來決定，方程有兩個實數(shù)根，則，注意；(2)由已知條件通過平方差公式可以得到關(guān)于兩根的等式：，從而進一步利

17、用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于字母的方程求解【解】(1)由題意，整理得：，解得，該方程是一元二次方程，實數(shù)的取值范圍是且(2)由得，若，即，解得，不合題意，舍去；若，即，由(1)知故當(dāng)時，【說明】本題考查一元二次方程的根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意建立關(guān)于的方程或不等式，解題后對于的取值要尤其注意檢查是否保證二次項系數(shù)不為零、等相關(guān)的條件例4某省2006年至2007年茶葉種植面積與產(chǎn)茶面積情況如表所示，表格中的、分別為2006年和2007年全省茶葉種植面積：年份種植面積(萬畝)產(chǎn)茶面積(萬畝)2006年 2007年合計500400其中2006年產(chǎn)茶面積占當(dāng)年種植面積的75%，

18、2007年未產(chǎn)茶面積占當(dāng)年種植面積的，(1)請求出表格中、的值，并填寫表格中兩處空白；(2)在2006年全省種植的產(chǎn)茶面積中，若平均每畝產(chǎn)茶60千克，為使我省2008年全省茶葉種植產(chǎn)茶總產(chǎn)量達到18萬噸，求2006年至2008年全省年產(chǎn)茶總產(chǎn)量的平均增長率(精確到0.1%)(說明：茶葉種植面積產(chǎn)茶面積未產(chǎn)茶面積；)【分析】 (1)通過閱讀，理解茶葉種植面積，產(chǎn)茶面積，未產(chǎn)茶面積之間的數(shù)量關(guān)系，從而列出相應(yīng)的方程(組)；(2)利用通用的百分數(shù)增長率公式【解】(1)由題意可列方程組：，解這個方程組，得：，表格中兩空白處分別填寫：150，250(2)2006年全省茶葉種植產(chǎn)茶總產(chǎn)量達到=9萬噸，設(shè)2

19、006年至2008年全省年產(chǎn)茶總產(chǎn)量的平均增長率為,則可列方程得：，解這個方程得：，(不合題意，舍去)，答：2006年至2008年全省年產(chǎn)茶總產(chǎn)量的平均增長率為【說明】本題考查能否根據(jù)題目中表格提供的信息建立方程組模型，要求能正確分析所給信息，列出方程(組)求解，解決一些簡單的實際應(yīng)用問題，能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結(jié)果是否合理 例5某商場將進貨價為30元的書包以40元售出，平均每月能售出600個調(diào)查表明：這種書包的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個(1)為了實現(xiàn)平均每月10 000元的銷售利潤，這種書包的售價應(yīng)定為多少元？(2)10 000元的利潤是否為最大利潤？如果是，請說明理由；

20、如果不是，請求出最大利潤，并指出此時書包的售價應(yīng)定為多少元？(3)請分析并回答售價在什么范圍內(nèi)商家就可獲得利潤？【分析】(1)根據(jù)利潤=銷售額成本額的等量關(guān)系建立方程；(2)利用配方法求出表示利潤的代數(shù)式的最大值；(3)由函數(shù)的性質(zhì)判斷何時獲利【解】(1)設(shè)每個書包漲價元，則書包售價為元，書包銷售量為個，由題意得，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，都符合題意答：每個書包售價為50元或80元；(2)10 000元不是最大利潤，設(shè)每個書包漲價元，利潤為元，則，當(dāng)時，當(dāng)每個書包售價為65元時，獲得最大利潤為12 250元(3)在中，令，得：， 解得，故拋物線與軸交于(10，0)，(60，0)，由圖象知當(dāng)，即當(dāng)售

21、價在大于30元且小于100元時均獲利潤【說明】本題考查利用等量關(guān)系建立一元二次方程以及用配方法求代數(shù)式的最值對于方程的解要根據(jù)具體問題檢驗是否合理；在配方時注意不能改變代數(shù)式的值，二次項系數(shù)只能提取而不能約去；抓住一元二次方程與二次函數(shù)間的關(guān)系，運用數(shù)形結(jié)合的思想，化難為易 例6 已知：如圖，在中，且，是方程的兩根，當(dāng)時，(1)求，的值；(2)若 和完全重合，當(dāng)固定不動時將沿CB所在直線向左以的速度移動，設(shè)移動秒后與的重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；幾秒鐘后兩個三角形重疊部分的面積等于？【分析】(1)由直角三角形勾股定理可以得到關(guān)于兩根的等式：，從而進一步利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

22、將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于字母的方程求解；(2)利用相似三角形的面積比比等于相似比的平方表示兩三角形重疊部分的面積【解】(1)由題意：，即，解得：，又當(dāng)時，不合題意，舍去當(dāng)時，原方程為，解得：，且，故，(2)設(shè)交于， ， ，AAPCCBB圖3-1，即，其中若，則 ，不合題意，只能取，3秒鐘后，兩個三角形重疊部分的面積等于【說明】(1)本題結(jié)合幾何知識考查一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)題意建立關(guān)于m的方程，解題后對于m的取值要尤其注意檢查是否保證二次項系數(shù)不為零、0和是否符合相關(guān)幾何圖形的條件；(2)本題借助圖形的運動，把一元二次方程與二次函數(shù)，相似三角形有機融合起來，具有較強的綜合性【復(fù)習(xí)建議】1正確理

23、解課標(biāo)要求，通過復(fù)習(xí)使學(xué)生進一步理解和掌握解方程(組)的基本思想和方法，提高基本運算能力解方程(組)主要采用加減消元法、代入消元法、因式分解法、公式法、去分母法等；對于特殊形式的方程(組)可采用整體代入、換元法等特殊的方法求解見例12列方程(組)解應(yīng)用題的關(guān)鍵是如何找到能夠表示題目全部含義的相等關(guān)系，考查學(xué)生收集和處理信息的能力、分析問題、解決實際問題的能力在復(fù)習(xí)時要注意聯(lián)系社會關(guān)注的熱點問題的應(yīng)用題，重視情境問題的分析，提高學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力見例4、例53加強方程(組)、不等式、函數(shù)和幾何知識的綜合運用訓(xùn)練，做到有關(guān)知識點的相互聯(lián)系和融會貫通見例5、例6

24、4復(fù)習(xí)中要注重滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化，分類討論等數(shù)學(xué)思想和方法，使學(xué)生在解題中體會其重要作用見例1(2)、例2、例3、例55根據(jù)實際情況，對課標(biāo)以外的內(nèi)容作適當(dāng)?shù)难a充和加強見例1(4)、例3四、不等式(組)及其應(yīng)用例1 解不等式組 并將解集在數(shù)軸上表示出來【分析】解一元一次不等式組要先分別求出每個不等式的解集，再找出它們的公共部分不等式中，當(dāng)系數(shù)化為1時要注意不等號方向要改變；不等式中，去分母時要注意每一項都要乘以6，不要漏乘【解】解不等式，得解不等式，得在同一條數(shù)軸上表示不等式的解集，如圖4-1：圖4-1所以，不等式組的解集是【說明】解不等式組的關(guān)鍵是確定兩個不等式解集的公共部分，為此要引導(dǎo)學(xué)生

25、重視數(shù)軸的作用，加強數(shù)形結(jié)合思想的滲透例2 關(guān)于x的不等式2xa1的解集如圖4-2所示，則a的取值是（ ）。A0B3C2D1圖4-2【分析】先解關(guān)于x的不等式得，再由數(shù)軸得不等式的解集為x1， 所以1，解得a1【解】選D【說明】轉(zhuǎn)化思想結(jié)合圖中提供的不等式解集和求得的解集得出方程1，最終求得a的值例3 已知關(guān)于x的不等式組 無解，求a的取值范圍【分析】不等式組無解，說明兩個不等式的解集沒有公共部分，結(jié)合數(shù)軸(或由口訣“大大小小題無解” )可知a，注意a可以等于a圖4-3【解】解不等式，得它在數(shù)軸上的表示如圖：圖4-4解不等式，得它在數(shù)軸上的表示如圖：不等式組無解， a. 【說明】不等式組的解集

26、問題最好結(jié)合數(shù)軸來解決，還要注意解集的端點處能否取等號例4 已知函數(shù)y13x+1和y2-0.5x+1的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：圖4-5(1)寫出不等式3x+10的解集；(2)寫出不等式3x+1-0.5x+1的解集寫出不等式組 的解集【分析】(1)不等式3x+10的解集就是直線y13x+1在x軸上方部分的圖像所對應(yīng)的自變量的取值范圍；(2)不等式3x+1-0.5x+1的解集就是直線y13x+1在直線y2-0.5x+1的下方部分的圖像所對應(yīng)的自變量的取值范圍；不等式組的解集就是直線y13x+1和y2-0.5x+1同時都在x軸上方部分的圖像所對應(yīng)的自變量的取值范圍【解】(1) ； (2)

27、 x0 ； 【說明】本題主要考查一元一次不等式(組)與一次函數(shù)之間的關(guān)系，利用一次函數(shù)的圖像可求不等式(組)的解集，這是數(shù)形結(jié)合思想的重要運用例5 近兩年某地經(jīng)濟發(fā)展迅速，一些著名跨國公司紛紛落戶該地新區(qū)，對各類人才需求不斷增加，現(xiàn)一公司面向社會招聘人員，其信息如下：信息一：招聘對象：機械制造類和規(guī)劃設(shè)計類人員共150名信息二：工資待遇： 機械制造類人員工資為600元/月，規(guī)劃設(shè)計類人員工資為1 000元/月設(shè)該公司招聘機械制造類和規(guī)劃設(shè)計類人員分別為x人、y人(1)用含x的代數(shù)式表示y；(2)若公司每月給所招聘人員的工資共為p元，要使本次招聘規(guī)劃設(shè)計人員不少于機械制造人員的2倍，求p的取值范

28、圍【分析】(1)用含x的代數(shù)式表示y，就是要找出x與y的關(guān)系，本題由兩類人員共150名，可得x+y=150；(2) p為兩類人員1個月的工資總和，p=600x+1 000y，又y=150-x，所以若想求p的取值范圍，只需求出自變量x的范圍實際問題中涉及到的未知數(shù)的取值范圍，除了要滿足題目中的條件外，還要注意題目中的隱含條件，例如此題中人數(shù)不能小于0【解】(1) y=150-x(2) 根據(jù)題意，得 y2x， 150-x2x. 解得：x50 又x0， 150-x0, 0x50 p=600x+1 000（150-x）= -400x+150 000 ,解法一： 0 50， 解得：130 000p150

29、 000解法二：又p隨x的增大而減小，并且0x50，-400×50+150 000p-400×0+150 000， 即130 000p150 000【說明】本題是不等式的簡單應(yīng)用問題，解決應(yīng)用問題的關(guān)鍵是抓住等量關(guān)系或不等關(guān)系 教學(xué)時教師要注重培養(yǎng)學(xué)生多角度地分析問題和解決問題例6 在“512汶川大地震”災(zāi)民安置工作中，某企業(yè)主動承擔(dān)了一批生產(chǎn)甲種板材24000 和乙種板材12000的任務(wù)(1)已知該企業(yè)安排140人生產(chǎn)這兩種板材，每人每天能生產(chǎn)甲種板材30 或乙種板材20問：應(yīng)分別安排多少人生產(chǎn)甲種板材和乙種板材，才能確保他們用相同的時間完成各自的生產(chǎn)任務(wù)？(2）某災(zāi)民安

30、置點計劃用該企業(yè)生產(chǎn)的這批板材搭建兩種型號的板房共400間，在搭建過程中，按實際需要調(diào)運這兩種板材已知建一間型板房和一間型板房所需板材及能安置的人數(shù)如下表所示：板房型號甲種板材乙種板材安置人數(shù)型板房54265型板房78418問：這400間板房最多能安置多少災(zāi)民？【分析】要引導(dǎo)學(xué)生認真閱讀、仔細審題，找準(zhǔn)等量關(guān)系或不等量關(guān)系（1）中相等關(guān)系是他們完成各自的生產(chǎn)任務(wù)的時間相同；（2）本題沒有明顯的不等關(guān)系的條件，因此很容易誤認為是利用二元一次方程組來解由于題目中并沒有交代兩種板材必須全部用完，因此只要所用的甲、乙板材不超過任務(wù),即400間A、B型板房所用的甲種板材不超過24000，乙種板材不超過1

31、2000，這就是本題條件所隱含的兩個不等關(guān)系，列出不等式組，根據(jù)不等式組即可求出的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)增減性求出安置災(zāi)民的取大值.【解】（1）設(shè)安排人生產(chǎn)甲種板材，則生產(chǎn)乙種板材的人數(shù)為人由題意，得，解得：經(jīng)檢驗，是方程的根，且符合題意140x60.答：應(yīng)安排80人生產(chǎn)甲種板材，60人生產(chǎn)乙種板材（2）設(shè)建造型板房間，則建造型板房為間，由題意有：解得又，這400間板房可安置災(zāi)民-30，隨著m的增大而減小當(dāng)時，取得最大值2300名答：這400間板房最多能安置災(zāi)民2300名【說明】本題主要考查學(xué)生的閱讀能力和數(shù)據(jù)處理能力培養(yǎng)學(xué)生善于從文字和圖表中獲取有效信息，構(gòu)建不等式（組）模型解決實際問題的能力

32、【復(fù)習(xí)建議】1引導(dǎo)學(xué)生回顧不等式（組）中的基礎(chǔ)知識、基本技能，掌握重點、突破難點、注意易錯點；使學(xué)生經(jīng)歷建立知識體系的過程，感悟不等式（組）與方程、函數(shù)等的聯(lián)系2復(fù)習(xí)時，要注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透、提煉和升華例如：解一元一次不等式的過程與解一元一次方程類似，在滲透類比、化歸思想的同時還要注意不等式性質(zhì)3的應(yīng)用，注意不變中有變，靜中有動的變化思想；見例1、例3解不等式組時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成結(jié)合數(shù)軸求解集的習(xí)慣；見例1、例2、例3、例4處理不等式與方程、函數(shù)的綜合性問題時，還要注意方程思想、函數(shù)思想的滲透等見例2、例4、例5、例63不等式的知識源于生活實際，復(fù)習(xí)時要結(jié)合實際情況，

33、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析現(xiàn)實世界中量與量的不等關(guān)系，并列出不等式，應(yīng)用所學(xué)知識來解決實際問題培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識與解決問題的能力，并增進學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解與認識，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的應(yīng)用價值見例5、例6五、函數(shù)及其應(yīng)用BO3560x(km)y(升)例1 某摩托車的油箱最多可存油5升，行駛時油箱內(nèi)的余油量y(升)與行駛的路程x (km)成一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖(1) 求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2) 摩托車加滿油到用完油，最多能行駛多少km？【分析】本題的消息是通過函數(shù)的圖象給出的，由函數(shù)圖象可以知道，當(dāng)x0時，y5；當(dāng)x60時，y3，所以就可以求出該一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；再令y0，就可以解答第(2)小題【解】(1

34、) 設(shè)一次函數(shù)的解析式為ykxb (k0)由圖象可知，該函數(shù)的圖象過A(0，5)，B(60，3)兩點，可得解之得所以所求的一次函數(shù)解析式為y x5(2) 當(dāng)油余量y0時，行程最遠，由 x50，解之得x150 km所以摩托車加滿油最多能行駛150 km【說明】本題是函數(shù)知識在物理學(xué)中的應(yīng)用，要求學(xué)生結(jié)合圖象理解題意，教師要加強基本知識的復(fù)習(xí)，同時要重視學(xué)科間知識、方法的滲透, 用數(shù)學(xué)的視角來加強相關(guān)知識的學(xué)習(xí)與鞏固xO1-12例2 如圖，二次函數(shù)yax2bxc的圖象開口向上，圖象經(jīng)過點(1，2)和(1，0)，且與軸相交于負半軸給出四個結(jié)論：(1) abc0；(2) 2ab0；(3) ac1；(4

35、) a1其中正確結(jié)論的序號是_【分析】利用圖象的位置可判斷a，b，c的符號，結(jié)合圖象對稱軸的位置，經(jīng)過的點可推斷出正確結(jié)論.【解】由圖象可知：a0，b0，c0， abc0； 對稱軸x在(1，0)的左側(cè)， 1， 2ab0； 圖象經(jīng)過點(1，2)和點(1，0)， ac1，b1； a1c1 正確的序號為：(2)(3)(4)【說明】本例是一道純函數(shù)知識的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的解析式y(tǒng)ax2bxc中a，b，c，對稱軸x的位置與二次函數(shù)的圖象的關(guān)系通常能夠利用函數(shù)的圖象確定符號的有：a，b，c，b24ac，abc，abc，2ab等教師在復(fù)習(xí)時要加強這一方面的訓(xùn)練例3 試求方程x23x2的實數(shù)根的個數(shù)

36、O y x【分析】這是一個分式方程，去分母得x33x22x1結(jié)果所得方程為一元高次方程，求解這個一元高次方程有一定的困難，而且本題又不需要求出方程的根，而是只要求出實數(shù)根的個數(shù)所以聯(lián)想到等號的左邊和右邊，可以得到兩個函數(shù)，分別是二次函數(shù)y1x23x2和反比例函數(shù)y2于是求方程的實數(shù)根的個數(shù)的問題就轉(zhuǎn)化為求y1和y2的圖象交點的個數(shù)這樣就可以利用函數(shù)圖象來解決【解】設(shè)y1x23x2，y2在統(tǒng)一坐標(biāo)系中畫出它們的圖象(如圖)，從圖象可知y1和y2有三個交點所以方程x23x2一共有三個實數(shù)根【說明】函數(shù)圖象的優(yōu)點是直觀，缺點是精確度較差利用它的優(yōu)勢解決問題就是發(fā)揮它的優(yōu)勢本題是這一應(yīng)用的典型例子，在

37、復(fù)習(xí)時要注意充分發(fā)揮優(yōu)勢解決問題例4 本市的某房地產(chǎn)開發(fā)公司計劃建A，B兩種戶型的住房共80套，該公司所籌資金不少于2 090萬元，但不超過2 096萬元，且所籌資金全部用于建房，兩種戶型的建房成本和售價如下表：AB成本（萬元/套）2528售價（萬元/套）3034(1) 該公司對這兩種戶型住房有哪幾種建房方案？(2) 該公司如何建房獲得利潤最大？(3) 根據(jù)市場調(diào)查，每套B型住房的售價不會改變，每套A型住房的售價將會提高a萬元(a0)，且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤最大？注：利潤售價成本【分析】由于所籌資金在2 090萬元至2 096萬元之間，所以第(1)小題可以由不等

38、式解決；第(2)小題則是在第(1)小題的基礎(chǔ)上，通過建立函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍求出利潤的最大值；至于第(3)小題則是將第(2)小題更加一般化，再運用分類討論進行解答【解】(1) 設(shè)A種戶型的住房建x套，則B種戶型的住房建(80x)套由題意知2 09025x28(80x)2 096解之得48x50 x取非負整數(shù)， x為48，49，50有三種建房方案：方案一方案二方案三A型房(套)484950B型房(套)323130(2) 設(shè)該公司建房獲得利潤w (萬元)由題意知w5x6(80x)480x x48時，w最大432 (萬元)即A型48套，B型32套時利潤最大(3) 由題意知w(5a)x6(80

39、x)480(a1)x 當(dāng)0a1時，x48，w最大，即建A型房48套，B型房32套當(dāng)a1時，a10，三種建房方案獲得利潤相等當(dāng)a1時，x50，w最大，即建A型住房50套，B型住房30套【說明】不等式(組)與函數(shù)向結(jié)合，是函數(shù)應(yīng)用的重要方面函數(shù)值的最大(小)值一般都是在二次函數(shù)中解決的，但是當(dāng)函數(shù)與不等式(組)相結(jié)合之后，就能夠使得一次函數(shù)也可以具有最大(小)值了所以復(fù)習(xí)這一部分內(nèi)容時要注意題目類型的多樣化例5 已知拋物線yx2(2n1)xn21 (n為常數(shù))(1) 當(dāng)拋物線過坐標(biāo)原點，且頂點在第四象限時，求出它所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2) 設(shè)點A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方，且在對稱軸左側(cè)

40、的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作ABx軸于B，DCx軸于C 當(dāng)BC1時，求矩形ABCD的周長； 試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由【分析】本題考察二次函數(shù)以及圖象的各種性質(zhì)，包括頂點、對稱軸、增減性、最值等拋物線yax2bxc經(jīng)過原點，則c0于是可得n210；對于第(2)小題，則可以按照題目的要求按部就班地逐一解決【解】(1) 由已知條件，得n210解之得n11，n21當(dāng)n1時，得yx2x，此拋物線的頂點不在第四象限；當(dāng)n1時，得yx23x，此拋物線的頂點在第四象限； 所求的函數(shù)關(guān)系式為yx23

41、x(2) 由yx23x，令y0，得x23x0解得x10，x23 拋物線與x軸另一交點為(3，0)頂點為(，)，對稱軸直線x BC1，根據(jù)對稱性可知OB×(31)1， B(1，0) 點A的橫坐標(biāo)x1，又點A在拋物線yx23x上， 點A的縱坐標(biāo)y123×12 AB| y |2 矩形ABCD的周長為2(ABBC)6 點A在拋物線yx23x上，可以設(shè)A點的坐標(biāo)為(x，x23x) B點的坐標(biāo)為(x，0) (00) BC32x A在x軸的下方， x23x0 AB| x23x |3xx2 矩形ABCD的周長P2(3xx2)(32x)2(x)2 a20， 當(dāng)x時，矩形ABCD的周長P取得最

42、大值是PODCBAxy【說明】函數(shù)(特別是二次函數(shù))的圖象及其性質(zhì)是函數(shù)應(yīng)用的保證，需要每一位同學(xué)能夠牢固、扎實地掌握，千萬不可以輕視例6如圖，已知C，D是雙曲線y在第一象限分支上的兩點，直線CD分別交x軸，y軸于A，B兩點設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，連結(jié)OC，OD (O是坐標(biāo)原點)，若BOCAODa，且tan a，OC(1) 求C，D的坐標(biāo)和m的值；(2) 雙曲線上是否存在一點P，使得POC和POD的面積相等？若存在，給出證明，若不存在，說明理由【分析】由于目前正切函數(shù)是在直角三角形中的，所以就需要通過添加垂線構(gòu)筑直角三角形于是過點C作CGx軸于G，在RtOCG中，運用正切和勾股定

43、理解決問題PODCBAxyGH【解】(1) 過點C作CGx軸于G，則CGy1，OGx1，在RtOCG中，GCOBOCa， tan ， 即y13x1又 OC， x12y1210，即x12(3x1)210解之得x11或x11(舍去) x11，y13 C(1，3)又點C在雙曲線上，可得m3過點D作DHy軸于H，那么DHy2，OHx2在RtODH中，tan a， 即y23x2又 x2·y23解之得y21或y21(舍去) x23，y21 D(3，1)(2) 雙曲線上存在P，使得SPOCSPOD該點就是COD的平分線與雙曲線y交點 點D(3，1)， OD， ODOC又 點P在COD的平分線上，

44、COPPOD又OPOP， POCPOD， SPOCSPOD【說明】反比例函數(shù)y (k0)中，kxy，所以利用反比例函數(shù)圖象一個點的坐標(biāo)就能夠求出k的值等式的各種快速變形，是一種技能，復(fù)習(xí)時可以要求學(xué)生了解例7 已知拋物線y(k1)x2(24k)x14k經(jīng)過點A(4，0)(1) 試確定拋物線的解析式及頂點B的坐標(biāo)；(2) 在y軸上確定一點P，使線段APBP最短，求出P點的坐標(biāo)；(3) 設(shè)M為線段AP的中點，試判斷點B與以AP為直徑的M的位置關(guān)系，并說明理由【分析】要使線段APBP最短，那就可利用軸對稱性，先在坐標(biāo)系中作出點P的位置，然后再利用一次函數(shù)的解析式求出點P的坐標(biāo)；而點B與M的位置只要判

45、斷MB與AP的大小關(guān)系即可【解】(1) 拋物線y(k1)x2(24k)x14k經(jīng)過點A(4，0)， 016(k1)4(24k)x14k k yx23x yx23x(x24x)(x24x44)(x2)23 頂點B的坐標(biāo)為(2，3)(2) 點A(4，0)關(guān)于y軸對稱點為C(4，0)則直線BC與y軸交點就是P設(shè)直線BC為ykxb，由直線經(jīng)過點B(2，3)，C(4，0)，得解之得 直線BC的解析式為yx2當(dāng)x0時，y×022， P的坐標(biāo)為(0，2)yxBMOEAPx(3) 過點B作BEOA于點E，則BEOP由拋物線對稱性可知，點E為OA中點在OAP中，OEAE，BEOP， 直線BE與AP交點

46、就是AP中點M EM為OAP的中位線 EM1 MBBEEM2在RtOAP中，OP2，OA4， AP2 M的半徑R顯然，2 點B在M的內(nèi)部【說明】將函數(shù)與軸對稱相結(jié)合、函數(shù)與圓相結(jié)合，都是中考試題中綜合題的常見類型實際上，函數(shù)可以和很多其它內(nèi)容相結(jié)合多關(guān)注、多研究函數(shù)與其它內(nèi)容相結(jié)合的題目，有助于提高考試的應(yīng)對能力【復(fù)習(xí)建議】1首先要使得學(xué)生建立起“數(shù)形結(jié)合”和“動態(tài)觀念”的思想，用“數(shù)”去展示“形”；反過來，用“形”去想象“數(shù)”；用“運動”的思想來研究函數(shù)2立足于教材，打扎實基礎(chǔ)，可以通過復(fù)習(xí)，熟練掌握有關(guān)函數(shù)的基本知識、基本方法和基本技能3重視問題情境的創(chuàng)設(shè)和實際問題的解決，強化函數(shù)思想方法

47、的滲透、總結(jié)和升華增強學(xué)生自覺運用函數(shù)模型解決現(xiàn)實生活中數(shù)學(xué)問題的意識和能力4要充分利用函數(shù)圖象的直觀性，讓學(xué)生熟練掌握閱讀函數(shù)圖象，并能夠利用它解決實際問題5加強函數(shù)知識與方程(組)、不等式(組)、幾何等知識的聯(lián)系，提高學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識的水平，促進學(xué)生更快、更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)6重視學(xué)科間知識、方法的滲透，復(fù)習(xí)中可綜合物理、化學(xué)等學(xué)科相關(guān)知識及其特點，用數(shù)學(xué)的視角來加強相關(guān)知識的學(xué)習(xí)與鞏固六、圖形與圖形的變換圖6-1例1如圖6-1，已知：(1)若將向右平移2個單位得到，則點的對應(yīng)點的坐標(biāo)是_；(2)若將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到A1B1C1，則A點對應(yīng)點A1的坐標(biāo)是_【

48、分析】這是一個平移、旋轉(zhuǎn)變化與坐標(biāo)結(jié)合的題目，重點考察學(xué)生的動手操作能力和坐標(biāo)的知識【解】略例2正方形綠化場地擬種植兩種不同顏色的花卉，要求種植的花卉能組成軸對稱或中心對稱圖案如圖6-2中有三種不同設(shè)計方案中的一部分，請把圖6-2中的圖、圖補成既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，并畫出一條對稱軸；把圖補成只是中心對稱圖形，并把中心標(biāo)上字母P(在你所設(shè)計的圖案中用陰影部分和非陰影部分表示兩種不同顏色的花卉)圖6-2圖圖圖【分析】可先確定好對稱軸和對稱中心來作圖.圖6-2【解】如圖所示【說明】本題考察學(xué)生運用軸對稱、旋轉(zhuǎn)的組合進行圖案設(shè)計的能力也讓學(xué)生感悟?qū)ΨQ的美.這是中考一種新題型，在復(fù)習(xí)中應(yīng)引起

49、重視例3如圖6-3是由兩塊全等的含30°角的直角三角板擺放而成，斜邊AC10(1)若將ADE沿直線AE翻折到如圖6-4的位置，ED¢與BC交于點F，求證：CFEF；(2)求EF的長；(3)將圖6-4中的AD¢E沿直線AE向右平移到圖6-5的位置，使D¢點落在BC上，求出平移的距離.圖6-4圖6-5圖6-3【分析】ADE沿直線AE翻折后與原三角形全等，很容易就發(fā)現(xiàn)EBF與CBA，而要求出平移的距離就必須找到一組對應(yīng)點.只要求出D¢D”或AA¢即可?！窘狻?1)，又 90°，EBF， CFEF，(2)90°，CC CB

50、A，(3)連結(jié)D¢D” CD¢，D¢D”AB ， CD” BD”AA¢ D¢D” 平移距離是【說明】第(1)(2)小題要讓學(xué)生觀察出圖形之間的全等和相似的關(guān)系，特別注意雙垂直基本圖形的存在，第(3)小題巧妙的運用了30度角所對的直角邊等于斜邊的一半這一知識點，再利用平移的性質(zhì)構(gòu)造了A型基本圖形，建議大家復(fù)習(xí)時注意一些常用的基本圖形.在解題的過程中關(guān)鍵是要看清圖形，屬于基本圖形，學(xué)生就比較容易掌握另本題創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是目前考題的一個熱點，大家在復(fù)習(xí)時要多關(guān)注例4 如圖6-6，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l是第一、三象限的角平分線(1)實驗與探究

51、：圖6-6由圖觀察易知A(0，2)關(guān)于直線l的對稱點的坐標(biāo)為(2，0)，請在圖中分別標(biāo)明B(5,3) 、C(-2,5) 關(guān)于直線l的對稱點、的位置，并寫出他們的坐標(biāo): ；(2)歸納與發(fā)現(xiàn)：結(jié)合圖形觀察以上三組點的坐標(biāo)，你會發(fā)現(xiàn)：坐標(biāo)平面內(nèi)任一點P(a,b)關(guān)于第一、三象限的角平分線l的對稱點的坐標(biāo)為 (不必證明)；(3)運用與拓廣：已知兩點D(1,-3)、E(-1,-4)，試在直線l上確定一點Q，使點Q到D，E兩點的距離之和最小，并求出Q點坐標(biāo)【分析】第(1)(2)小題學(xué)生可根據(jù)網(wǎng)格找到相關(guān)的對稱點，觀察橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。第(3)小題是軸對稱性質(zhì)的經(jīng)典運用【解】(1)如圖6-7：，；(2) (b，a) ；圖6-7(3)由(2)得，D(1,-3) 關(guān)于直線l的對稱點的坐標(biāo)為(-3,1)，連接E交直線l于點Q，此時點Q到D、E兩點的距離之和最小.設(shè)過(-3,1) 、E(-1,-4)的設(shè)直線的解析式為，則 由 得所求Q點的坐標(biāo)為(，) 【說明】本題突出了問題的探究性，讓學(xué)生自主探究也是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的，我們教師平時要加強這