2016年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理)(北京卷)第I部分(選擇題共 40 分)、選擇題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.(1)已知集合A x|x| 2，B1,0,2,3，貝 UAI B()(A)0,1(B)0,1,2(C)1,0，(D)1,0,22x y0,(2)若 x, y 滿足x y0,(A)0(B)3(C)4(D)5(3) 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的 a 值為 1,則輸出的k值為()(A) 1( B) 2(C) 3(D) 4(4)設(shè) a，b 是向量貝廠|a| |b|” 是 “|a b| |a b|” 的(A)充分

2、而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件(5) 已知 x，y R，且 x y 0，則()1 1(A)丄丄0(B)x y1xsin x sin y 0(C)-2(6)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(6(B)3(C)(D) 1俯視圖(D)ln x In y 01側(cè)(左)視圖P(,t)向左平移s(s 0)個單位長度得到點P.若P位于函4數(shù)y sin2x的圖象上，貝U(8)袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就 放入丙盒重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則(A )乙盒中黑

3、球不多于丙盒中黑球(B)乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多第U部分(非選擇題共 110 分)、填空題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.設(shè) aR，若復(fù)數(shù)(1 i)(a i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于實軸上，則a|AB|0,b 0的漸近線為正方形OABC的邊OA , OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點若正方形OABC的邊長為2，則 a3(14) 設(shè)函數(shù) f(x)x 3x,xy x, x a.若a 0，則f (x)的最大值為若f(x)無最大值，則實數(shù) a 的取值范圍是(7)將函數(shù)y sin(2x -)圖象上的點31(A)t-，s的最小值為(B)專，s的最小值為-1(C)t-，s的最小值為(D)黑球

4、各占一半甲、乙、丙是三個空盒，每次從袋中任(C)乙盒中紅球不多于丙盒中紅球(D)乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多(10)在(1 2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為(用數(shù)字作答)(11) 在極坐標(biāo)系中，直線cossin 1 0與圓2cos交于A, B兩點，則(9)(已知an為等差數(shù)列,Sn為其前 n 項和.若a16，a30，則a3(13)三、解答題共 6 小題，共 80 分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程（15）（本小題 13 分）在ABC中，a2c2b2, 2ac.（）求B的大小；（）求 i2 cos A cosC的最大值.（16）（本小題 13 分）A ,B ,C 三個班共有 100 名學(xué)

5、生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生 一周的鍛煉時間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時）：A 組66.577.58B 組6789101112C 組34.567.5910.51213.5（）試估計 C 班的學(xué)生人數(shù)；（）從 A 班和 C 班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一人，A 班選出的人記為甲，C 班選出的人記 為乙，假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨立， 求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率；（）再從 A ,B ,C 三個班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們該周的鍛煉時間分別是 7, 9, 8.25 （單 位：小時）.這 3 個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為

6、0，試判斷0和1的大小.（結(jié)論不要求證明）(17)(本小題 14 分)如圖，在四棱錐P ABCD中，平面PAD平面ABCD,PA PD,PA PD,ABAD,AB 1,AD2,AC CD、5.（）求證：PD平面PAB;（）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（）在棱PA上是否存在點M，使得BM/平面PCD?若存 在，求如的值；若不存在，說明理由.AP(18)(本小題 13 分)設(shè)函數(shù)f(x) xea xbx，曲線y f(x)在點(2, f (2)處的切線方程為y (e 1)x 4.()求 a, b 的值；()求f(x)的單調(diào)區(qū)間.(19)(本小題 14 分)223已知橢圓C:篤 當(dāng)1(a b

7、 0)的離心率為 ,A(a,O),B(0, b) ,0(0,0),OAB的面積為1.a b2()求橢圓C的方程；(U)設(shè)P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點 N.求證：|AN|BM|為定值.(20)(本小題 13 分)設(shè)數(shù)列A:a1,a2, ,aN(N2).如果對小于n (2nN)的每個正整數(shù)k都有aka.，則稱 n 是 數(shù)列 A 的一個“G時刻”.記G(A)是數(shù)列 A 的所有“G時刻”組成的集合.()對數(shù)列 A: 2, 2, 1,1,3，寫出G(A)的所有元素；()證明：若數(shù)列 A 中存在 an使得a.a1，則G(A);()證明：若數(shù)列 A 滿足a.a. 11時，f

8、 X 有最大值 f 12 ；所以,BCA3 0，得x 1，如下圖，是 f【解析】由 x33xx 的兩個函數(shù)在沒有限制條件2x在 xa 時無x33xmax2x15.2 2 . 2 【解析】/ac b . 2ac二 a2c2b2. 2ac- cosB2 2 . 2a c b2ac22ac2ac2Bn4A BCn- AC3n4.2 cosA cosC2 cos A ( cos A)2sin A2 22cosA2si nA sin(An)224/A C3n43A(0,4nn , n、-A(, n44 sin(A *最大值為 14上式最大值為 116.【解析】 10040 , C 班學(xué)生 40 人20在

9、 A 班中取到每個人的概率相同均為-5設(shè)A班中取到第i個人事件為A,i 1,2,3,4,5C 班中取到第j個人事件為 Cj, j1,2,3,4,5,6,7,8A班中取到 ACj的概率為 1P所求事件為D111 11則 P(D)-P-P2-P3-F4-P5555551 2 131313145858 585 85 8381 0但1中多加的三個數(shù)據(jù) 7,9,8.25,平均值為 8.08，比。小, 故拉低了平均值17.【解析】面PAD I面 ABCD AD三組平均數(shù)分別為7,9,8.25,總均值08.2面PAD面 ABCD AB AD,AB面 ABCD AB面PAD PD面PAD- AB PD又PD

10、PAPD面PAB取AD中點為 O，連結(jié) CO , PO/ CD AC 5 COAD PA PD POAD以 O 為原點，如圖建系V UJIVn PD 0 v1v luivn ，1,1，貝 UPB與面 PCD 夾角n PC 02uuu r BM n 0即102._ 1=-4AM 1綜上，存在M點，即當(dāng)題丄時，M點即為所求AP 418.【解析】(I) Q f (x) xea xbx f (x)ea xxea xb (1 x)ea xb曲線 y f (x)在點(2, f (2)處的切線方程為易知 P(0,01) , B(1,10) , D(0, rruuvLUV則 PB (1,1, 1) , PD

11、(0, 1, 設(shè) n為面 PDC 的法向量，令V1,0)，C(2,0,0)，uuv1)，PC (2,0，1)，(xo，y,1)uuvCD(21,0)v uuvsin cos n,PBv uuvn PBv uuvn PB、r AM設(shè)-M 0,y,zAP由（2）知 A0,1,0 , P 0,0,1 ,uuuruu有 AMAPM 0,1,uuuu BM1,5uuuu0, 1,1 , B 1,1,0 , AM0,y 1,zy (e 1)x 4假設(shè)存在M點使得BMII面 PCDuurAPuu BMII面 PCD , n 為 PCD 的法向量 f(2)2(e 1) 4 ,f (2)e 1即 f (2) 2

12、ea 22b2(e1)4f (2)(1 2)ea2be1由解得：a2,be4(II )由(I)可知：f(x) xe2 xex, f (x)(1 x)e2 xe人2 x令 g(x) (1 x)e ,2 x2 x2 x g (x) e (1 x)e (x 2)ex,222,g (x)0g(x)極小值Zg(x)的最小值是 g(2)(1 2)e2 21f (x)的最小值為 f (2)g(2) e e 10即 f (x)0 對 x R 恒成立f (x)在，上單調(diào)遞增，無減區(qū)間19.【解析】由已知，-3, ab 1，又a2b2c2,a 22解得a 2,b1,c. 3.2橢圓的方程為 y21.4方法一：22

13、 y0 x02BM12yoX。2直線PB:yx 1，令y 0,得XNxoX0y 1AN2x0y1ANBM2yx 2x。2y2x 2x02y02y 14設(shè)橢圓上一點P x0, y0，則-0y01.4直線PA:y x 2，令x 0，得yMx。22 2x4y4x0y4x8y約0 x2y22將xy21代入上式得AN BM =44故AN BM為定值.方法二：設(shè)橢圓上一點P 2cos ,sin,BM前C0S11 cossin 1人2cos直線PB：yx 1,令y 0，得xN2cos1 sin2 2 2sin 2cos 2sin cos1 sin cos sin cos4故AN BM為定值.20.【解析】 G A 2,5 因為存在an a，設(shè)數(shù)列A中第一個大于a的項為ak，則ak印a,其中2wiwk 1，所以 kG A , G A.設(shè)A數(shù)列的所有“G時刻”為i1i2Lik,對于第一個“G時刻”i1, 有aia1ai,i2,3,L,i11，則ai1a1wai1a、1w1.對于第二個“G時刻” i2i1有ai2akiSi (i 1,2,L,i21)則 ai2ai1wai2ai21w1.類似的 aic3利w1，aika