面對(duì)高考談高中教材中的“向量”內(nèi)容

1、談高中教材中的“向量”內(nèi)容 鄒瓊艷 一、向量?jī)?nèi)容引入的意義1、從中學(xué)幾何教材的演變看“向量”引入的意義歐幾里得(Euclid約公元前330前295)的幾何原本問世至今已兩千三百年了,幾何原本對(duì)世界幾何教育產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。上世紀(jì)末希爾伯特(Hilbert18621943)發(fā)表幾何基礎(chǔ),建立了完善的歐氏幾何公理體系。但無(wú)論是幾何原本還是幾何基礎(chǔ),都不是為初學(xué)者所寫。勒讓德(Legendre17521833)1794年為學(xué)生寫的新幾何教材廣為流傳(一百多年發(fā)行33版)。在此基礎(chǔ)上各國(guó)編寫了各自的幾何課本。我國(guó)現(xiàn)行中學(xué)幾何教材的基礎(chǔ)是解放初參照前蘇聯(lián)幾何課本和其他幾何課本編寫而成的。四十多年來(lái)雖

2、然經(jīng)過多次修改，但基本上是歐氏幾何傳統(tǒng)內(nèi)容，解題方法主要是歐氏幾何的綜合方法。隨著時(shí)代的變遷，數(shù)學(xué)的方法發(fā)生了變化。因此，傳統(tǒng)的歐氏幾何作為現(xiàn)代中學(xué)的課本顯然是不適宜了，但若把歐氏幾何完全拒之于中學(xué)門外，也是不正確的。如何把歐氏幾何中具有較高教育價(jià)值的部分與現(xiàn)代社會(huì)的需求有機(jī)地結(jié)合而編寫出新的幾何教材是數(shù)學(xué)新教材解決的問題。我國(guó)新大綱中向量的引入，用向量作為工具處理立體幾何問題，正是適應(yīng)這一改革趨勢(shì)的一項(xiàng)重大舉措。初中采用傳統(tǒng)的歐氏幾何方法,有利于繼承歐氏幾何中具有較高教育價(jià)值的部分。如：(1)歐氏幾何的鮮明的幾何直觀與嚴(yán)謹(jǐn)精確的語(yǔ)言的訓(xùn)練；(2)歐氏幾何的綜合方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力的訓(xùn)

3、練。通過初中階段的學(xué)習(xí),基本掌握綜合方法后，在高中立體幾何中便可以從新的高度上用向量的方法去解決問題，同時(shí)利用向量作為工具處理立體幾何問題，也即把空間結(jié)構(gòu)系統(tǒng)代數(shù)化,把空間的研究從“定性”推向到“定量”的深度,有利于學(xué)生克服空間想象力的障礙和空間作圖的困難,既直觀又容易接受。2、從學(xué)生學(xué)習(xí)課程的安排上看高中教材向量引入的意義向量的引入除在立體幾何中產(chǎn)生較大影響外，對(duì)于中學(xué)教材的其它一些內(nèi)容，也可促進(jìn)改善教材結(jié)構(gòu)，優(yōu)化教材內(nèi)容，簡(jiǎn)化解題方法?，F(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材在復(fù)數(shù)的向量表示，復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算中均應(yīng)用了向量,但舊教材復(fù)數(shù)一章中對(duì)向量的介紹很簡(jiǎn)略,新大綱中引入向量后必將深化學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容的理解。高中

4、數(shù)學(xué)中引入向量后，可在三角、解析幾何中應(yīng)用，改善教材結(jié)構(gòu)、簡(jiǎn)化解題方法，也可通過在平面幾何中的應(yīng)用，加深對(duì)向量?jī)?nèi)容的理解。除了上面提及的幾點(diǎn)外，向量在物理學(xué)和力學(xué)中也有許多應(yīng)用。高中物理教材在速度、力的合成與分解等內(nèi)容中應(yīng)用了向量，數(shù)學(xué)新大綱引入向量后學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容既可了解向量的實(shí)際應(yīng)用，又可加深對(duì)該部分內(nèi)容的理解。向量還是學(xué)習(xí)力學(xué),電學(xué)及許多現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的重要工具,在實(shí)際問題中應(yīng)用非常廣泛,高中階段學(xué)習(xí)向量?jī)?nèi)容有利于高中畢業(yè)后直接就業(yè)者在生產(chǎn)實(shí)踐中的應(yīng)用.在高中階段學(xué)習(xí)向量也為升學(xué)者打了基礎(chǔ)，有利于在大學(xué)學(xué)習(xí)“空間解析幾何”，“微分幾何”，“場(chǎng)論”等內(nèi)容,可縮短學(xué)習(xí)周期,有利于他們更好地攀登

5、科學(xué)高峰,在現(xiàn)代化建設(shè)中發(fā)揮骨干作用?？傊?新大綱是面向二十一世紀(jì)的教學(xué)大綱.新大綱在高中數(shù)學(xué)中引入向量具有深遠(yuǎn)的意義,對(duì)培養(yǎng)二十一世紀(jì)的建設(shè)者,進(jìn)行社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè),將發(fā)揮日益重要的作用。二、平面向量中的主要數(shù)學(xué)思想方法：1、數(shù)形結(jié)合的思想方法數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩類基本對(duì)象，它們既有密切了解，又有各自特點(diǎn)。數(shù)形結(jié)合的思想方法，就是充分利用形的直觀性和數(shù)的規(guī)范性，通過數(shù)與形的了解轉(zhuǎn)化來(lái)研究數(shù)學(xué)對(duì)象和解決數(shù)學(xué)問題。由于向量本身具有代數(shù)形式（有序?qū)崝?shù)對(duì)表示）與幾何形式（有向線段表示）的雙重特點(diǎn)，所以在向量知識(shí)的整個(gè)學(xué)習(xí)過程中都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法。因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)注意結(jié)合教材內(nèi)容之特點(diǎn)

6、，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生捕捉知識(shí)與問題中的數(shù)形信息，揭示數(shù)與形的內(nèi)在了解與轉(zhuǎn)換方法，幫助學(xué)生養(yǎng)成遇數(shù)思形，以形助教的良好思維習(xí)慣，從而加深理解知識(shí)要點(diǎn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)。2、平移變換的思想方法平移變換是研究函數(shù)圖像或幾何圖形的一種重要的思想方法。通過適當(dāng)平移可使較復(fù)雜的函數(shù)解析式得到簡(jiǎn)化或某些幾何圖形中的隱蔽關(guān)系更趨明朗。教學(xué)中適時(shí)滲透這一思想方法，有助于學(xué)生深刻理解知識(shí)和順利地解決有關(guān)問題。在平面向量這一章中，相等向量、平等向量共線向量等概念的建立及其相關(guān)作圖的相關(guān)訓(xùn)練；作為向量的一個(gè)應(yīng)用的平移公式的推導(dǎo)、以及運(yùn)用平移公式解決有關(guān)問題，均是這一方法的體現(xiàn)與展示。教學(xué)中，有意而及時(shí)地對(duì)這一思想

7、方法的提示與滲透，于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的進(jìn)一步提高必有裨益。3、化歸轉(zhuǎn)換的思想方法研究問題時(shí)，將一種研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化并歸結(jié)為另一種研究對(duì)象的思維方法稱為化歸轉(zhuǎn)換的思想。這種思想在公式與定理的推證及數(shù)學(xué)問題的解決中被廣泛地采用，是一種極為重要的思想方法。在向量教學(xué)中，教師經(jīng)常啟發(fā)學(xué)生有意識(shí)地運(yùn)用這一思想方法來(lái)考慮問題，使他們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)學(xué)得主動(dòng)、靈活，解題時(shí)也就會(huì)迅速、正確。如向量的夾角問題，向量的平行、垂直關(guān)系的研究均可化歸為它們對(duì)應(yīng)向量或向量坐標(biāo)的運(yùn)算問題 ：三角形形狀（按角分類）的判定可歸納為判斷向量的數(shù)量積與零的大小的關(guān)系問題；向量的數(shù)量積性質(zhì)：作為橋梁，溝通了向量與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。解題

8、時(shí)，可根據(jù)問題要求選擇將向量運(yùn)算（向量的數(shù)量積）轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算（向量的模）或?qū)?shí)數(shù)運(yùn)算化歸為向量運(yùn)算。此外，將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)（如三角形）問題，由未知化歸為已知，從特殊對(duì)象中歸結(jié)出一般規(guī)律等，也都是化歸思想方法獲得運(yùn)用的常見思想形式。所有上述這些都充分展現(xiàn)了化歸思想方法在向量中的“用武之地”，實(shí)踐表明，化歸思想方法在向量中的恰當(dāng)滲透，確能強(qiáng)化學(xué)生思維的目標(biāo)意識(shí)，避免盲目思維，提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)思維的敏捷性和靈活性。4、對(duì)應(yīng)的思想方法 中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多知識(shí)蘊(yùn)含著對(duì)應(yīng)的思想，如數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)；坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)；函數(shù)中的自變量與函數(shù)值；角（弧度數(shù)）與實(shí)數(shù)；方程與曲線等，都具有某種對(duì)應(yīng)關(guān)

9、系，體現(xiàn)了對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法。同樣，在平面向量的知識(shí)中，這一思想方法也得到了充分展現(xiàn)，如平面向量與它的幾何表示（有向線段）或坐標(biāo)表示（有序?qū)崝?shù)對(duì)）；兩個(gè)向量的夾角與范圍角，平面向量的線性表示；點(diǎn)P分有向線段與所得線段的比值（-1的實(shí)數(shù)）等，在教學(xué)中，注意適時(shí)滲透這一思想方法，提示它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，則可有效地幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，排除學(xué)習(xí)障礙，樹立學(xué)習(xí)信心，順利掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)，同時(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力亦必將得到一定發(fā)展。5、分類討論的數(shù)學(xué)思想方法 分類討論的思想方法在數(shù)學(xué)中較為普遍，它主要是依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的不同屬性，將數(shù)學(xué)對(duì)象分為不同情形并對(duì)其進(jìn)行研究的一種思想方法。在平面向量的教學(xué)中，適

10、時(shí)提示分類的思想，幫助學(xué)生掌握和善于運(yùn)用分類討論的思想方法，有助于他們對(duì)知識(shí)的加深認(rèn)識(shí)理解和整理消化，從而掌握其本質(zhì)規(guī)律。如向量中的一些知識(shí)：平行向量可分為同向量或反向向量；向量和方向上的投影值，隨與的夾角的不同有正數(shù)、負(fù)數(shù)或零等三種情形；用向量方法推導(dǎo)正弦定理時(shí)，可通過對(duì)銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形三種情況分別討論而獲得；用正弦定理與余弦定理求解的解三角形分為四種類型，以及對(duì)“已知兩邊和其中一邊對(duì)角的三角形”型的解的情況的分析判斷等，無(wú)一不蘊(yùn)含著分類討論的思想方法。教學(xué)中的及時(shí)揭示與恰當(dāng)滲透，能有效地幫助學(xué)生深刻理解，牢固掌握與靈活運(yùn)用這些知識(shí)，從而形成一定的數(shù)學(xué)能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

11、又如在教學(xué)線段的定比分點(diǎn)時(shí)，運(yùn)用分類討論的思想方法，啟發(fā)學(xué)生對(duì)P分有向線段（即向量）P1P2的比值的分析討論，可得下面的結(jié)論；1） 若點(diǎn)P在上，則>02） 若點(diǎn)P在的延長(zhǎng)線上，則3） 若點(diǎn)P在的反向延長(zhǎng)線上，則4） 若點(diǎn)P與P1重合，則5） 若點(diǎn)P與P2重合，則不存在（或視為） 通過上述的分類討論，學(xué)生對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)必將理解更深刻，運(yùn)用更得心應(yīng)手，同時(shí)亦有益于優(yōu)化思維品質(zhì)，訓(xùn)練思維的條理性與嚴(yán)密性，培養(yǎng)和發(fā)展思維能力。三、用向量解題的基本思路（向量法和坐標(biāo)法） 由于向量有幾何形式和代數(shù)形式，所以向量成了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為了解多項(xiàng)內(nèi)容的媒介，因而向量的引入為中學(xué)生解題提供了新的有

12、用的工具，所以在學(xué)習(xí)時(shí)要特別注意和強(qiáng)調(diào)向量的工具性。利用向量知識(shí)去解題有兩種基本的思考方法：即向量法與坐標(biāo)法。1、向量法例1 已知直線平面，直線平面，垂足分別為A，B。求證： 分析 根據(jù)共線向量基本定理，若能證得， 則。證明 在平面內(nèi)，過點(diǎn)A作互相垂直向量 ，以 三個(gè)不共面的向量作為基底，（圖2）沿基底，分解向量，由空間向量基本定理可設(shè) ， 則：， （1） （2）由，得AC，AD，同理AC，AD。又AC AD， 且，分別代入（1）、（2）得。 。 從本題的證明過程可以看出，用向量法解題的大致步驟如下： 選定基底；進(jìn)行向量間的運(yùn)算； 結(jié)合有關(guān)的定理、推論對(duì)向量運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行分析，得出結(jié)論。2、坐

13、標(biāo)法例2 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸。證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O。（2001年全國(guó)高考理工類題（19）、文史類題（20）證明 如圖3，由于A，B在拋物線上，yxOC可設(shè)則 C因A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線，從而有：（為實(shí)數(shù)），即（ 亦即 （ 圖3）又，故A，O，C三點(diǎn)共線，即直線AC過原點(diǎn)O。 本題證明直線AC過原點(diǎn)O，利用向量知識(shí)只要證明中實(shí)數(shù)存在即可，這樣將用坐標(biāo)表示，證明的過程就轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算。這種建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)來(lái)表示向量，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到問題的解決的就是坐標(biāo)法。坐標(biāo)法解決問題的步驟：建立直角坐標(biāo)系；求出題中相關(guān)的點(diǎn)和向量的

14、坐標(biāo)；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到問題的結(jié)論。四、向量在解題中的應(yīng)用舉例：1、向量與平面解析幾何：平面解析幾何是利用坐標(biāo)法去研究平面內(nèi)的曲線的性質(zhì)，向量亦有坐標(biāo)形式，因此，向量在解析幾何中的應(yīng)用比較廣泛。1.1、利用兩個(gè)非零向量的數(shù)量積例3 （2000年全國(guó)高考題）橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng) 為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是 。解 由題意設(shè)則由于為鈍角，所以即 又點(diǎn)在橢圓上， 由、不難得到1.2、利用兩向量共線的充要條件：充要條件是存在一個(gè)實(shí)數(shù),使QNABM0yx例4 （2001年安徽春季高考題）已知拋物線若有過動(dòng)點(diǎn)且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，（1）求a的取值范

15、圍；（）若線段的垂直平分線交x軸于點(diǎn)，求的面積的最大值。解（）設(shè)如圖4，則 圖4與共線，可得 又直線的斜率為1， 可得令可得(1)設(shè)AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)，則 （定值）。， 故面積最大值為1.3、利用兩個(gè)非零向量夾角公式例5 （1999年全國(guó)高考題）如圖5，給出定點(diǎn)和直線AC-1BOyxB是直線上的動(dòng)點(diǎn)，的角平分線交AB于點(diǎn)C，求C點(diǎn)的軌跡方程 ，并討論方程表示的曲線類型a值的關(guān)系。解 設(shè)則 由OC平分，知(1) 當(dāng) （圖5） 又與共線，有 將代入得：(2) 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C（0，0）適合。綜上（1）、（2）得C的軌跡方程為： （討論略）1.4、利用兩個(gè)非零中量的充分條件例6 （2000年北京、

16、安徽春季高考題）如圖6，設(shè)點(diǎn)A和為B拋物線知原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知求點(diǎn)M的軌跡方程 ，并說明它表示什么曲線。解 設(shè) 則（圖6） 即 化簡(jiǎn)得 又 即化簡(jiǎn)得 ： 又即將代入得：A、B是異于原點(diǎn)的點(diǎn)，故，所以點(diǎn)M的軌跡方程為它表示為圓心，以2p為半徑的圓（除去圓點(diǎn)）。2、向量與立體幾何：立體幾何主要研究直線、平面的位置關(guān)系如平行、垂直等，而這些都可以通過向量的運(yùn)算去討論。xCFABEA1B1C1D1DyGz例7 在正方體ABCDA1B1C1D1中，G，E，F(xiàn)分別是AA1，AB，BC的中點(diǎn)，試求平面GEF與平面ABCD所成二面角的平面角。 解 建立直角坐標(biāo)系如圖7， 令立正方體棱長(zhǎng)為a,則 設(shè)平面A

17、BCD的法向量是， 平面FGE的法向量是，顯然=（0,0,a） （圖7）設(shè)平面GEF與平面ABCD 所成的二面角的平面角是，又由圖形知，為銳角，C 1D1EB 1A 1DABC所求二面角的平面角為例8 如下圖8，平行六面體ABCDA1B1C1D的底面是菱形，（圖8）（1） 證明：BDCC1；（2） 若點(diǎn)E是AB1的1中點(diǎn)，證明D1E面BDC1 ；（3） 若CD=2，C1C=32，求二面角C1BDC的大小。 證明 （1）因?yàn)橛忠驗(yàn)锳BCD是菱形且 ，且， ，有，得（2）由題設(shè)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，則 與不共線，與，共面。又面，面。（1） 設(shè)則點(diǎn)O為BD中點(diǎn)，為等邊三角形，則OCBD，又，從而是二面角的

18、平面角。 ABCD為菱形， EDCBx3、向量與三角：向量在三角中的應(yīng)用都與向量的數(shù)量積的運(yùn)算有關(guān)。例9 求值解 作一個(gè)正五邊形ABCDE，邊長(zhǎng)為1， （圖9）且AB與x軸的夾角為（如圖9）。由于， 其在x軸上的投影亦為0，注意到各向量與x軸的夾角分別為令x軸上的單位向量為，則4、向量與等式、不等式的證明：通過構(gòu)造向量，利用向量不等式可輕松證明很多等式、不等式。例10 設(shè) 求證： 證明： 若，結(jié)論顯然。 若不全為0，構(gòu)造向量=(x，y，z), =(a，b，c),并設(shè)<，>=，根據(jù)空間向量的數(shù)量積知識(shí)，則由已知條件得，或，即，=（為實(shí)數(shù)）。即(x，y，z)= (a，b，c)，例11 已知a，b，c為正數(shù)，求的最小值。解 構(gòu)造向量=(x，a), =(c-x，b),則函數(shù) y=|+|，|+|等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，5、 量與求函數(shù)最值：適當(dāng)構(gòu)造向量，可使一類函數(shù)最值問題的思路清晰，解題方法巧妙，并定于規(guī)律性、趣味性。定理 m，n為兩個(gè)向量，則 證明 設(shè)兩向量的夾角為，則 證畢。5例12 已知點(diǎn)P（x，y）在橢圓上，求最大值。解 構(gòu)造,依定理，知 即故的最大值是5。例13 已知?jiǎng)t的最大值是 。 （第13屆“希望杯”全國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽高二培訓(xùn)題）解 構(gòu)造 依定理，則 于是，知其最大值是參考文獻(xiàn)：1全日制普通高級(jí)中學(xué)