數(shù)學中的幾個經(jīng)典問題

1、數(shù)學中的幾個經(jīng)典問題哥尼斯堡七橋問題偉大的數(shù)學家歐拉在1736年發(fā)表圖論方面的第一篇論文，解決了著名的哥尼斯堡七橋問題。哥尼斯堡城中有一條叫普雷格爾的河，該河中有兩個島，河上有七座橋。當時那里的居民熱衷于這樣的問題：一個散步者能否走過七座橋，且每座橋只走過一次，最后回到出發(fā)點。1736年歐拉將此問題歸結(jié)為如圖所示圖形的一筆劃問題。即能否從某一點開始一筆劃出這個圖形，最后回到原點，而不重復。這是不可能的，因為圖中的每個點都只與奇數(shù)條現(xiàn)象關(guān)聯(lián)，不可能將這個圖不重復的一筆畫成。 數(shù)學經(jīng)典問題·希爾伯特23個數(shù)學問題在1900年巴黎國際數(shù)學家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為數(shù)學問題的

2、著名講 演。他根據(jù)過去特別是十九世紀數(shù)學研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的 數(shù)學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學家力圖攻克的難關(guān)， 對現(xiàn)代數(shù)學的研究和發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問 題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個數(shù) 學問題都可以解決的信念，對于數(shù)學工作者是一種巨大的鼓舞。 希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數(shù)學基礎(chǔ)問題；第7到第12問題 是數(shù)論問題；第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題；第19到第23問題屬于數(shù)學分析。 （1）康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實數(shù)集基

3、數(shù)之間沒有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng) 假設(shè)。1938年，僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與zf集合論 公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學家科思（p.choen）證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與zf 公理彼此獨立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能用zf公理加以證明。在這個意義下，問題已 獲解決。 （2）算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。歐氏幾何的無矛盾性可以歸結(jié)為算術(shù)公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義 計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨 （g.gentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術(shù)公理系統(tǒng)的無矛盾性。 （3）只根據(jù)合同公理證明等底等高的兩

4、個四面體有相等之體積是不可能的。問題的意思是：存在兩個登高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體， 使這兩組四面體彼此全等德思（m.dehn）1900年已解決。 （4）兩點間以直線為距離最短線問題。此問題提的一般。滿足此性質(zhì)的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年， 蘇聯(lián)數(shù)學家波格列洛夫（pogleov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決。（5）拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。這一個問題簡稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年， 由格里森（gleason）、蒙哥馬利（montgomery）、齊賓（zippin）共同解決。1953 年，日本的山邁英彥已得到

5、完全肯定的結(jié)果。 （6）對數(shù)學起重要作用的物理學的公理化。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫?qū)⒏怕收摴砘：髞?，在量子力學、量子場論 方面取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。 （7）某些數(shù)的超越性的證明。需證：如果是代數(shù)數(shù)，是無理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么一定是超越數(shù)或至少是無 理數(shù)（例如，22和e）。蘇聯(lián)的蓋爾封特（gelfond）1929年、德國的施奈德 （schneider）及西格爾（siegel）1935年分別獨立地證明了其正確性。但超越數(shù) 理論還遠未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無統(tǒng)一的方法。 （8）素數(shù)分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素共問題。素數(shù)

6、是一個很古老的研究領(lǐng)域。希爾伯特在此提到黎曼（riemann）猜想、哥德巴 赫（goldbach）猜想以及孿生素數(shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿 生素數(shù)問題目前也未最終解決，其最佳結(jié)果均屬中國數(shù)學家陳景潤。 （9）一般互反律在任意數(shù)域中的證明。1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（e.artin）各自給以基本解決。 而類域理論至今還在發(fā)展之中。 （10）能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學家）方程 可解。1950年前后，美國數(shù)學家戴維斯（davis）、普特南（putnan）、羅賓遜 （

7、robinson）等取得關(guān)鍵性突破。1970年，巴克爾（baker）、費羅斯（philos）對含 兩個未知數(shù)的方程取得肯定結(jié)論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學家馬蒂塞維奇最終證明：在一 般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結(jié)果，卻產(chǎn)生了一系列很有價值的副產(chǎn)品， 其中不少和計算機科學有密切聯(lián)系。 （11）一般代數(shù)數(shù)域內(nèi)的二次型論。德國數(shù)學家哈塞（hasse）和西格爾（siegel）在20年代獲重要結(jié)果。60年代，法 國數(shù)學家魏依（a.weil）取得了新進展。 （12）類域的構(gòu)成問題。即將阿貝爾域上的克羅內(nèi)克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零 星結(jié)果，離徹底解決還很遠。（13）一般七次代數(shù)方程

8、以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依賴于3個參數(shù)a、b、c；x=x(a,b,c)。這一函數(shù) 能否用兩變量函數(shù)表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學家阿諾爾德 （arnold）證明了任一在0，1上連續(xù)的實函數(shù)f(x1，x2，x3)可寫成形式hi( i(x1,x2),x3)(i=1-9)，這里hi和i為連續(xù)實函數(shù)?？聽柲缏宸蜃C明f(x1，x2， x3)可寫成形式hi(i1(x1)+i2(x2)+i3(x3)(i=1-7)這里hi和i為連續(xù)實 函數(shù)，ij的選取可與f完全無關(guān)。1964年，維土斯金（vituskin）推廣到連續(xù)可 微情形，對

9、解析函數(shù)情形則未解決。 （14）某些完備函數(shù)系的有限的證明。即域k上的以x1,x2,xn為自變量的多項式fi（i=1,，m），r為kx1，xm 上的有理函數(shù)f（x1，xm）構(gòu)成的環(huán)，并且f（f1，fm）kx1，xm 試問r是否可由有限個元素f1，fn的多項式生成？這個與代數(shù)不變量問題有關(guān) 的問題，日本數(shù)學家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。 （15）建立代數(shù)幾何學的基礎(chǔ)。荷蘭數(shù)學家范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。注一舒伯特（schubert）計數(shù)演算的嚴格基礎(chǔ)。一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相 交？舒伯特給出了一個

10、直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎(chǔ)。 現(xiàn)在已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學有密切的關(guān)系。但嚴格的基礎(chǔ)至今 仍未建立。 （16）代數(shù)曲線和曲面的拓撲研究。此問題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備 dx/dy=y/x的極限環(huán)的最多個數(shù)n（n）和相對位置，其中x、y是x、y的n次多項式。 對n=2（即二次系統(tǒng)）的情況，1934年福羅獻爾得到n(2)1；1952年鮑廷得到n(2) 3；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布n(2)3，這個曾震動一時的結(jié)果，由于其中 的若干引理被否定而成疑問。關(guān)于相對位置，中國數(shù)學家董金柱、葉彥謙1957年證 明了（e2）不

11、超過兩串。1957年，中國數(shù)學家秦元勛和蒲富金具體給出了n2的方 程具有至少3個成串極限環(huán)的實例。1978年，中國的史松齡在秦元勛、華羅庚的指 導下，與王明淑分別舉出至少有4個極限環(huán)的具體例子。1983年，秦元勛進一步證 明了二次系統(tǒng)最多有4個極限環(huán)，并且是（1，3）結(jié)構(gòu)，從而最終地解決了二次微 分方程的解的結(jié)構(gòu)問題，并為研究希爾伯特第（16）問題提供了新的途徑。 （17）半正定形式的平方和表示。實系數(shù)有理函數(shù)f(x1,，xn)對任意數(shù)組（x1，,xn）都恒大于或等于0，確定f 是否都能寫成有理函數(shù)的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。 （18）用全等多面體構(gòu)造空間。德國數(shù)學家比貝爾巴赫（bi

12、eberbach）1910年，萊因哈特（reinhart）1928年作出 部分解決（19）正則變分問題的解是否總是解析函數(shù)？德國數(shù)學家伯恩斯坦（bernrtein，1929）和蘇聯(lián)數(shù)學家彼德羅夫斯基（1939）已 解決。（20）研究一般邊值問題。此問題進展迅速，己成為一個很大的數(shù)學分支。日前還在繼讀發(fā)展。（21）具有給定奇點和單值群的fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。此問題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾（h.rohrl） 于1957年分別得出重要結(jié)果。1970年法國數(shù)學家德利涅（deligne）作出了出色貢 獻。（22）用自守函數(shù)將解析函數(shù)單值化。此問題涉

13、及艱深的黎曼曲面理論，1907年克伯（p.koebe）對一個變量情形已解決 而使問題的研究獲重要突破。其它方面尚未解決。（23）發(fā)展變分學方法的研究。這不是一個明確的數(shù)學問題。20世紀變分法有了很大發(fā)展。數(shù)學經(jīng)典問題·商高定理若一直角形的兩股為a，b斜邊為c，則有a2+b2=c2。我們都很熟悉這個性質(zhì)，人 們相信是畢達格拉斯約公元前560年公元前480發(fā)現(xiàn)的，因此把它叫做畢氏定 理。畢氏定理也可以用幾何的形式來解釋，那就是直角三角形直角邊上的兩個正方 形的面積和等於斜邊上正方形的面積。如下圖所示：傳聞這個定理有一個綽號叫“新娘圖”，又有人稱為“新娘的椅子”，可能是從 其幾何圖形得到的

14、敏感吧！中國在商高時代(公元前1100年)就已經(jīng)知道“勾三股四弦五”的關(guān)系，遠早於畢 達格拉斯，因此有人主張畢氏定理應(yīng)該稱呼為商高定理，但普遍性的定理則在陳子 時代(公元前67世紀)，而提出定理的證明則首推趙君卿(見周髀的趙君卿注)。趙 氏是三世紀的人，現(xiàn)在這個定理普通稱為勾股弦定理或勾股定理。畢達格拉斯曾提一組勾股數(shù)的正數(shù)數(shù)解：a=2n+1，b=2n2+2n，c=2n2+2n+1，其特 點是斜邊與其中一股的差為1。柏拉圖也給了另一組公式：a=2n，b=n2-1，c=n2+1， 此時斜邊與其中一股之差為2。但他們都不是方程式a2+b2=c2的所有解，全部解 的公式是a=2mn，y=m2-n2，

15、z=m2+n2其中m，n（m>n）是互質(zhì)且一奇一偶的任 意正整數(shù)。數(shù)學經(jīng)典問題·幾何的三大問題平面幾何作圖限制只能用直尺、圓規(guī)，而這里所謂的直尺是指沒有刻度只能畫直線 的尺。用直尺與圓規(guī)當然可以做出許多種之圖形，但有些圖形如正七邊形、正九邊 形就做不出來。有些問題看起來好像很簡單，但真正做出來卻很困難，這些問題之 中最有名的就是所謂的三大問題。幾何三大問題是 :1.化圓為方求作一正方形使其面積等於一已知圓；2.三等分任意角；3.倍立方求作一立方體使其體積是一已知立方體的二倍。圓與正方形都是常見的幾何圖形，但如何作一個正方形和已知圓等面積呢？若已知 圓的半徑為1則其面積為(1)2=，所以化圓為方的問題等於去求一正方形其面積 為，也就是用尺規(guī)做出長度為1/2的線段（或者是的線段）。三大問題的第二個是三等分一個角的問題。對於某些角如90。、180。三等分并不難， 但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分則可以做出20。的角，那麼 正18邊形及正九邊形也都可以做出來了（注：圓內(nèi)接一正十八邊形每一邊所對的圓 周角為360。/18=20。）。其實三等分角的問題是由求作正多邊形這一類問題所引起 來的。第三個問題是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年公元前195年）曾經(jīng)記述一個神 話提到說有