第4章連續(xù)信號的頻域分析

1、信號與系統(tǒng)學(xué)習(xí)指導(dǎo)第四章 連續(xù)信號的頻域分析將信號分解為若干不同頻率的正弦信號或虛指數(shù)信號，實質(zhì)上是將信號在頻率域上進行分解，因此根據(jù)這種基本思想對信號和系統(tǒng)的分析稱為頻域分析。這種分解過程是通過傅里葉級數(shù)和傅里葉變換這一數(shù)學(xué)工具來實現(xiàn)的。本章首先介紹連續(xù)信號的傅里葉級數(shù)和傅里葉變換，熟悉信號頻譜的概念。4.1 基本要求1基本要求 了解傅里葉級數(shù)和傅里葉變換的定義及其物理含義； 掌握信號頻譜和頻譜密度的概念； 了解連續(xù)譜和離散譜的特點和區(qū)別； 掌握傅里葉變換的常用性質(zhì)； 掌握周期信號傅里葉變換的求解方法。2重點和難點 傅里葉變換的性質(zhì)及其應(yīng)用4.2 知識要點1周期信號的傅里葉級數(shù)（1）傅里葉級

2、數(shù)展開式三角形式：（4-1）指數(shù)形式： （4-2）其中，n=0，1，2， （4-3），n=1，2， （4-4）且 （4-5） （4-6）（2）兩種形式之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 （4-7）并且|Fn|為偶函數(shù)，jn為奇函數(shù)，即， （4-8）（3）傅里葉級數(shù)的物理含義通過傅里葉級數(shù)可以將任意周期信號f(t)分解為若干個正弦信號（三角形式）或復(fù)簡諧信號（指數(shù)形式）的疊加。每個正弦信號分量的頻率為周期信號基波頻率的n倍（n0），即nW，而幅度為An或者2|Fn|，相位為jn，將其稱作第n次諧波分量。特別地，將頻率為0（即n=0）的分量稱為直流分量，幅度為A0/2或者F0；頻率等于基波頻率W（即n=1）的分量稱為

3、基波分量。2周期信號的頻譜通過傅里葉級數(shù)可以將時域中的周期信號分解為直流分量、基波分量和各次諧波分量之和，傅里葉級數(shù)展開式中的An、jn或傅里葉系數(shù)Fn分別代表了各分量的幅度和相位隨諧波次數(shù)n（從而頻率nW）的變化關(guān)系，稱為周期信號的頻譜，其中An或|Fn|稱為幅度譜，jn稱為相位譜。An或|Fn|、jn都是關(guān)于整型變量n的實函數(shù)，分別以其為縱軸，以n（或者nW）為橫軸，得到的圖形稱為周期信號的幅度譜圖和相位譜圖，合稱為周期信號的頻譜圖。但是，在三角形式的傅里葉級數(shù)中，An和jn的自變量n只能取非負(fù)的整數(shù)，因此稱為單邊頻譜，而在Fn中，n可以為任意的整數(shù)，相應(yīng)地將Fn稱為雙邊頻譜。對同一個周期

4、信號，其單邊和雙邊頻譜可以通過式（4-7）進行相互轉(zhuǎn)換。所有周期信號的頻譜都具有離散性，因此稱為離散譜。3非周期信號的傅里葉變換及其頻譜密度非周期信號的傅里葉變換及傅里葉反變換的定義為 （4-9） （4-10）其中正變換用于根據(jù)信號的時域表達式求其頻譜表達式，反變換用于根據(jù)其頻譜表達式求時域表達式。通過傅里葉變換可以將信號分解為不同頻率的復(fù)簡諧信號的疊加，而信號的傅里葉變換F(jw)反映了信號中各分量的幅度和相位隨其頻率w 的變化關(guān)系，稱為信號的頻譜密度，又稱為頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù)。教材表4-1中列出了一些基本信號的傅里葉變換，在求解復(fù)雜信號的傅里葉變換和頻譜密度時經(jīng)常用到。4傅里葉變換的性

5、質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)不僅可以用于簡化復(fù)雜信號頻譜密度的求解，也可以用于求解不滿足絕對可積條件的信號（例如周期信號）的傅里葉變換。此外，大多數(shù)性質(zhì)都具有明確的物理含義。教材表4-2列出了傅里葉變換的常用性質(zhì)，通過練習(xí)熟悉各性質(zhì)的應(yīng)用。5周期信號的傅里葉變換所有周期信號的能量都為無窮大，因此都不滿足絕對可積條件，必須根據(jù)性質(zhì)求其傅里葉變換。根據(jù)性質(zhì)得到周期信號傅里葉變換的求解公式為 （4-11）4.3 補充例題例4-1 已知某周期信號f(t)的周期為T=0.1s，三角形式的傅里葉級數(shù)展開式為寫出指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)表達式。解 將已知的f(t)整理為標(biāo)準(zhǔn)形式得到由于T=0.1s，則周期信號f(t)的基

6、波角頻率為。將上式與式（4-1）比較可知再由式（4-7）得到由式（4-8）得到再代入式（4-2）得到指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為另解 利用歐拉公式直接轉(zhuǎn)換。例4-2 已知某周期信號f(t)的基波頻率為10Hz，其指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式為寫出三角形式的傅里葉級數(shù)表達式。解 將已知f(t)整理為標(biāo)準(zhǔn)形式得到已知f(t)的基波角頻率為W=2p10=20p，則上式中各項分別對應(yīng)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)中n=0，-1，-3，1，3，由此得到根據(jù)由式（4-7）得到代入三角形式的傅里葉級數(shù)展開式得到另解 將上式重新整理為再利用歐拉公式得到說明：以上兩例練習(xí)兩種形式的傅里葉級數(shù)及其相互轉(zhuǎn)換?？梢愿鶕?jù)本章所給各公式進

7、行轉(zhuǎn)換，也可根據(jù)歐拉公式直接轉(zhuǎn)換。歐拉公式是本章反復(fù)用到的基本數(shù)學(xué)公式，這里再總結(jié)如下：例4-3 對例4-1和例4-2所示周期信號，假設(shè)其周期都為T=0.1s。分析其中含有的分量以及每個分量的幅度和相位。解 （1）已知的是三角形式的傅里葉級數(shù)展開式，但不是標(biāo)準(zhǔn)形式（有一項為正弦函數(shù)，必須化為余弦函數(shù)），重新整理得到由此可知，f(t)中共有三個分量，即直流分量，幅度為10；基波分量：頻率為10Hz，幅度為8，相位為-p/3；二次諧波分量：頻率為20Hz，幅度為2，相位為-p/2。（2）已知的是指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式，重新整理為標(biāo)準(zhǔn)形式得到再將其與式（4-2）比較可得由此可知，f(t)中共有三

8、個分量，即直流分量，幅度為2；基波分量：頻率為10Hz，幅度為2|F1|=10，相位為j1=F1=-p/2；三次諧波分量：頻率為30Hz，幅度為2|F3|=3，相位為j3=F3=-p/4。說明：通過本例熟悉傅里葉級數(shù)的物理含義，并據(jù)此引出信號頻譜的概念。由已知的傅里葉級數(shù)展開式可以直接分析出原周期信號中含有哪些分量以及各分量的頻率、幅度和相位。但是注意，必須首先將其轉(zhuǎn)換為式（4-1）或（4-2）所示的標(biāo)準(zhǔn)形式，然后通過比較確定出An、Fn和jn，再進一步分析各分量的幅度和相位。 例4-4 已知周期信號分別求出其單邊和雙邊頻譜，并畫出頻譜圖。解 由已知的表達式可知，周期信號f(t)的基波角頻率為

9、W=1 rad/s，周期T=2p/W=2p。（1）求單邊頻譜。將已知的表達式化為標(biāo)準(zhǔn)的三角形式的傅里葉級數(shù)展開式得到則單邊頻譜為由此畫出單邊幅度譜和相位譜如圖4-1所示。 直流=A0/2An84220 1 2 3 njn0 1 2 3 np/4p/3p/2圖4-1（2）求雙邊頻譜。根據(jù)上述單邊頻譜，由式（4-7）得到再根據(jù)雙邊頻譜的對稱性得到從而求得由此畫出雙邊幅度譜和相位譜如圖4-2所示。-3 -2 -1 0 1 2 3 n-3 -2 -1 0 1 2 3 n|Fn|jn圖4-24211112p/4p/3p/2-p/2-p/3-p/4說明：根據(jù)三角形式的傅里葉級數(shù)得到的An、jn 稱為周期信

10、號的單邊頻譜，根據(jù)指數(shù)形式的到的Fn稱為周期信號的雙邊頻譜，其波形稱為信號的頻譜圖。雙邊頻譜和單邊頻譜都是以n為變量的函數(shù)。由于n只能取整數(shù)，代表周期信號中的第n次諧波，所以頻譜圖都由離散的點構(gòu)成。在單邊頻譜中，n只能取非負(fù)整數(shù)，而在雙邊頻譜中，n的取值有正有負(fù)。注意到在雙邊頻譜中，|Fn|為偶函數(shù)，jn為奇函數(shù)，所以一般取j0=0。此外，根據(jù)式（4-7），可以在單邊頻譜和雙邊頻譜之間相互轉(zhuǎn)換。例4-5 已知周期信號f(t)如圖4-3所示，求其頻譜。f(t)t/s020.10.4-0.4圖4-3-0.1解 由圖可知，f(t)的周期為T=0.4s，則W=2p/T=5p。取t0=-0.2=T/2。

11、（1）根據(jù)三角形式的傅里葉級數(shù)展開式求單邊頻譜。則則 （2）根據(jù)指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式求雙邊頻譜。說明：通過本例掌握求周期信號頻譜的方法。要求頻譜，也就是求其傅里葉級數(shù)展開式各項的系數(shù)。求單邊頻譜時，先根據(jù)式（4-3）、（4-4）求出an、bn，再由式（4-5）求An和jn。求雙邊頻譜時，只需直接根據(jù)式（4-6）求出Fn。此外，注意在求解過程中，不需將T和W代入計算。在根據(jù)定義式得到積分結(jié)果后，一般會出現(xiàn)TW項，此時只需將TW=2p代入，即可將這兩個參數(shù)一起消去。例4-6 證明如下結(jié)論：（1） 周期偶對稱信號中只含有直流分量和余弦分量；（2） 周期奇對稱信號中只含有正弦分量。證明 （1）令

12、t0=-T/2，則根據(jù)式（4-3）和（4-4）得到（1）因為f(t)為偶對稱信號，則f(-t)=f(t)，則因此其中只有直流分量和余弦分量。（2）因為f(t)為奇對稱信號，則f(-t)=-f(t)，則因此其中只有正弦分量。說明：根據(jù)傅里葉級數(shù)的計算式可以證明，波形上具有不同特點的周期信號，其中包含的分量也有所不同。除了本例中證明了的兩種特性外，更多的波形特點及其含有的分量組合如表4-1所示。其中的結(jié)論請讀者模仿此例進行推導(dǎo)和證明。表4-1 周期信號的對稱性與其所含的分量波形特點含有的分量偶對稱f(t)=f(-t)直流分量、余弦分量奇對稱f(t)=-f(-t)正弦分量偶半波對稱f(t)=f(t+

13、T/2)偶次余弦和正弦分量奇半波對稱f(t)=-f(t+T/2)奇次余弦和正弦分量偶對稱+奇半波對稱f(t)=f(-t)且f(t)=-f(t+T/2)奇次余弦分量偶對稱+偶半波對稱f(t)=f(-t)且f(t)=f(t+T/2)直流分量、偶次余弦分量奇對稱+奇半波對稱f(t)=-f(-t)且f(t)=-f(t+T/2)奇次正弦分量例4-7 已知雙邊指數(shù)信號，求其傅里葉變換。解 因為因此滿足絕對可積條件，則由定義求得說明：根據(jù)定義求信號的傅里葉變換時，必須首先計算判斷信號是否絕對可積條件。如果不滿足，不能用定義求，只能用性質(zhì)或其他方法求。所有的能量信號都一定滿足絕對可積條件，而典型的時限信號、幅

14、度隨時間逐漸衰減的信號等都是能量信號，所以都可以利用定義直接求解其傅里葉變換。例4-8 已知，求其頻譜密度，并畫出頻譜圖。解 f(t)的波形如圖4-4所示，稱為半波余弦脈沖。顯然該信號是時限信號，因此一定滿足絕對可積條件。則由定義求得其傅里葉變換（即頻譜密度）為f(t)t-0.5 0 0.5圖4-4由于F(jw)為實函數(shù)，可以直接畫出其波形即頻譜圖如圖4-5所示。F(jw)wSa0.5(w-p)Sa0.5(w+p)圖4-5說明：求信號的頻譜密度就是求其傅里葉變換，因為頻譜密度也就是其傅里葉變換。此外，大多數(shù)信號的傅里葉變換都具有Sa函數(shù)的形式。在用定義求傅里葉變換時，要注意充分利用歐拉公式和S

15、a函數(shù)的定義將結(jié)果化為最簡。 例4-9 已知f(t)F(jw)，求下列信號的頻譜。（1）（2）（3）（4）解 （1） （頻域卷積性質(zhì)） （線性性質(zhì)）（2） （尺度變換性質(zhì)） （時移性質(zhì)）（3） （時移性質(zhì)） （頻域微分性質(zhì)）（4） （時域積分性質(zhì)）（時移性質(zhì)）說明：本題主要練習(xí)傅里葉變換的性質(zhì)。傅里葉變換的性質(zhì)大多以信號在時域中的變換命名的。例如，時移性質(zhì)指的是信號在時域中進行的時移，時域卷積性質(zhì)指的是兩個信號在時域中進行卷積運算后的傅里葉變換，等等。因此，必須首先對已知的時域表達式進行分析，明確其中包含的時域運算和變換，才能正確選擇合適的性質(zhì)求解其傅里葉變換。例4-10 假設(shè)f(t)的頻譜圖

16、如圖4-6所示，分析并畫出下列信號的頻譜圖。（1）（2）F(jw)w圖4-601wm-wm解 （1）設(shè)，則。由線性性質(zhì)得到再由頻移性質(zhì)得到頻譜圖如圖4-7所示。X(jw)w圖4-701wm-wmF1(jw)w00.5w0-wm w0 w0+wm-w00.5（2）因為則由頻移性質(zhì)得到頻譜圖如圖4-8所示。X(jw)w圖4-801wm-wmF2(jw)w01w0-wm w0 w0+wm1說明：本例主要練習(xí)傅里葉變換的頻移性質(zhì)。傅里葉變換的頻移性質(zhì)又稱為調(diào)制定理，它是現(xiàn)代通信系統(tǒng)中各種調(diào)制解調(diào)技術(shù)的理論基礎(chǔ)，對通信專業(yè)是及其重要的。例4-10 假設(shè)f(t)如圖4-9（a）所示，用三種方法求其傅里葉變

17、換。f(t)t圖4-9011-1-1f (t)t011-1-1-1（a） （b）解1 用定義求。解2 用時域積分性質(zhì)求。將f(t)求導(dǎo)得到f (t)如圖4-9（b）所示，由圖得到則根據(jù)線性性質(zhì)和時移性質(zhì)得到因為，則由時域積分性質(zhì)解3 用頻域微分性質(zhì)求。已知的f(t)可以表示為其中，則由頻域微分性質(zhì)得到說明：本例繼續(xù)練習(xí)傅里葉變換的性質(zhì)。對滿足絕對可積條件的信號，其傅里葉變換可以根據(jù)定義求，也可以根據(jù)性質(zhì)求。充分利用性質(zhì)，可以簡化傅里葉變換的求解。例4-11 已知用三種方法求其傅里葉變換。解 （1）已知的f(t)為時限信號，滿足絕對可積條件，則由定義求得其傅里葉變換為（2）已知的f(t)可以表示

18、為其中由頻移性質(zhì)得到最后由線性性質(zhì)得到（2）已知的f(t)可以表示為而其中由線性性質(zhì)得到最后由頻域卷積性質(zhì)得到說明：本例中的f(t)及其頻譜如圖4-10所示。f(t)稱為升余弦脈沖，這是數(shù)字通信系統(tǒng)中廣泛采用的一種脈沖波形，例如用該脈沖的有無表示數(shù)字代碼“1”和“0”。升余弦脈沖信號的頻譜由三個Sa函數(shù)疊加而成。在旁瓣內(nèi)，三個Sa函數(shù)的極性相反，相互抵消，使得總的頻譜中旁瓣衰減得更快。例4-12 已知，求f(t)。解 設(shè)f(t)的傅里葉變換為F(jw)，則根據(jù)時域微分性質(zhì)和卷積性質(zhì)得到而由此得到解得f(t)t-1011F(jw)w/p01123圖4-10取傅里葉反變換得到說明：該題目已知的相當(dāng)

19、于是微分方程，利用傅里葉變換可以簡化微分方程的求解過程，甚至可以求解用普通數(shù)學(xué)方法不能求解的微分方程。例4-13 求下列積分。（1）（2）解 （1）由于e-2|t|的傅里葉變換為，則的傅里葉反變換為e-2|t|，即上式兩邊同時令t=0，得到所以（2）由于Sa(10pt)的傅里葉變換為，即上式兩邊同時令w=0得到說明：傅里葉變換和傅里葉反變換的定義都為積分形式。利用定義及常見信號的傅里葉變換可以實現(xiàn)一些特殊函數(shù)的積分運算。例4-14 已知信號f(t)的頻譜F(jw)如圖4-11所示，求f(t)。F(w)A-w0 0 w0 wj (w)p/2-w0 0 w0 w-p/2圖4-11解 由圖4-11可

20、得則由傅里葉反變換的定義得到例4-15 求下列函數(shù)的傅里葉反變換f(t)。（1）（2）（3）解 （1）因為由及時移性質(zhì)得到其反變換為（2）因為則（3）因為則由對稱性得到再由線性性質(zhì)得到說明：以上兩例練習(xí)傅里葉反變換的求解方法。可以根據(jù)反變換的定義求解（如例4-14），也可以利用性質(zhì)求解（如例4-15）。具體總結(jié)如下：（1）如果已知的幅度譜寬度有限，則可利用傅里葉反變換的定義直接求解；（2）如果已知的頻譜表達式全部為沖激函數(shù)，也利用定義求解；（3）如果已知的頻譜表達式中含有分式，一般利用部分分式展開法求解；（4）如果頻譜表達式中含有沖激，同時含有的形式，部分分式展開時注意將兩項合在一起，反變換后

21、得到一項階躍信號。（5）在求解過程中也要注意充分利用性質(zhì)簡化計算。例4-16 已知某周期信號f(t)的周期為T=0.1s，其頻譜圖如圖4-12所示。（1）求其傅里葉變換F(jw)，并畫出頻譜密度圖；（2）求f(t)的時域表達式。解 （1）由圖4-12可得并且W=2p/T=20，則其傅里葉變換為頻譜密度圖如圖4-13所示。|Fn|-2 -1 0 1 2 njn0 1 2 n -2 -1 p/2-p/2圖4-1224 |Fn|-40p -20p j(w)wp/2-p/2圖4-132p8p0 20p 40p w（2）將Fn代入指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式得到或者對F(jw)取傅里葉反變換得到說明：周期

22、信號既有頻譜， 也有頻譜密度。一般都統(tǒng)稱為頻譜。但是根據(jù)頻譜和頻譜密度求周期信號的時域表達式時是有區(qū)別的。已知頻譜（即Fn）時，是由指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式求時域表達式；而已知頻譜密度F(jw)時，是根據(jù)傅里葉反變換的定義求。例4-17 已知f(t)=g2(t)，T=4，分別求出f(t)和y(t)的頻譜，并畫出頻譜圖。解 f(t)為單脈沖信號，其頻譜為而周期沖激序列的基波角頻率W=2p/T=p/2，則其傅里葉變換為再根據(jù)傅里葉變換的時域卷積性質(zhì)得到y(tǒng)(t)的頻譜為f(t)和y(t)的頻譜如圖4-14所示。F(jw)Y(jw)ww0p2p-p-2p0p2p-p-2pp/23p/222圖4-14

23、說明：此例中，f(t)為時限信號，在時域中將其與周期沖激序列相卷積，得到的y(t)為周期信號。（參看例2-14）。由此例中的計算結(jié)果進一步體會，非周期信號的頻譜都為連續(xù)譜，即都是以w為自變量的連續(xù)函數(shù)，頻譜圖上表現(xiàn)為連續(xù)的曲線；周期信號的頻譜都是以n（或者nW）為自變量的離散函數(shù)，頻譜圖上表現(xiàn)為在頻率軸方向的一系列沖激，相鄰沖激的間隔等于基波角頻率W。4.4 補充練習(xí)4.1填空1）通過傅里葉級數(shù)可以將任意周期信號分解為若干個 信號或 信號的疊加。2）傅里葉級數(shù)中，第n次諧波分量的頻率為周期信號 頻率的n倍，而幅度為 或者 ，相位為 。3）在傅里葉級數(shù)中，頻率為0的分量稱為 分量，其幅度為 或者 ；頻率等于基波頻率的分量稱為 分量。4）傅里葉系數(shù)代表了各分量的幅度和相位隨諧波次數(shù)和頻率的變化關(guān)系，稱為周期信號的 。5）根據(jù)三