高考導數(shù)壓軸題處理集錦

1、高考導數(shù)壓軸題 鋪LOGYOUR LO(某某廣告設計有限么專業(yè)膜E電手苞曾國 已錄本、產(chǎn)品動畫設計、廣告設計、發(fā)布、An album of painting of calling card of the professional electron that make, electron, catalog product animation design, advertisant design, roloase, installs導數(shù)壓軸題題型L局考命題回顧例1已知函數(shù)f(x) =3ln(x+m) . (2013全國新課標II卷)(1)設x=0是f(x)的極值點，求m,并討論f(x)的單調性；(

2、2)當 時，證明 f(x)0.解 f(x) =e一ln(x+m)f (x) =ev(0) =e=0zz?=l,x十m。丁卬1p v|- 1 1定義域為xx 1, f Cv)=e,X十卬X-T 1顯然f(x)在(-1,0上單調遞減，在0,+8)上單調遞增.(2)證明 g(x) =eln(x+2),則 g(x) =e2). at+2h(x)=g (x) = ex三(x2)3 Cy) =e-30,才十2x十2所以以x)是增函數(shù)，Ex)=0至多只有一個實數(shù)根，又(一3=；一4,又(o)=i-刎4 yje 2/2所以Mx)=g。)=0的唯一實根在區(qū)間(一宗oj內，設 g(才)=0 的根為 ,則有 g (

3、t) =er-T=oj -1t/ *)=0, g(x)單調遞增;1l+f所以 g(x)山=g( =erln(t+2) =-r- t=-T0,L i 乙C I 乙當卬式2 時，有 ln(x+m)-x2 +ax + b,求(a + Y)b 的最大值。2(1) /(a)=/(0)1+白2 =,=/W-i_/(0) + x得：f(x) = ex令 x = l 得：/(O) = 1-x + x2 = g(x) = ff(x) = ex -1 + x 2= + 1 0 = y = g(x)在xeR上單調遞增得：/W的解析式為f(x) = ex-x + -x22且單調遞增區(qū)間為(0,+s),單調遞減區(qū)間為(

4、f,0)(2) f(x)-x2 +ax+b hx = e (a + l)xZ? N 0得hx) = ex -(tz + l) 2當a + l0=)，=力(幻在尺上單調遞增R -00 時，h(x) - -與 /?(x) 0 矛盾當 a +1 0時，(x) 0x ln(a +0x 0)；則 Fx) = x(l-2Inx)當X = G時，F(xiàn)(A-)max = |當a = -l”b = &時，(a+ 1池的最大值為：例3已知函數(shù)= * +曲線)，= /在點(1J)處的切線方程為X+1 Xx + 2y-3 = 0o (2011全國新課標)(I)求。、。的值；(II)如果當x,且xl時，/(%)- + -

5、,求女的取值范圍。x-1 Xa(j-Inx)解(I) /)= - -二由光 (A + 1)-JT7(1) = 1,竹=1,且過點(L1),故、1即, l/(1) = T -(in 由(I)知f*)=+L X+1 X、 Anx k、 幻一(一- + -) = -x-l X 1-考慮函數(shù)(X)= 2 In x + - X設攵 0 ,當 xe (1, +s)時，h (x) 0,且xw 1時，f (x)-/ 、Inx k(x) + x-1 X二直線x + 2)，- 3 = 0的斜率為一；，解得=1, = 1。一5，所以二-廠X(x0),則如)=(1.包 + 2、 尸二知，當XN1時，hXx)0;1導，

6、T h (x) 0/ 、/+3。,即丁什x-1 X(ii)設(Kkl.由于(女一1)(犬+ 1) + 2%二(攵一1)/+2%+攵一1的圖像開口向下，且 = 4一4(攵一1尸 0,對稱軸 x二一!一1 當 x (1, !)時，(kT) (x:+l) TkTk+2x0,故(x) 0,而 h (1)=0,故當 xe (1, )時，h (x) 0,可得 l-k二h (x) 0=力(x) 0,而 h (1)=0,故當xe (1, +s )時，h (x) 0,可得一二h (x) 6.解：(1)當 a = b= 3 時,f (x) = (x3+3x: 3x 3)e-s,故f (x) = (x3+3x:3x

7、 3) e-= +(3x:+6x 3) e=e- (x3 9x) = x(x 3) (x+3)e-.當 xV3 或 0VxV3 時,f(x)0;當一3VxV0 或 x3 時,f (x)0.從而f(x)在(一8, 一3), (0, 3)單調增加，在(一3, 0), (3,+8)單調減少.(2)f (x) = (x3+3x:+ax+b) e-= + (3x:+6x+a) e-= e- x3+ (a 6)x+b a1.由條件得 * (2)=0,即 2斗2(0 6)+b a=0,故 b = 4 a.從而 f (x) = -e- x4(a6)x+4-2a .因為 f ( a ) =f ( 0 ) =0,

8、所以 x+(a6)x+42a= (x2) (xa ) (xB ) = (x2) x( a + B ) x+a P .將右邊展開，與左邊比較系數(shù)，得a+B=-2, Q P=a-2.故一a = J(/7 + a)2-4o0 = J12 4.又(B 2) (a -2)0,即 a 0 2 ( a + 0 ) +4 VO.由此可得 a6.2 .在解題中常用的有關結論曲線y = /*)在X = X。處的切線的斜率等于八X。)，且切線方程為若可導函數(shù)y = /(x)在x = x0處取得極值，則廣0)=。反之，不成立。(3)對于可導函數(shù)/1),不等式r(x) 0(vO)的解集決定函數(shù)/(外的遞增(減)區(qū)間。函

9、數(shù)/(X)在區(qū)間I上遞增(減)的充要條件是：Vxe/ /(x)NO(KO)恒成立(f(x)不恒為0).(5)函數(shù)/(x)(非常量函數(shù))在區(qū)間I上不單調等價于/(X)在區(qū)間I上有極值，則可等價轉化為方程/) = 0在區(qū)間I上有實根且為非二重根。(若廣(x)為二次函數(shù)且I=R,則有A0)o/(X)在區(qū)間I上無極值等價于/(X)在區(qū)間在上是單調函數(shù)，進而得到/(x)NO或/(x)KO在I上恒成立若/(x)o 恒成立，則 /(x)min 0；若 Txe/ , /(x)0 恒成立,則 /(X)max V。(8)若三%/,使得 /)0,則 /(X)max。；若使得/(X0) g(x)恒成立， 則有/(X)

10、-g(X)k0.(10)若對 V % /|、X2el2 , /(內)且區(qū))恒成立，則 f COmin g(X)max 若對 VX/1, 3 X2e72,使得/(內)冢毛)，則 /(X)min g(X)min 若對 VX/, 3 X2 e Z2 ,使得/(X)Vg(),則 /(X)max g(X)max .(11)已知/(X)在區(qū)間L上的值域為A, g(X)在區(qū)間乙上值域為B, 若對 V X / J w /?，使得f(Xi)= g(X2)成立,則 Aq8。(12)若三次函數(shù)f(x)有三個零點，則方程/(x) = 0有兩個不等實根內、七， 且極大值大于0,極小值小于0.(13)證題中常用的不等式:

11、X_ Inx 0) 1 ln(x+l)-l) ex l + xh】x 1) e 2 1 x。)3 .題型歸納(構造函數(shù)，最值定位)(分類討論，區(qū)間劃分)(極值比較)(零點存在性定理應 用)(二階導轉換) 例1 (切線)設函數(shù)/)=/一”.(1)當 =1時,求函數(shù)以外=(2在區(qū)間出上的最小值;(2)當，0時，曲線y =/(x)在點P(X(X|)5疝處的切線為I, /與X軸交于點A(x2 求證：xxx2 4a例2 (最值問題，兩邊分求)已知函數(shù)/3) = lnx-以+匕*T(“eR).X(1)當時，討論”X)的單調性； 2(2)設 g(x) = x? -2% + 4.當時，若對任意內(0,2),存

12、在el,2,使 /(Q2g(W),求實數(shù)取值范圍.例3 (切線交點)已知函數(shù)/(.丫)二3+桁2_31(/氏)在點(1，/)處的切線方程為求函數(shù)/（X）的解析式；若對于區(qū)間卜2,2上任意兩個自變量的值內,也都有|/（內）-/（毛）歸，求實數(shù) c的最小值；若過點M（2,i）（/h2）可作曲線），=/（x）的三條切線，求實數(shù)?的取值范圍./（a） = ln（2 + 3x）- -X2.例4（綜合應用）已知函數(shù)2求f（x）在0,1上的極值；x e 不等式 16/ - In x I +ln/,（x） + 3x 0若對任意6 3成立，求實數(shù)a的取值范圍；若關于x的方程/（x）= -2x + ”在o, 1上

13、恰有兩個不同的實根，求實數(shù)b的取 值范圍.例5 （變形構造法）已知函數(shù)工+ 1, a為正常數(shù).9若f（x） = lnx +雙勸,且廣求函數(shù)人力的單調增區(qū)間;在中當=。時，函數(shù) = /）的圖象上任意不同的兩點雙內，力），乩殍為），線 段A8的中點為（與，凡），記直線A8的斜率為試證明：八人與）.8（丁）一8（2）若g（x） = |lnx| + 9（x）,且對任意的和叼e（0.2,馬。也，都有 一為 ,求 a的取值范圍.例6 （高次處理證明不等式、取對數(shù)技巧）已知函數(shù)/（戈）二比（辦）（。0）*（1）若對任意的x。恒成立，求實數(shù)”的取值范圍；/、/（x）/I1p（x） = - e（一，1）,再+x

14、, 1/（2）當“ =1時，設函數(shù) x ,若 一 e -,求證，25+與）例7 （絕對值處理）已知函數(shù)/（x） = x3+2+/zr + c的圖象經(jīng)過坐標原點，且在X = 1處取 得極大值.（I）求實數(shù)。的取值范圍；（II）若方程x） = -白字二恰好有兩個不同的根，求/（X）的解析式；（III）對于（II）中的函數(shù)f（x）,對任意a、Z?eR，求證： l/（2sina）-/（2sin）l81.例8 （等價變形）已知函數(shù)/（x） = ax-1-Inx（aeR）.（I）討論函數(shù)/3）在定義域內的極值點的個數(shù)；（II ）若函數(shù)/（X）在x = l處取得極值，對Vxe（O,+8）， 以-2恒成立，

15、求實數(shù)的取值范圍；（III）當0xy片且時，試比較上與二的大小.x 1 - In x/(x) = In x, g(x)=一廠 + mx + (m 0)例9 (前后問聯(lián)系法證明不等式)已知22,直線/與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)/*)的圖像的切點的橫坐標為1。(I)求直線/的方程及ID的值；(II)若力(x) = /(x+l) - g(x)(其中g(X)是g(x)的導函數(shù))，求函數(shù)力“)的最大 值。b cif(a + b)-f(2a)(III)當。時，求證：2a例10 (整體把握，貫穿全題)已知函數(shù)x) = g-l.X(1)試判斷函數(shù)f(x)的單調性；(2)設心0,求f(x)在加句上的最大值;(

16、3)試證明：對任意不等式皿巴)， - - a a2n +1例11 (數(shù)學歸納法)已知函數(shù)/(x) = ln(x + l) + z,當x = 0時，函數(shù)/a)取得極大值.(1)求實數(shù)?的值；(2)已知結論：若函數(shù)/(x) = ln(x + l) + /x在區(qū)間(,/?)內導數(shù)都存在，且一1,則存在與(。為)，使得廣“。)= 地二出.試用這個結論證明： b-a若1%g(x)；(3)已知正數(shù)44,4，滿足4+4+4=1，求證：當之2, wN時， 對任意大于-1 ,且互不相等的實數(shù)與毛，人，都有 /(4% + 入x, + +Anxn) 4/(玉)+4/(占)+4J(當).例12 (分離變量)已知函數(shù)/

17、(x)=+lnxQ為實常數(shù)).(1)若 =-2,求證：函數(shù)”幻在(1,+8)上是增函數(shù)；(2)求函數(shù)/*)在1, e上的最小值及相應的x值；(3)若存在工口，。1,使得工)“a+ 2成立，求實數(shù)&的取值范圍.例13 (先猜后證技巧)已知函數(shù)/(x) = 3尸(I )求函數(shù)八幻的定義域(H)確定函數(shù)/口)在定義域上的單調性，并證明你的結論.(HI)若x0時/(外 恒成立，求正整數(shù)k的最大值.x+ 1例 14 (創(chuàng)新題型)設函數(shù) f(x)= e+sinx, g(x)= ax, F(x)= f(x)g(x).(I )若x=0是F (x)的極值點,求a的值;(H)當 a=l 時,設 P (x1, f

18、(Xi),Q(x2, g(x :) (xx0, x:0), 且PQ g(x) = ax - lax + 1 + b(a H 0,b 0 x e -1,1 k 2/(I 2 11) + k-3) = 0,I2r11 k /(x) = (x-a)-(x + h)/ 、be R x = a j W a = 0 b aA? x2,工3 /(x) b c R X, x2f x3, x4i, i? ij 123,4 x4 /(x) = lnxg(x) =,ad+Z?x (“ W 0) (1)若a =2 ,函數(shù)(x) = fMg(x)在其定義域是增函數(shù)，求 26的取值范圍；(2)在(1)的結論下,設函數(shù)p(

19、x)=e+be*, xG 0, ln2,求函數(shù)0(x)的最小值；(3)設函數(shù)/(a)的圖象3與函數(shù)g(x)的圖象G交于點P、Q,過線段PQ的中點R作工 軸的垂線分別交C、a于點M、N,問是否存在點R,使a在M處的切線與G在 N處的切線平行若存在,求出R的橫坐標;若不存在,請說明理由.X例18 (全綜合應用)已知函數(shù)/(x) = l + ln (0VXV2).2-x(1)是否存在點(a力)，使得函數(shù)y = /(X)的圖像上任意一點尸關于點力對稱的點Q 也在函數(shù)y = /(x)的圖像上若存在，求出點M的坐標;若不存在,請說明理由；2/1-1 ：17o ? 1(2)定義 = S/(-) =/(-)

20、+ /(-) + - + /(-)，其中 eN ,求S刈3 ； /?n(3)在的條件下，令S. +1 = 2a,若不等式2冊 (g尸 1對V,? e N且n 2恒成立， 求實數(shù)小的取值范圍.導數(shù)與三角函數(shù)綜合例19 (換元替代，消除三角)設函數(shù)/(幻=一工一尸(xeR),其中eR.(I)當=i時，求曲線y=a)在點了)處的切線方程;(II )當時，求函數(shù)/(X)的極大值和極小值；(III)當心3,k-L時，若不等式攵cos X)2八獷-cos%)對任意的xeR恒成立，求女的值。創(chuàng)新問題積累例20已知函數(shù)/(幻=1二+匕 x-4 4I、求/(X)的極值.II、求證/(*-)的圖象是中心對稱圖形.

21、HI、設/(X)的定義域為。，是否存在當式式”,同時，/的取值范圍 是;尤若存在，求實數(shù)的值；若不存在，說明理由導數(shù)壓軸題題型歸納參考答案例解：(1)“ = 1 時，g(x)= -x,由 & J 2M ,即無 2HTZ=兀 乂 1 2 2內，,-2x2 2x 2 2Z所以 噸 而.r/ 11 a1(1 1 廠 + x + a 1 / 八例2/ (x) = Inx-ax +l(x 0), fx)= + =；(x0)xx 廠工令人(x) = d - x + l-a(x0)當a = 0時,Mx) = -x + l(x0),當工(0,1),/73)0,()0,函數(shù)/(外單調遞減；當 X e (1,40

22、3),/7(A) 0 ,函數(shù) “X)單調遞增.當。工0時，由/(x) =。，即d-x+l- = 0,解得內=1,占=1一1. a當。=；時玉=，力*)2。恒成立，此時廣(x)K0,函數(shù)/單調遞減；當0。10/(0,1)時/75)0,/(幻。，函數(shù)/(X)單調遞減； 2 axe(i,_Li)時，力(x)o,函數(shù)/*)單調遞增； axe(Ll,y)時，/?(x)0，r(A)0,函數(shù)/)單調遞減. a當。時1一10/(幻0,函數(shù)/(%)單調遞減； a當 A (1,+O0),/7(X) 0 ,函數(shù) /(X)單調遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在(0)單調遞減，)單調遞增；當a = J時內=A2，/?(x)

23、0恒成立，此時f(x) 0,函數(shù)x)在(0, y)單調遞減；當00 與保)矛盾；當bwl，2時,g(x)min =煎1)= 4- 之。也與()矛盾；117當2 時，U)min=g(2)=8-4/7-. Zo17綜上，實數(shù)的取值范圍是丁，+8).O例 3 解：r(x) = 3or2+次-3 .根據(jù)題意,得慌工即;工工解得設所以竹山.令r(x) =。，即衣-3 = 0 .得x = l .12+增極大值減極小值增2因為1) = 2, /(1) = -2,所以當戈式一2,2時，/(x)a=2, /nun=-2 .則對于區(qū)間-2,2上任意兩個自變量的值玉,，都有|王)7(七)1邛(x)a-7(力局=4,

24、所以C .所以c的最小值為4.因為點M(2,(年2)不在曲線y = /(x)上，所以可設切點為(%,)，0).則y = x：-3x。.因為/(廝)=3*一3,所以切線的斜率為3焉-3 .則3片-3=* 一也一,即2片一6片+6 +機=0 .%-2因為過點M (2, ?)(?工2)可作曲線)，= /(x)的三條切線，所以方程2-6片+6 + ? = 0有三個不同的實數(shù)解.所以函數(shù)g(x) = 2,P-6工2+6+/有三個不同的零點.則底(X)=6f一 12x .令g，(x) =。，則工=0或x = 2 .02+增極大值減極小值增則g(0)0 ,即6 + 7。1 解*6?2 -g(2)2-2 +

25、m 0J(x)單調遞增；當 1cx 0得a lnx-In-或o (x)或。 03x (2+ 3x)2x(2 + 3x)= -一-r. ?(2 + 6x) = o,2x + 3x_ 3lx + 3xg(x)與力(X)都在匚3上單增，要使不等式成立, o 3當且僅當a (1)或a h】l 或a ln(2 + 3x)-一廠 +2x-b = 0.23 r c 7-9x2 3x + 2 =2 + 3x2 + 3x上遞增；3令尹(x) = ln(2 + 3x)-,+ 2不一/?,則9(工)= 當x e 0,4時,”) 0,于是夕(x)在0,4X e【，1時。5） 。得X 2或0c 1,三)/?=0, ，i

26、n 包一,即X2X) X+1玉y j?U2)-tg(A|).,(8) + &一 &() +W/ 、1 ” UX2 - A |x2 -X|由題意得尸(x) = g(x) + x在區(qū)間(0,2上是減函數(shù).10 當 14xW2.F(x) = lnx + - + xl,廠。)=1 一一 + 1x + x u + ir由尸。)0 = 42 + 3 + 1)2=y+3工+ ! + 3在工41，2卜恒成立. XX設?(x)= x2 +3x + - + 3 . x1,2,貝IJ機(工)=2犬一3 + 30 X尸m(x)在1,2上為增函數(shù),Ad M2)=?.20 當 0xl,F(x) = -lnx + - +

27、x, ，F(xiàn)x) = -v + x + 1x U + l)-由尸。)。0 = 42一(-+。+ 1兄=/+1一_1_1 在xw(0,l)恒成立 xx設/G)=f+1,一1_1, ke(0,1)為增函數(shù),，之/二。 X綜上：”的取值范圍為例6解: /*(x) = 2xn(ax) + x,/1 (x) = 2xln(ax) + x0上T亙成立7設 “(x) = 2Eax+l-x ，(x) = W-l = 0,x = 21 x2 時，單調減，x2 單調增. ,X所以x = 2時，心)有最大值(2)W0,21n2 + l2,所以0心逅.2(2) 當 a =1 時，g(x) = = xlnx, xg(x)

28、 = 1 + Inx = 0,x = L所以在d，+8)上8(x)是增函數(shù)，(0)上是減函數(shù). eee因為,X g(xl) = x Inx1 e即 lox, -ln(Xj +x2)同理 111勺 -Mn。 +x2).所以 Inx + Inx2 (-V| + A： + Al + A： ) 111(A) +x2) = (2 + x2 x?又因為2 +上+*當且僅當。尸勺”時，取等號.X2 x又Xi，x）e（-,l）,X1 +x, 1, ln（A）+x）0, e所以(2 +，+ )ln(x)+ x2) 4ln(X + x2)所以 In+lnx2 4ln(%( + x2)所以：xx2 c = OJ(x

29、) = 3x2 + 2av + b, f(l) = 0 = = -2a- 3由f(x) = 0 = x = 1或x = - y ,因為當x = 1時取得極大值,所以一網(wǎng)士2 1 =。一3 ,所以的取值范圍是：(-8,-3)；3(H)由下表：+0-0-遞增極大 值-0-2遞減極小值遞增依題意得：竺f(2 + 3)2 =空91,解得： =一9 279所以函數(shù)/3)的解析式是：/(x) = /一9/ + 15方(III)對任意的實數(shù)a/都有22sina2242sin)0 時，/(幻0 得aa /*)在(0)上遞減，在(Lo)上遞增，即幻在 =，處有極小值. aaci *當K 0時/(a)在(02)上

30、沒有極值點,當a 0時，/(a)在(0,+oc)上有一個極值點.(II),函數(shù)/(X)在x = l處取得極值， =1,f(x)之。 2O1 + L-處之 X X令g(X)= l + L 處，可得以人)在(。1上遞減，在卜,+8)上遞增， .1 X g(X)min =8(/) = 11,即沙 患若=ln(x + 1) ln(y+ 1)1令g(x) = -,則只要證明g(x)在(6- 1,+s)上單調遞增. ln(x + l)ex ln(x+1)-!Y又()=/一、，In (x + 1)顯然函數(shù)力(x) = ln(x+1)-X+在化一 1,+S)上單調遞增./ /?(x) 1 - - 0,即 gx

31、) 0, eg在)上單調遞增，即f 號當 x y ，一1 時,ln(x+l)ln(y + l)例9解： 03 =) = 1；.直線/的斜率為1,X且與函數(shù)/*)的圖像的切點坐標為(1, 0)，直線/的方程為)，= X-Ly = x -1又.直線，與函數(shù)y = g的圖象相切，.方程組1 ,7有一解。y = k + mx + I 22由上述方程消去y,并整理得x2 + 2(? - l)x + 9 = 0依題意，方程有兩個相等的實數(shù)根，. = 2(?-1)-4乂9 = 0解之，得m=4或m=-2, Qm -1) :.h(x) =1 =.1X+l X+1.當xe(T,0)時,h(x)0,h(x)單調,

32、當 xe(。,一)時，(x)0,/?(x)單減。.當x=0時，)取最大值，其最大值為2。(ill) f(a + b)-f(2a) = ln( + b) - In 2a = In + = ln(l + -). 2a2ah / h LI證明，當 x e (T,。)時，ln(l + x) x. ln(l +) 0 ；當 xe 時,ff(x) 0 .所以函數(shù)f(x)在(0四上單調遞增，在e,xo)上單調遞減.(2 )由(1 )可知、與,即m e時,m ef(x)在2網(wǎng)上單調遞減，所以/(x)nux =-1 .當加v e v 2/，即 mLni e 時、 2/*)3=/(e)= L綜上所述，心)皿1.

33、0m- 2)知當 A (0.+cc)時 /(,0nm = /(e) = -l .所以在 X(0,+oo)時恒有了二叱一氏！】，即叱當且僅當x = e時等號成立.因此對任意xg(0.m) x ex e恒有husL 因為 H0, 士門，Tln1,即In（匕與*.因此 ennn e nn n對任意cN.,不等式In（一9 .例U解:（1）當xe（-LO）時，r（A）0,函數(shù)/（x）在區(qū)間（TO）上單調遞增;當x e （0,-ko）時，fXx） 0,函數(shù)/（x）在區(qū)間（。,一）上單調遞減.二函數(shù)/（X）在x = O處取得極大值，故?=-1.（2 ）令力（幻=/（A） -g（x） = /（x）-一 9（

34、A -玉）/G ）,%一則/x） = r（x）-八止/但.函數(shù)/*）在x e a,占）上可導，存在 不一七xoe（xrx2）,使得/（Xo）=二. /rw=-if .hx）=r（x）-廣（與）=_L_-L_=一 x + x+ x0 + l （x + l）（x0 + l） .當X（X,Xo）時，/（x）0, （x）單調遞增，力,區(qū)片。； .當工*0，芻）時，/（X） 0 ,力（刈單調遞減，二.力（工）力（）=。；故對任意 X（M，W）,都有/（x）g（x）.（3）用數(shù)學歸納法證明.,當 =2時，,-4+4=1,且4。，Z）o,.4,+如2（石，電），二由（II）得/（x）g（x）,即/（4% +

35、 兒媽）一少（4玉 + 4m 內）+/（玉）=4/（玉）+4/（占），玉一公二當 =2時，結論成立.假設當 = k（kN2）時結論成立，即當4+4+4=1時，/（4%+4%2+4%）4/（玉）+4/（）+4/（4）當=4+1時,設正數(shù)4,4,4+i 滿足4+4= 1,令? = 4 + 4*,A =&，2 =&,/ =. 則機+ 45=1,且從+用+ 4=1- m mm二當”=攵+ 1時，結論也成立.綜上由，對任意2 2, eN,結論恒成立.例 12 解：當 ” =一2 時，f（x） = x2-2nx,當 x（l,+x）, /f（A；） = -0,故函數(shù)/（x）在（L楨）上是增函數(shù).（幻=2 +

36、（x0）,當 eHL叫 2x2 +aea + Za + 2e2. x若心-2, /（x）在1上非負（僅當” =-2, x=l時，八幻=0）,故函數(shù)/。）在U上 是增函數(shù)，此時Lf（X）Ln= /=1 .若一2/4_2,當=斤時,/（的=0 ；當時，/（幻0,此時/是減函數(shù)；當、停。時，ru）o,此時/是增函數(shù).故U(X)Ln=f (后叫)/若/(x)在UM上非正(僅當” =一2/，x=e時，/，(x) = 0),故函數(shù)/(x)在 口上是減函數(shù),此時6初而n=f(e) = a +.不等式/工(a+ 2)/ 可化為g-lnx)Nx22x .；、InxWlWx且等號不能同時取，所以lnx0,因而,壯

37、土*i (xell，d)x- Inx令8(幻=三針(Ael，d)x-nx又/6)=(x-l)(x + 2-21nx)(x - In xY當；vHLeJ時，x-lOJnx0,從而g，(x)NO (僅當x=l時取等號),所以g在l,e上為增函數(shù), 故8。)的最小值為8=T,所以的取值范圍是T+8).例13解：定義域(7,0)5。,一)(2) /(X)=一+ ln(x +1)當x 。時.，:(x) 0單調遞戒。廠x + 1當T。),令 g(x) = + lg + l)，/、11X ng(X)= -r +=r 0(x + iy x + i (x+i)-g(x) = -1- + ln(x +1)gf(x

38、)= 一一 二 + -1- =； , g(0) = l0,故此時f(x) = 一*-7 + h(x+l)在(-1, 0)和(0, +s)上都是減函數(shù)(3)當x0時，/(%) 上恒成立,令 x = l有& 0)恒成立x+1當qO時(x+ l)ln(x +1) + 1- 2工0 恒成立令g(x) = (x +1)ln(x + l) + l-2x 則g(x) = ln(x + 1)-1,當xe-1時 9g(x) = g + l) -1,當 耐,g(x)0 當 0x。當0)時，(x + l)ln(.r + 1) + 1 2x 0恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3例 14 解：(I )F(x)= ex+s

39、inx -ax, Fx) = ex + cosx-a.因為x=0是F(x)的極值點，所以尸(0) = 1 + 1-a = 0, = 2.又當 a=2 時，若 x0, F(x) = ex + cosx a 0, Fx) = ex + cosx-a 0.Aa=0是F(x)的極小值點，a=2符合題意.(II) V=l,且 PQx2 = eXl + sinx x2 一玉=C* +sin玉一演令h(x) = ex + sin x - xji x) = ex + cos x -1 0 當 x0 時恒成立.*.xG0,+oo)時,(X)的最小值為 /(0)=1./. PQmin=.(HI)令(p(x) =

40、F(x) - F(-x) = ex - ex +2sinx-2ca.貝Ij cp(x) = ex + ex + 2cosx-2a. S(x) =(px) = ex -ex -2sin x.因為S (x) = ex + J - 2cos x N 0當.侖0時恒成立，所以函數(shù)S(x)在(),一)上單調遞增，.S(x)S(0)=0 當0,+g)時恒成立；因此函數(shù)9(x)在。，)上單調遞增，底(幻之0(0) = 4-2。當x0,+8)時恒成立.當 a0,(p(x)在0,+oo)單調遞增，即例x) *(0) = 0.故aF( - x)恒成立.例15 解：(I) (1)S(x) = a(x-)2 + +

41、b-a當0時，g*)在2, 3上為增函數(shù)g=2 = 02) = 59。 6。+ 2 + /? = 5=4。 4。+ 2 + /? = 2當。0H寸，g(x)在2, 3上為減函數(shù)g=2 =口2) = 29a-6a + 2 + b = 24。4。+ 2 + = 5a = -1b = 3b 14 = Z? = 0 gp g(x) = x2 -2a +1. f(x) = x+-2 .X(II)方程 / (2 *) - k 21 之?；癁?2 +，一 2 21 +(!)2-2!之七 令! = f，kr-2t + 2X 2X 2rVxe-14 ：.te-,2 記 2叭t) = t 2t + 1p(t)min =0 k 0(III)方