高斯求和講解

1、corpowion smndndiz£ion office QSOOQHHHHGXBQGNHHJS第3講高斯求和德國著名數(shù)學(xué)家高斯幼年時代聰明過人，上學(xué)時，有一天老師出了 一道題讓同學(xué)們計算：1 + 2 + 3+4 +99 + 100 =老師出完題后，全班同學(xué)都在埋頭計算，小高斯卻很快算出答案等 于5050。高斯為什么算得乂快乂準呢原來小高斯通過細心觀察發(fā)現(xiàn)：1 + 100 = 2+99 = 3+98 =49 + 52 = 30 + 51。1100正好可以分成這樣的50對數(shù)，每對數(shù)的和都相等。于是， 小高斯把這道題巧算為(1+100) X1004-2 = 5050o小高斯使用的這種求

2、和方法，真是聰明極了，簡單快捷，并且廣泛 地適用于“等差數(shù)列”的求和問題。若干個數(shù)排成一列稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為一項，其中第 一項稱為首項，最后一項稱為末項。后項與前項之差都相等的數(shù)列稱為 等差數(shù)列，后項與前項之差稱為公差。例如：(1) 1, 2, 3, 4, 5,，100；(2) 1, 3, 5, 7, 9,，99；(3) 8, 15, 22, 29, 36,，71。其中(1)是首項為1,末項為100,公差為1的等差數(shù)列；(2)是 首項為1,末項為99,公差為2的等差數(shù)列；(3)是首項為8,末項為 71,公差為7的等差數(shù)列。山高斯的巧算方法，得到等差數(shù)列的求和公式：和二(首項+末項)

3、X項數(shù)十2。例 1 1 + 2 + 3 + 1999 =分析與解：這串加數(shù)1, 2, 3,，1999是等差數(shù)列，首項是1,末項 是1999,共有1999個數(shù)。由等差數(shù)列求和公式可得原式二(1 + 1999) X 19994-2= 1999000c注意：利用等差數(shù)列求和公式之前，一定要判斷題H中的各個加數(shù) 是否構(gòu)成等差數(shù)列。例2 11 + 12+13 + 31 =分析與解：這串加數(shù)11, 12, 13,，31是等差數(shù)列，首項是11,末 項是 31,共有 31 -11 + 1=21 （項）。原式二（11+31） X21 2二441。在利用等差數(shù)列求和公式時，有時項數(shù)并不是一口了然的，這時就 需要先

4、求出項數(shù)。根據(jù)首項、末項、公差的關(guān)系，可以得到項數(shù)二（末項-首項）十公差+1，末項二首項+公差X （項數(shù)-1）。例3 3 + 7+11 + 99 =分析與解：3, 7, 11,，99是公差為4的等差數(shù)列，項數(shù)二（99一3） 4-4 + 1 = 25,原式二（3+99） X254-2 = 1275o例4求首項是25,公差是3的等差數(shù)列的前40項的和。解：末項二25 + 3X （40-1） =142,和二（25 + 142） X404-2 = 3340o利用等差數(shù)列求和公式及求項數(shù)和末項的公式，可以解決各種與等 差數(shù)列求和有關(guān)的問題。例5在下圖中，每個最小的等邊三角形的面積是12厘米2,邊長是1根

5、 火柴棍。問：（1）最大三角形的面積是多少平方厘米（2）整個圖形由 多少根火柴棍擺成分析：最大三角形共有8層，從上往下擺時，每層的小三角形數(shù)口 及所用火柴數(shù)LI如下表：層12345678小三角形柴數(shù)3691215182124由上表看出，各層的小三角形數(shù)成等差數(shù)列，各層的火柴數(shù)也成等 差數(shù)列。解：(1)最大三角形面積為(1 + 3 + 5 + 15) X12=(1 + 15) X84-2 X12= 768 (厘米 2) o(2)火柴棍的數(shù)LI為3 + 6+9+24=(3 + 24) X84-2=108 (根)。答：最大三角形的面積是768厘米-整個圖形由108根火柴擺成。例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里拿出一只球， 將它變成3只球后放回盒子里；第二次乂從盒子里拿出二只球，將每只 球各變成3只球后放回盒子里第十次從盒子里拿出十只球，將每只 球各變成3只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只乒乓球分析與解：一只球變成3只球，實際上多了 2只球。第一次多了 2只 球，第二次多了 2X2只球第十次多了 2X10只球。因此拿了十次 后，多了2X1+2X2 +2X10=2X (1 + 2 + 10)= 2X55 = 110 (只)。加上原有的3