二次函數(shù)知識點總結歸納及考查重點與常見題型

1、二次函數(shù)知識點歸納及考查重點與常見題型一、二次函數(shù)概念：1 .二次函數(shù)的概念：一般地，形如33.是常數(shù)，K0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)“工0,而人c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù).2 .二次函數(shù)-口?山*的結構特征:等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2.小4c是常數(shù)，是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，,是常數(shù)項.二、二次函數(shù)的基本形式1.二次函:基本形式:a的絕對值越大，拋物線的開口越小。U的符號開口方向頂點坐 標對稱軸性質(zhì)a0向上（0,。）、軸x0時，,隨J的增大而增大；A 0時，、隨I的增大而減小；x = 0時，T有最小值，.

2、a 0時，隨I的增大而減?。籄 0向上(0, C)y軸人0時，F(xiàn)隨I的增大而增大；A 0時，、隨】的增大而減?。粁 = 0時，T有最小值,.a0時，隨的增大而減?。籄 0向上（，。）X二 hx時，y隨I的增大而增大；xh 時，！隨的增大而減??；x = 時， J有最小值。.9a 時，、隨I的增大而減??；x0向上（力，k）X二hx時，隨】的增大而增大；xh 時，J隨的增大而減??；Xi時，V有最小值1 .a 0向下（，&）X二h時，隨的增大而減?。粁沿軸平移：向左（右）平移川個單位，變成_7VML!kA （或）四、二次函（75”:與 尸選心化的比較從解析式上看，廿N1歹”:與一vZ心*是兩種不同的表

3、達形式，后者通過配方可以得到前者，即心十？1 勺叫 其中/T，T I 2 74，2/4/五、二次函數(shù)一B也圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)上山長化為頂點式an5X,確 定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫 圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點（。，）、以及（。，0）關于對稱 軸對稱的點?，。、與.，軸的交點G，0）,（8，0）（若與、軸沒有交點，則取兩 組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與，軸的交點，與y軸 的交點.六、二次函數(shù)占心長的性質(zhì)1.當”。時，拋物線開口向上,對稱軸為-9頂點坐標為苣,”）.當時，隨

4、的增大而減??；當八-二時，V隨的增大而增大；當1 = lalala時，y有最小值如戈.4”2.當“o時，拋物線開口向下，對稱軸為頂點坐標為（4，生衛(wèi).當2a（ 2/4/ J*二時，J隨，的增大而減??；當時,2ala2ay有最大值即?.七、二次函數(shù)漏析式的表示方法1 . 一般式：（ fl , i C 為常數(shù)，工0）；2 .頂點式：資*; （n, A , i為常數(shù)，工0）;3 .兩根式：3咤（HO , X,八是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次 函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與.，軸有交點，即存y.N時，拋物 線的解析式才可以用交點式

5、表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互 化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1 .二次項系數(shù)d二次函數(shù)合5飛中，作為二次項系數(shù)，顯然 H0.（1）當“0時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小, 開口越大； 當“0的前提下，當0時，一20,即拋物線的對稱軸在I軸左側；U當=0時，包=0,即拋物線的對稱軸就是軸;2a當 0,即拋物線對稱軸在F軸的右側.2a在“0時，一斗0,即拋物線的對稱軸在1軸右側；LU當=0時，2=0,即拋物線的對稱軸就是軸；2a當0時，一20,在軸的右側則2但0,概括的說就是“左同右異”總結：3 .常數(shù)項,當c。時，拋物線與j軸的交點在，軸上方，即拋物線與

6、軸交點的縱坐標為正； 當c = 0時，拋物線與，軸的交點為坐標原點，即拋物線與，軸交點的縱坐標為Q ;當c0拋物線與工軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根 = 0拋物線與】軸 只有一個交 點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等 的實數(shù)根Ao時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:圖像參考:9y-2(x-3)2II十一、函數(shù)的應用剎車距離二次函數(shù)應用何時獲得最大利潤 最大面積是多少二次函數(shù)考查重點與常見題型1. 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：己知以X為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，貝h的值 是2. 綜合考查

7、正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習題的特點是在同一直角坐標系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如： 如圖，如果函數(shù)1石七的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)方的 圖像大致是（）3. 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關習題出現(xiàn)的頻率很高,習題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：己知一條拋物線經(jīng)過(0,3), (4, 6)兩點，對稱軸為一白 求這條拋物線 的解析式。4. 考查用配方法求拋物線的頂點坐標、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關試題為解答題，如：已知拋物線1(aWO)與X軸的兩個交點的橫坐標是一 1、3,與y軸交點的縱坐標是一32(1)確定拋物線的解析式；(2)用配方法確

8、定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.5. 考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。【例題經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例1 (1)二次函數(shù)尸口?山退的圖像如圖1,則點MS,口在() aA.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c (aWO)的圖象如圖2所示，則下列結論: a、b同號；當x=l和x=3時，函數(shù)值相等；4a+b=0；當尸-2時，x 的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a, b, c之間的關系，是解決問題的關鍵.例2.已知二次函數(shù)y=ax-+bx+c的圖

9、象與x軸交于點(-2, 0)、3，0),且lx2,與y軸的正半軸的交點在點(0, 2)的下方.下列結論：a0； 4a+c0,其中正確結論的個數(shù)為()A 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個答案：D會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例3.已知：關于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2,且二次函數(shù)y=ax+bx+c的對稱軸是直線x=2,則拋物線的頂點坐標為（）A(2, -3) B. (2, 1)C(2, 3) D. (3, 2)答案：C例4、（2006年煙臺市）如圖（單位：m）,等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿 直線L向正方形移動，直到AB與CD重合.設x秒時，三角形與正方形重疊 部分的面積為yn?./ p（1）寫出y與x的關系式；（2）當x=2, 3.5時，y分別是多少？（3）當重疊部分的面積是正方形面l 積的一半時，B c三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標、 對稱軸.例5、己知拋物線y= - x2+x-.（1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸.（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B,求線段AB的長.