模擬低通巴特沃斯濾波器

1、數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)報(bào)告 設(shè)計(jì)課題 模擬低通巴特沃斯濾波器 專業(yè)班級(jí) 姓 名 學(xué) 號(hào) 報(bào)告日期 2012年11月 數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)任務(wù)書題 目濾波器設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)學(xué)生姓名學(xué)號(hào)專業(yè)班級(jí)設(shè)計(jì)內(nèi)容與要求一、設(shè)計(jì)內(nèi)容：1 設(shè)計(jì)一個(gè)模擬低通巴特沃斯濾波器，技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率，通帶最大衰減；阻帶起始頻率，阻帶最小衰減，畫出其幅度譜和相位譜。二、設(shè)計(jì)要求1 設(shè)計(jì)報(bào)告一律按照規(guī)定的格式，使用A4紙，格式、封面統(tǒng)一給出模版。2 報(bào)告內(nèi)容 （1）設(shè)計(jì)題目及要求（2）設(shè)計(jì)原理 (包括濾波器工作原理、涉及到的matlab函數(shù)的說(shuō)明)（3）設(shè)計(jì)內(nèi)容（設(shè)計(jì)思路，設(shè)計(jì)流程、仿真結(jié)果）（4）設(shè)計(jì)總結(jié)（收獲和體會(huì)） （5）

2、參考文獻(xiàn) （6）程序清單起止時(shí)間2012年 12 月 3日 至 2011年 12月11 日指導(dǎo)教師簽名2011年 12月 2日系（教研室）主任簽名年 月 日學(xué)生簽名年 月 日 目錄1 課題描述.1 1.1 報(bào)告介紹.12 設(shè)計(jì)原理.1 2.1濾波器的分類.1 2.1 巴特沃斯低通模擬濾波器的設(shè)計(jì)原理.1 2.2低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下.2 2.3 函數(shù)說(shuō)明.3 2.3.1 buttord函數(shù).3 2.3.2 butter函數(shù).4 2.4 模擬低通濾波器的性能指標(biāo).53 設(shè)計(jì)內(nèi)容.6 3.1 MATLAB簡(jiǎn)介.6 3.2 巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟.6 3.3對(duì)巴特沃斯模擬低通濾波器的仿真

3、.64 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析.85 實(shí)驗(yàn)心得體會(huì).86.程序清單.87.參考文獻(xiàn).91 課題描述 1.1報(bào)告介紹 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已經(jīng)發(fā)展的相當(dāng)成熟，且有多種典型的濾波器供我們選擇，如巴特沃斯（butterworth）濾波器，切比雪夫（chebyshev）濾波器，橢圓（ellipse）濾波器，貝塞爾（bessel）濾波器等。這些濾波器都有著嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式，現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員使用，而且所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)都滿足電路實(shí)現(xiàn)條件。這些典型的濾波器各有特點(diǎn)：巴特沃斯濾波器具有單調(diào)下降到幅頻特性；切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在帶通或者阻帶有等波紋特性，可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特

4、性；橢圓濾波器的選擇性相對(duì)前三種是最好的，但通帶和阻帶內(nèi)均呈現(xiàn)等波紋幅頻特性，相位特性的非線性也稍嚴(yán)重。設(shè)計(jì)時(shí)，根據(jù)具體要求選擇濾波器的類型。2 設(shè)計(jì)原理 2.1 巴特沃斯低通模擬濾波器的設(shè)計(jì)原理巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)用下式表示： =公式中，N稱為濾波器的階數(shù)。在=0時(shí)，|Ha（j）|=1;=c時(shí),|Ha(j)|=1/， c是3dB截止頻率。在=c附近，隨加大，幅度迅速下降。幅度特性與和N的關(guān)，N越大，通帶越平坦，過(guò)渡帶越寬，過(guò)渡帶與阻帶幅度下降的速度越快，總是頻響特性與理想低通濾波器的誤差越小。 以S代替j,將幅度平方函數(shù)寫成s的函數(shù)：Ha（S）Ha(-S)=復(fù)變量S=+j,此公式

5、表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)Sk用下公式表示： Sk=公式中K=0,1,2 ，2N-1。2N個(gè)極點(diǎn)等間隔分布在半徑為c的圓上，間隔是/Nrad。為形成因果穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取S平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(S),而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-S)。Ha(S)的表達(dá)式為 Ha(S)=÷（S-Sk）設(shè)N=3,極點(diǎn)有六個(gè)，它們分別是S0= S1=- c S2= S3= S4=c S5=取S平面的左半平面的極點(diǎn)S0,S1,S2組成系統(tǒng)函數(shù)Ha(S),即Ha(S)=由于不同的技術(shù)指標(biāo)對(duì)應(yīng)的邊界頻率和濾波器幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)公式和圖表統(tǒng)一將頻率歸一化。巴特沃斯濾波器采用對(duì)

6、3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為令=，稱為歸一化頻率，稱為歸一化復(fù)變量，這樣的巴特沃斯濾波器的歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)為公式中，稱為歸一化極點(diǎn)，用下公式表示， k=0,1,N-1顯然， =這樣，只要根據(jù)技術(shù)指標(biāo)求出階數(shù)N,按照公式求出N個(gè)極點(diǎn)，再按得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)Ga(),如果給定c，再去歸一化，即將，代入中，便可得到期望設(shè)計(jì)的系統(tǒng)函數(shù)Ha(S)。 2.2低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：（1） 根據(jù)技術(shù)指標(biāo),用 求出濾波器的階數(shù)N。（2）按照 k=0,1,N-1 公式求出歸一化極點(diǎn)，將代入，得到歸一化低通原型系統(tǒng)函數(shù)。也可根據(jù)階數(shù)N直接查表得到。(3) 將去歸一化。將帶如

7、，得到實(shí)際的濾波器系統(tǒng)函數(shù)這里為3dB截止頻率，如果技術(shù)指標(biāo)沒(méi)有給出，可以由求出。 2.3 函數(shù)說(shuō)明2.3.1 buttord函數(shù) (1)N,wc=buttord(wp，ws，Rp，As)用于計(jì)算巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率wc。其中，調(diào)用參數(shù)wp，ws分別為數(shù)字濾波器的通帶、阻帶截止頻率的歸一化值，要求：0wp1，0ws1(1表示數(shù)字頻率pi)。當(dāng)wswp時(shí)，為高通濾波器；當(dāng)wp和ws為二元矢量時(shí)，為帶通或帶阻濾波器，這時(shí)wc也是二元向量。Rp，As分別為通帶最大衰減和組帶最小衰減（dB）。 N，wc為butter函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。 (2)N,c=buttord(p，s，Rp，A

8、s，s) 用于計(jì)算巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和3dB截止頻率c。其中，p，s，c均為實(shí)際模擬角頻率。 說(shuō)明：buttord函數(shù)使用阻帶指標(biāo)計(jì)算3dB截止頻率，這樣阻帶會(huì)剛好滿足要求，而通帶會(huì)有富余。2.3.2 butter函數(shù) (1)B，A=butter（N，wc，ftype） 計(jì)算N階巴特沃斯數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量B、A。其中，調(diào)用參數(shù)N和wc分別為巴特沃斯數(shù)字濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率的歸一化值（關(guān)于歸一化），一般是調(diào)用buttord(1)格式計(jì)算N和wc。系數(shù)B、A是按照z-1的升冪排列。 (2)B，A=butter（N，c，ftype，s） 計(jì)算巴特沃斯模擬濾波

9、器系統(tǒng)函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)向量B、A。其中，調(diào)用參數(shù)N和c分別為巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)和3dB截止頻率(實(shí)際角頻率)，可調(diào)用buttord(2)格式計(jì)算N和c。系數(shù)B、A按s的正降冪排列。 tfype為濾波器的類型：ftype=high時(shí)，高通；c只有1個(gè)值。ftype=stop時(shí)，帶阻阻；此時(shí)c=cl,cu，分別為帶阻濾波器的通帶3dB下截止頻率和上截止頻率。ftype缺省時(shí)，若c只有1個(gè)值，則默認(rèn)為低通；若c有2個(gè)值，則默認(rèn)為帶通；其通帶頻率區(qū)間cl < < cu。所設(shè)計(jì)的帶通和帶阻濾波器系統(tǒng)函數(shù)是2N階。因?yàn)閹V波器相當(dāng)于N階低通濾波器與N階高通濾波器級(jí)聯(lián)。 2.4

10、 模擬低通濾波器的性能指標(biāo)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有，和，其中和分別稱為通帶邊界頻率和阻帶截止頻率。 稱為通帶最大衰減（中允許中的最大衰減系數(shù)），是阻帶最小衰減（即阻帶上允許的最小值)，和一般用dB表示。對(duì)于單調(diào)下降的幅度特性，可表示成： （2-1） （2-2）如果=0處幅度已歸一化為一，即，和表示為 （2-3） （2-4）以上技術(shù)指標(biāo)用圖2.2表示，圖中稱為3dB 截止頻率，因,-20 10.7070圖2.2 低通濾波器的幅度特性濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定以后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)和，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此 = (2-5)如果能由，求出，那么就可以求

11、出所需的，對(duì)于上面介紹的典型濾波器，其幅度平方函數(shù)有自己的表達(dá)式，可以直接引用。這里要說(shuō)明的是必須是穩(wěn)定的。因此極點(diǎn)必須落在s平面的左半平面，相應(yīng)的的極點(diǎn)落在右半平面。這就是由求所需要的的具體原則，即模擬低通濾波器的逼近方法。因此幅度平方函數(shù)在模擬濾波器的設(shè)計(jì)中起著很重要的作用。3 設(shè)計(jì)內(nèi)容 3.1 MATLAB簡(jiǎn)介 MATLAB軟件包括基本部分和專業(yè)擴(kuò)展部分。基本部分包括:矩陣的運(yùn)算和各種變換、代數(shù)和超越方程的求解、數(shù)據(jù)處理和傅里葉變換、數(shù)值積分等等.專業(yè)擴(kuò)展部分稱為工具箱.它實(shí)際上是用MATLAB的基本語(yǔ)句編成的各種子程序集，用于解決某一方面的專門問(wèn)題，或?qū)崿F(xiàn)某一類的新算法。易擴(kuò)展性是MA

12、TLAB最重要的特點(diǎn)，每一個(gè)MATLAB用戶都可以成為對(duì)其有貢獻(xiàn)的人。在MATLAB的發(fā)展過(guò)程中，許多科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、工程技術(shù)人員用它開發(fā)出了一些新的、有價(jià)值的應(yīng)用程序，所有的程序完全不需要使用低層代碼來(lái)編寫。通過(guò)這些工作，已經(jīng)發(fā)展起來(lái)的工具箱有控制系統(tǒng)、信號(hào)處理、圖像處理、系統(tǒng)辨識(shí)、模糊集合、神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)、小波分析等20余個(gè)。如果使用MATLAB來(lái)開發(fā)光學(xué)方面的應(yīng)用程序，在不久的將來(lái)，也可能出現(xiàn)專門用來(lái)解決光學(xué)問(wèn)題的工具箱。 3.2 巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟（1）給定模擬濾波器的性能指標(biāo)，如截止頻率或上、下邊界頻率等。（2）確定濾波器階數(shù)（3）設(shè)計(jì)模擬低通原型濾波器。（4）按頻率變換設(shè)計(jì)模擬濾

13、波器（低通、高通、帶通、帶阻）。 3.3對(duì)巴特沃斯模擬低通濾波器的仿真技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率，通帶最大衰減；阻帶起始頻率，阻帶最小衰減，畫出其幅度譜和相位譜。設(shè)計(jì)程序如下Wp=2*pi*5000; Ws=2*pi*10000; Rp=3; As=30; %設(shè)置濾波器參數(shù)N,Wc=buttord(Wp,Ws,Rp,As,'s'); %計(jì)算濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率wcB,A = butter(N,Wc,'s'); %求傳遞函數(shù)k=0:511;fk=0:14000512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);subplot(2,1,1

14、);plot(fk,20*log10(abs(Hk); grid ontitle('巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性'); xlabel('頻率/Hz'); ylabel('幅度/db') axis(0,14000,-40,5) subplot(2,1,2);plot(wk,angle(Hk);grid ontitle('巴特沃斯低通濾波器的相頻特性'); xlabel('頻率/Hz'); ylabel('相位/rad')4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析 技術(shù)要求其通帶截止頻率為5KHZ,通帶最大衰減為3dB,阻帶起始

15、頻率為10KHZ,阻帶最小衰減30dB,畫出其幅度和相位圖。由幅頻曲線和相位曲線可以看出，巴特沃斯濾波器擁有最平滑的頻率響應(yīng)，在截?cái)囝l率以外，在阻帶中響應(yīng)為0。在截?cái)囝l率處有3dB的衰減。巴特沃斯濾波器除了具有單調(diào)平滑遞減的頻率響應(yīng)的優(yōu)點(diǎn)之外，其過(guò)渡帶的陡峭程度正比于濾波器的階數(shù)。高階巴特沃斯濾波器的頻率響應(yīng)近似于理想低通濾波器。5 實(shí)驗(yàn)心得體會(huì) 通過(guò)這次實(shí)驗(yàn)，明白了數(shù)字濾波器的基本概念，即指輸入，輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過(guò)數(shù)值運(yùn)算處理改變輸入信號(hào)所含頻率成分的相對(duì)比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件或程序。了解數(shù)字濾波器的分類，技術(shù)指標(biāo)。知道模擬濾波器的簡(jiǎn)單設(shè)計(jì)方法，簡(jiǎn)單運(yùn)用巴特沃斯濾波器，它具

16、有單調(diào)下降的幅頻特性。模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)參數(shù)有。掌握巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)原理，即根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)求階數(shù)N和3dB截止頻率的過(guò)程。了解如何MATLAB工具函數(shù)設(shè)計(jì)巴特沃斯濾波器。通過(guò)這次數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)，我對(duì)教材中所學(xué)知識(shí)有了更深的理解和認(rèn)識(shí)，教材中的基本定理和原理對(duì)我的設(shè)計(jì)起到了很好的指導(dǎo)作用，同時(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)用了數(shù)字信號(hào)處理軟件Matlab，。通過(guò)了解所要編程運(yùn)行的對(duì)象的原理，我學(xué)會(huì)了熟練運(yùn)用其基本功能。這次的課程設(shè)計(jì)對(duì)每一個(gè)人來(lái)說(shuō)都是一個(gè)不斷學(xué)習(xí)，挑戰(zhàn)的過(guò)程。從一開始看書，上課聽老師講授知識(shí)，自己查閱資料，編寫運(yùn)行程序，每一次都是提高自己的過(guò)程。讓我們將所學(xué)用于實(shí)踐，明白數(shù)字信號(hào)處理的

17、用途，也加深了對(duì)MATLAB軟件的學(xué)習(xí)及運(yùn)用。讓我們明白，所學(xué)的知識(shí)不應(yīng)局限于課堂，更應(yīng)該提高自己的自主學(xué)習(xí)能力，不斷地提高自己，把握每一次實(shí)驗(yàn)的機(jī)會(huì)，好好的鍛煉自己的動(dòng)手動(dòng)腦能力。同時(shí)，還要提高自己對(duì)MATLAB軟件的運(yùn)用能力。6.程序清單Wp=2*pi*5000; Ws=2*pi*10000; Rp=3; As=30; %設(shè)置濾波器參數(shù)N,Wc=buttord(Wp,Ws,Rp,As,'s'); %計(jì)算濾波器階數(shù)N和3dB截止頻率wcB,A = butter(N,Wc,'s'); %求傳遞函數(shù)k=0:511;fk=0:14000512:14000;wk=2*pi*fk;Hk=freqs(B,A,wk);subplot(2,1,1);plot(fk,20*log10(abs(Hk); grid ontitle('巴特沃斯低通濾波器的幅頻特性'); xlabel('頻率/Hz'); ylabel('幅度/db') axis(0,14000,-40,5) subplot(2,1