傳染病模型SISIRSIS

1、精品文檔10數(shù)學模型實驗一實驗報告學院：實驗時間：名：姓專 業(yè):實驗地點：學號:一、實驗項目：傳染病模型求解二、實驗目的和要求求解微分方程的解析解a.求解微分方程的數(shù)值解b.三、實驗內(nèi)容問題的描述建立傳染病的數(shù)學模型來描述傳染病的的傳播過各種傳染病給人類帶來的巨大的災難，長期以來,一直是各國有關專家和官員關注的課探索制止傳染病蔓延的手段等，程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，題。種建立成功分別對 3在此以一般的傳播機理建立幾種不同類型傳染病有各自不同的特點，3模型。的模型進行模型分析，便可以了解到該傳染病在人類間傳播的大概情況。:SI模型一（模型）精品文檔.精品文檔)模型假設(1這兩類人在總人數(shù)中所

2、時刻t在疾病傳播期內(nèi)所考察地區(qū)的總人數(shù)N不變，人群分為健康人和病人，1.)。)和i (t占比例為s (t成為日接觸率，當病人與健康者有效接觸時，可使其，a2.每個病人每天有效接觸的平均人數(shù)是常數(shù)a患病。)建立模型2 (aNs,所以每天共有(t) (t)個健康人變成病人，t時刻病人數(shù)為 Ni根據(jù)假設，每個病人每天 可使 as Ndi/dt=aNsi)個健康者被感染，即病人的增加率為：(t (t) i=1t) (t) +i又因為si0t=0時病人的比例為再記時刻則建立好的模型為：di)i(1 ai _ dti(0)=i0(代碼、計算結果或輸出結果)模型求解(3時t=0 :健康人比例， 比例，的值s

3、i0 :病人比例在：日接觸率，syms a i t i0% ai:病人i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');3,0.02);ezplot(y,0,100)figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);精品文檔.精品文檔plot(i,y)Figure 2Fil& Edi tInsert Tools Besktop Window Help。聲扇昌fe 踮詞國i面ft a.1 xinserxnesKXop rLinadw fjexpcsi昌q俄ac

4、4;裝圖口SI模型的it曲線SI模型的di/dt-i 曲線(4)結果分析由上圖可知，在i=0:1內(nèi)，di/dt總是增大的，且在 i=0.5時，取到最大值，即在 t->inf 時, 所有人都將患病。上述模型顯然不符合實際，為修正上述結果，我們重新考慮模型假設，建立SIS模型模型二(SIS模型)(D(2)模型假設假設條件1.2與SI模型相同；3.每天被治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為常數(shù) 的健康者。顯然1/u是平均傳染期。u,成為日治愈率，病人治愈后成為仍可被感染(2)模型建立病人的增加率：Ndi/dt=aNsi-uNi且 i (t) +s(t)=1 ；則有：di/dt=ai(1-i)-ui在

5、此定義k=a/b ,可知k是整個傳染傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)，成為接觸數(shù)精品文檔.精品文檔：則建立好的模型為di )k1 1/i ai (_ dti(0)=i0;)(3(代碼、計算結果或輸出結果)模型求解(4時的值i0 :病人比例在t=0 :病人比例，>> syms a i u t i0 % a:日接觸率，iu :日治愈率，解析式 i t>> dsolve('Di=a*i*(1-i)-u*i','i(0)=i0','t')%求用 u 表示的:接觸數(shù) >> syms k% k>> k=a/u

6、;解析式 t 求用 k 表示的 i>> i=dsolve('Di=-a*i*i+a*i*(1-1/k)','i(0)=i0','t') %i0指定特殊值，作出相關圖像k、a、%給0.3,0.02);%k>1的情況，以k=2為例>> ezplot(y,0,100)>>pause%作i t圖，分析隨時間t的增加，i的變化>> gtext('1/k')>>legend('k>1 本例中 k=2')>>figure>> i=st

7、r2double(i);>> i=0:0.01:1;>> y=-0.3*i.*i-1/2;>> plot(i,y)作di/dt i的圖像> > gtext('1-1/k, 在此圖中為 0.5')> > legend('k=2')精品文檔. 精品文檔8,0.3,0.02);% k<1 的情況，以 k=0.8 為例> > ezplot(y,0,100)%作it圖，分析隨時間t增加，i的變化> > legend('k<1 本例中 k=0.8')>>

8、;figure>> i=str2double(i);>> i=0:0.01:1;>> y=-0.3*i.*i-(1-1/0.8);>> plot(i,y)%作 di/dt i 的圖像>> legend('k=0.8')>> gtext('k<=1 時的情況)File Edit View Insert Took Desktop Window Helpd t# w iT 線 5 等- bSIS模型的di/dt i曲線 （k>1）SIS 模型的i t曲線（k>1）精品文檔.精品文檔)t曲

9、線(k<1i曲線 (k<1) SIS 模型的iSIS模型的di/dt(4)結果分析的大小，但其極限值i0i (t)的增減性取決于不難看出，接觸數(shù) k=1是一個閾值，當k>1時，這是由于傳染 0 (t)越來越小，最終趨于 尸1-1/k隨k的增加而增加；當 k<=1時，病 人比例ii( 8期內(nèi)經(jīng)有效解除從而使健康者變?yōu)榈牟∪藬?shù)不超過原來病人數(shù)的緣故。模型三.SIR模型(1)模型假設1.t三類人在總人模型。時刻N2.總人數(shù)不變，人群分為健康者、病人和病愈免疫的移出者三類，稱SIR)tr()(tS(t),i中占得比例分別記作N。和數(shù)3./ o模型相同)(與SI4.病人的日接觸率

10、為，日治愈率為，傳染期接觸數(shù)為2 )模型建立(顯然有1由假設1 t)t r()( ts()i (1)對于病愈免疫的移出者而言應有 精品文檔.精品文檔dr NiN 出)(2,則)(不妨設移出者的初始值r0=0再記初始時刻的健康者和病人的比例分別是s0(s0>0)和i0(i0>0)模型的方程可以寫作SIRdi t) ,i (si 0i _ 0 dt ds s) s( 0si, _ 0dt )(3模型求解(3)我們無法求出解析解，先做數(shù)值計算：980.0) (0() 0.02,s3 1, 0.,i 設軟件編程：MATLAB 用)t , xfunction y=ill ( a=1;b=0.

11、3;y=a*x(1)*x(2)-b*x(1), -a*x(1)*x(2)'ts=0:50;x0=0.02,0.98;t,x=ode45('i11',ts,x0);t,xplot(t,x(:,1),t,x(:,2),grid,pauseplot(x(:,2),x(:,1)1的數(shù)值計算結果表)sti(),(t精品文檔.精品文檔8 2 6 4 3 7 t 0 5 10.3247 0.0732 0.3312 0.2795 0.0200 0.2033 0.3444 0.0390 0.1285i(t)s(t)0.98000.95250.90190.81690.60270.54380

12、.39950.28390.2027t91015202530354045i(t)0.2863 ().2418 0.0787 0.0223 0.00()1 0.00170.00050.0001 0s(t)0.1493 ().1145 0.0543 0.0434 0.04()8 0.04010.03990.0399 0.0398Fil白 Edi t Wi aw Istsfer t Tcolg Desktop WiiidLbw H電工pK-W!K!' " 一"A - f田口昌fe致電格旻 E 回圖形(相軌線)的圖形isyts(t),4 )結果分析()i(s,)i(t),s(

13、ttsi沿軌線自右向左運動。的增加，的圖形見右圖，的圖形見左 圖，稱為相軌線，隨著)ti()(stt 0; t ,7 t則單調(diào)1由上圖結合表可知，由初值增長至約時達到 最大值，然后減少，03980. ,s t減少。進行相軌線分析，可得：D i),(sis平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域為 1 i0,si, |ts D(,)s0dt )中消去在方程(3,并注意到的定義，可得 精品文檔.精品文檔di1 1i| i sdt0ss(4,)0容易求出它的解為 slln i) si (s00 s(5)0在定義域D內(nèi)，上式表示的曲線即為相軌線is,00 1.不論初始條件如何，病人終將消失， 即0i

14、6)( drds00 I1) r(ts(t) 0rsdtdt存在，故存在；由(2),而其證明如下，首先，由( 3),而故 dr rtdt2有，對于充分大的，這將導致，與1存在相矛盾。 再由()ss0i 2.最終未被感染的健康者的比例是得到，在(5)式中令是方程s1 0lnss i00 s )(7。)1/1/0)(,(0, ss在軸在內(nèi)的根。在圖形上，內(nèi)交點的橫坐標。是相軌線與/ 1s)i(ti(t) /s 10 ,則3.若達到最大值先增加，當時， 1 )s(1 lni s i 000 8 )()ts(t)(is減小且趨近于0,則單調(diào)減小至。然后/s 1)i)(ti(t)s(ts0有一段增長的時期才若。如果僅當病人比例單調(diào)減少至0,則單調(diào)減少至 4.s/ 1 s1 /100)時傳染病就會蔓延。而減小s/ s1/1 /I00,傳染病就不會蔓延（健康者傳（即認為傳染病在蔓延，那么是一個閾值，當比例的（即，使得）染期接觸數(shù)，即提高閾值SS30是一定的，通?？烧J為）接近初始值 1。i/s1 S m0降低，也增加（通過作圖分析）式可以看出，8并且，即使減少時，（），從（7,/越小；醫(yī)療水平控制了蔓延的程度，我們注意到，在中，人們的衛(wèi)生水平越高，日接觸率精品文檔. 精品文檔越小，所以提