完整版認(rèn)識平面幾何的61個著名定理

1、【認(rèn)識平面幾何的 61個著名定理，自行畫出圖形來學(xué)習(xí)，部分要求證明出來】 1、勾股定理（畢達哥拉斯定理） 2、射影定理（歐幾里得定理） 3、三角形的三條中線交于一點，并且，各中線被這個點分成2: 1的兩部分4、四邊形兩邊中心的連線和兩條對角線中心的連線交于一點 、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。 6、三角形各邊的垂直平分線交于一點。 7、從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線交于一點 、設(shè)三角形 ABC的外心為 O,垂心為H,從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足不 L,則AH=2OL 、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。 0、（九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓）三角形中，三邊

2、中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以 及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上， 1、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上 2、庫立奇大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓。 13、（內(nèi)心）三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，內(nèi)切圓的半徑公式：fs a s b s cr s, s為三角形周長的一半;s 14、（旁心）三角形的一個內(nèi)角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交于一點15、中線定理：（巴布斯定理）設(shè)三角形ABC的邊BC的中

3、點為P,則有AB2+AC2=2（AP2+BP2）16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC分成m和n兩段，則有n>B2+mXAC2=BCX （AP2+mn） 7、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接 AB中點M和對角線交點E的直線垂直于CD 8、阿波羅尼斯定理：到兩定點 A、B的距離之比為定比 m:n （值不為1）的點P,位于將線段 AB分 成m:n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上 19、托勒密定理：設(shè)四邊形 ABCD內(nèi)接于圓，則有 ABX CD+AD BC=AC BD 20、以任意三角形 ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是 30度的

4、等腰4 BDC、 CEA、AAFB ,則 DEF是正三角形，21、愛爾可斯定理1:若 ABC和4DEF都是正三角形，則由線段 AD、BE、CF的重心構(gòu)成的三角 形也是正三角形。22、愛爾可斯定理 2:若ABC、ADEF> AGHI都是正三角形，則由三角形 ADG、 BEH、 CFI 的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。 23、梅涅勞斯定理：設(shè) ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線 的交點分別為 P、Q、R則有BP/PCX CQ/QA< AR/RB=1 24、梅涅勞斯定理的逆定理：（略） 25、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1 :設(shè) ABC的/ A的外角平分線交邊

5、CA于Q、/ C的平分線交邊AB于R,、/ B的平分線交邊 CA于Q,則P、Q、R三點共線。 26、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理 2:過任意 ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別 和BC、CA、AB的延長線交于點 P、Q、R,則P、Q、R三點共線 27、塞瓦定理：設(shè) ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊 BC、CA、AB或它們的延長線交于點 P、Q、R,則BP/PCXCQ/QA< AR/RB=1. 28、塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于ABC的邊BC的直線與兩邊 AB、AC的交點分別是 D、E,又設(shè)BE和CD交于S,則AS 一

6、定過邊 BC的中心 M 29、塞瓦定理的逆定理：（略） 30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1:三角形的三條中線交于一點 31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2:設(shè) ABC的內(nèi)切圓和邊 BC、CA、AB分別相切于點 R、S、T,則AR、BS、CT交于一點。 32、西摩松定理：從 ABC的外接圓上任意一點 P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其 垂足分別是D、E、R,則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線） 33、西摩松定理的逆定理：（略）34、史坦納定理：設(shè) ABC的垂心為H,其外接圓的任意點 P,這時關(guān)于 ABC的點P的西摩松線 通過線段PH的中心。35、史坦納定理的應(yīng)用定理： ABC的外接

7、圓上的一點 P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對稱點和 ABC 的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上。這條直線被叫做點P關(guān)于 ABC的鏡象線。36、波朗杰、騰下定理：設(shè) ABC的外接圓上的三點為 P、Q、R,則P、Q、R關(guān)于 ABC交于一點 的充要條件是：弧 AP+弧BQ+弧CR=360 °的倍數(shù)37、波朗杰、騰下定理推論 1:設(shè)P、Q、R為4ABC的外接圓上的三點，若 P、Q、R關(guān)于 ABC的 西摩松線交于一點，則 A、B、C三點關(guān)于 PQR的的西摩松線交于與前相同的一點38、波朗杰、騰下定理推論 2:在推論1中，三條西摩松線的交點是 A、B、C、P、Q、R六點任取三 點所作的三角

8、形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點。39、波朗杰、騰下定理推論 3:考查 ABC的外接圓上的一點 P的關(guān)于 ABC的西摩松線，如設(shè) QR 為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關(guān)于 ABC的西摩松線交于一點40、波朗杰、騰下定理推論 4:從 ABC的頂點向邊 BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是 D、E、F, 且設(shè)邊BC、CA、AB的中點分別是 L、M、N,則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時 L、M、 N點關(guān)于關(guān)于 ABC的西摩松線交于一點。41、關(guān)于西摩松線的定理 1: ABC的外接圓的兩個端點 P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直， 其交點在九

9、點圓上。42、關(guān)于西摩松線的定理 2 （安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點。43、卡諾定理：通過 ABC的外接圓的一點 P,引與 ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角 的直線PD、PE、PF,與三邊的交點分別是D、E、F,則D、E、F三點共線。44、奧倍爾定理：通過 ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與ABC的外接圓的交點分別是L、M、N,在 ABC的外接圓取一點 P,則PL、PM、PN與 ABC的三邊BC、CA、AB或其延 長線的交點分別是 D、E、F,則D、E、F三點共線。45、清宮定理：設(shè) P

10、、Q為4ABC的外接圓的異于 A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊 BC、CA、AB 的對稱點分別是 U、V、W,這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是 D、E、F, 則D、E、F三點共線。46、他拿定理：設(shè) P、Q為關(guān)于 ABC的外接圓的一對反點，點 P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱 點分別是U、V、W,這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為 ED、E、F, 則D、E、F三點共線。（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果 OC2=OQX OP則稱 P、Q兩點關(guān)于圓?；榉袋c）47、朗古來定理：在同一圓同上有 A1B1C1D

11、14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P,作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從 P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。48、從三角形各邊的中點，向這條邊所的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九 點圓的圓心。49、一個圓周上有n個點，從其中任意 n-1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線 都交于一點。50、康托爾定理1: 一個圓周上有n個點，從其中任意 n-2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線 共點。51、康托爾定理2: 一個圓周上有 A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關(guān)于四個三角形 BCD、ACDA > ADAB> AB

12、C中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。52、康托爾定理3: 一個圓周上有 A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形 ABCD的康托爾線、L、N兩點的關(guān)于四邊形 ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于四邊形 ABCD的康托 爾線交于一點。這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形 ABCD的康托爾點。53、康托爾定理 4: 一個圓周上有 A、B、C、D、E五點及 M、N、L三點，則 M、N、L三點關(guān)于四 邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。55、莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三 個交點可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。56、牛頓定理1:四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。 這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。57、牛頓定理2:圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。58、笛沙格定理1 :平面上有兩個三角形 ABC、ADEF,設(shè)它們的對應(yīng)頂點（A和D、B和E、C和 F）的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交