平面幾何四大神奇定理

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案平面幾何四個(gè)重要定理四個(gè)重要定理梅涅勞斯(Menelaus) 定理(梅氏線)ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上有點(diǎn) P、Q、RP CQ AR則P、Q、R共線的充要條件是BP CQ AR 1。PC QA RR塞瓦(Ceva)定理(塞瓦點(diǎn))ABC 的三邊 BC、CA、AB 上有點(diǎn) P、Q、R,則 AP、BQ、CR共點(diǎn)的充要條件是里出空J(rèn)PC QA RB托勒密(Ptolemy) 定理四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是 該四邊形內(nèi)接于一圓。p西姆松(Simson)定理(西姆松線)從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是 文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案該點(diǎn)落在三角形的外接圓

2、上。例題:1 . 設(shè)AD是GABC的邊BC上的中線,證:AE 2AFoED FBAECEF 截 AABD EDDCCBBFFA也可以添加輔助線證明:A、1 （梅氏定理）直線CF交ADB、D之一作行線。2 .過那BC的重心G的直線分別交交CB于D。求證：在CFEA FAAB、AC 于【分析】連結(jié)并延長AG交BC于MM為BC的中點(diǎn)。DEG 截AABMDGF 截AACMBEEA CF FAAGGM AG GMMD DB MD DC（梅氏定理）（梅氏定理）BE CFEA FAGM (DB DC)AG MDGM 2MD =12GM MD【評注】梅氏定理文檔【評注】梅氏定理4 .以祥BC各邊為底邊向外作相

3、似的等腰BCE、3AF、E文檔ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點(diǎn)。實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案3. D、E、F 分別在 4ABC 的 BC、CA、AB 邊上,BD AF CEBE、CF 交成LMN 。,AD、DC FB EA求 S/LMN。【分析】實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【評注】塞瓦定理5,已知4ABC 中，/B=2 /C。求證：AC2 =AB 2+AB BC?！痉治觥窟^ A作BC的平行線交 ABC的外接圓于D ,連結(jié)BD。貝U CD=DA=AB , AC=BD 。由托勒密定理， AC BD=AD BC+CD AB。6 .已知正七邊形 AiA2A3A4A5A6A7。1求證：A1A21A1A3131A1A4。（第21

4、屆全蘇數(shù)學(xué)競賽）【評注】托勒密定理文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案P,作 PE【評注】托勒密定理7. MBC的BC邊上的高AD的延長線交外接圓于XAB于E,延長ED交AC延長線于F。求證：BC EF=BF CE+BE CF。文檔【評注】西姆松定理（西姆松線）8. 正六邊形ABCDEF的對角線AC、CE分別被內(nèi)分點(diǎn) M、N分成的比為 AM : AC=CN : CE=k，且B、M、N共線。求 k。(23-IMO-5 )實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【分析】【評注】面積法9. O為AABC內(nèi)一點(diǎn)，分別以 da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距離，以 Ra、Rb、Rc表示O至U A、B、C 的距離。求證：(1) a Ra>

5、b db+c dc；(2) a Ra>c d b+b d c；(3) Ra+Rb+Rc >2(d a+d b+d c)?！痉治觥俊驹u注】面積法文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案10 .9BC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。求證：H、G、O三點(diǎn)共線，且 HG=2GO 。（歐拉線）【評注】同一法11 .AABC 中，AB=AC , AD，BC 于 D , BM、BN 三等分/ABC ,與AD相交于 M、N ,延長 CM 交AB于E。求證：MB/NE 。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【評注】對稱變換12 .G是那BC的重心，以AG為弦作圓切 BG于G ,BC延長CG交圓于 D。求證：AG2=GC GDo【評注】平

6、移變換文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案13 . C是直徑 AB=2 的。O上一點(diǎn)，P在那BC內(nèi)，若PA+PB+PC 的最小值是 J7 ,求此時(shí)4ABC的面積So【評注】旋轉(zhuǎn)變換點(diǎn),求證：費(fèi)馬點(diǎn)：已知O是那BC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB= ZBOC= ZCOA=120;P是那BC內(nèi)任C'文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案分析將 C R（B，60°）C, O R（B，60°）O, , P R（B，6°0）P1,連結(jié) OO,、PP'o則AB OO'、AB PP'都是正三角形。.OO'=OB , PP' =PB 。顯然BO'C'0/BOC , ABP&

7、#39;C'zBPC。由于/BO'C'= ZBOC=12° =180 -ZBO'O ,，A、O、O'、C'四點(diǎn)共線。.AP+PP'+P'C' *C'=AO+OO'+O'C',即 PA+PB+PC >OA+OB+OC14 . （95全國競賽）菱形ABCD的內(nèi)切圓 O邊分別交于 E、F、G、H,在弧EF和弧GH另I作。O的切線交 AB、BC、CD、DA分別于N、P、Q。求證：MQ/NP ?！痉治觥坑葾B /CD知：要證MQ /NP ,只需證/ AMQ= ZCPN ,結(jié)合/A= Z

8、C知，只需證AMQ s£pn文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案AM CP,AM CN=AQ CP。AQ CN連結(jié)AC、BD,其交點(diǎn)為內(nèi)切圓心O。設(shè)MN與O O切于K,連結(jié)OE、OM、OK、ON、 OF。iEZABO= （H ZMOK= a, ZKON= 3,貝UZEOM= a, ZFON= 3, ZEOF=2 a+2 3=180 -2（）。ZBON=90 - ZNOF- ZCOF=90 -伊 檸 aZAOMZCNO= ZNBO+ ZNOB= （f）+ZAOE+ ZMOE=又/OCN= /MAO , /.ZOCNZMAO ,于曰AM COAO cN，.AM CN=AO CO同理，AQ CP=AO CO。

9、15 . （96全國競賽）0Oi和。O2與AABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，EG、FH的延長線交 于P。求證：PAXBCoE BDC F文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案【評注】16. （99全國競賽）如圖，在四邊形 ABCD中，對角線 AC 平分/BAD 。在CD上取一點(diǎn)E, BE與AC相交于F,延長DF 交 BC 于 G。求證：/ GAC= /EAC。證明：連結(jié)BD交AC于Ho對ABCD用塞瓦定理，可得 CG 史匹 iGB HD EC因?yàn)锳H是/BAD的角平分線，由角平分線定理,可得BHHDAB j CG AB DE一，故 1。AD GB AD EC過C作AB的平行線交 AG的延長線于I,

10、過C作AD的平行線交AE的延長線于Jo口" CGCIDEAD貝 U一一,一一，GBABECCJCI AB AD ，一所以1,從而 CI=CJ 。AB AD CJ文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案又因?yàn)?CI/AB , CJ/AD ,故/ACI=兀-/BAC=兀-/DAC= /ACJ。即/GAC= ZEACo因此，ACIzACJ,從而/ IAC= /JAC,已知 AB=AD , BC=DC ,交于O ,過O的任意兩條直線與四邊形ABCD的四邊交于連結(jié)GF、EH,分別交BD于證：OM=ON 。（5 屆 CMO ）證明：作AEOHS(AC)在'OH',則只需證E'、H,共線,E

11、9;H'、BO、GF線共點(diǎn)。記/BOG=a , J3OE'= 3。連結(jié) E'F 交 BO 于 K。只需證E'GGBBH'H'FFK=1 KE'（Ceva逆定理)。E'G BH'GB H'FFK _ S OE'G S OBH ' S OFK _ OE'sin KE ' S OGB S OH 'F S OKE' OBsinOBsinOFsinOF=1OE'注：箏形：一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形。然成立。對應(yīng)于99聯(lián)賽2: ZE'OB= /FOB,

12、且E'H'、GF、BO三線共點(diǎn)。求證：/ GOB= ZH'OB 。事實(shí)上，上述條件是充要條件， 且M在OB延長線上時(shí)結(jié)論仍文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案證明方法為：同一法。蝴蝶定理：P是OO的弦AB的中點(diǎn)，過 P點(diǎn)引。O的兩弦CD、EF,連結(jié)DE交AB于M ,連結(jié)MP=NP 。CF交AB于N。求證:【分析】設(shè)GH為過P的直徑，F(xiàn) S(GH) F'F ,顯然C。O。又P C GH , . PF'=PF。.PF S(GH) PF', PA S(GH) PB,ZFPN= ZF'PM , PF=PF'。,.P、M、D、F'四點(diǎn)共圓。./ PF'M= /PDE=/PFN。又 FF'GH, AN ±GH , ，F(xiàn)F'/AB。ZF'PM+ ZMDF'= ZFP