時間序列分析講義第章差分方程

1、第一章差分方程差分方程是連續(xù)時間情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是時間序列方法的基 礎(chǔ)，也是分析時間序列動態(tài)屬性的基本方法。經(jīng)濟時間序列或者金融時間序列方法主要處 理具有隨機項的差分方程的求解問題，因此，確定性差分方程理論是我們首先需要了解的 重要內(nèi)容。§ 1.1 一階差分方程假設利用變量以表示隨著時間變量t變化的某種事件的屬性或者結(jié)構(gòu)，則 yt便是在時 間t可以觀測到的數(shù)據(jù)。假設yt受到前期取值y和其他外生變量wt的影響，并滿足下述方 程：yt0 1yti wt(1.1)在上述方程當中，由于yt僅線性地依賴前一個時間間隔自身的取值 yti,因此稱具有 這種結(jié)構(gòu)的方程為一階線性

2、差分方程。如果變量wt是確定性變量，則此方程是確定性差分 方程；如果變量wt是隨機變量，則此方程是隨機差分方程。在下面的分析中，我們假設Wt是確定性變量。例1.1貨幣需求函數(shù) 假設實際貨幣余額、實際收入、銀行儲蓄利率和商業(yè)票據(jù)利率 的對數(shù)變量分別表示為 5、It、1和%,則可以估計出美國貨幣需求函數(shù)為：上述方程便是關(guān)于mt的一階線性差分方程?？梢酝ㄟ^此方程的求解和結(jié)構(gòu)分析，判斷 其他外生變量變化對貨幣需求的動態(tài)影響。1.1.1 差分方程求解：遞歸替代法差分方程求解就是將方程變量表示為外生變量及其初值的函數(shù)形式，可以通過以前的 數(shù)據(jù)計算出方程變量的當前值。由于方程結(jié)構(gòu)對于每一個時間點都是成立的，

3、因此可以將 (1.1)表示為多個方程：t 0: yo 01 y 1 w。t 1 ： y11 yow1t t ： yt依次進行疊代可以得到:(i.2)ttyt 01 ity iiiwii 0i 0上述表達式(i.2)便是差分方程(i.i)的解，可以通過代入方程進行驗證。上述通過疊 代將yt表示為前期變量和初始值的形式，從中可以看出yt對這些變量取值的依賴性和動態(tài)變化過程。1.1.2 . 差分方程的動態(tài)分析：動態(tài)乘子 (dynamic multiplier)在差分方程的解當中，可以分析外生變量，例如W0的變化對t階段以后的yt的影響。假設初始值yi和wi, ,wt不受到影響，則有：yt1t(1.3

4、)Wo類似地，可以在解的表達式中進行計算，得到：上述乘子僅僅依賴參數(shù)i和時間間隔j ,并不依賴觀測值的具體時間階段，這一點在 任何差分方程中都是適用的。例1.2貨幣需求的收入乘子在我們獲得的貨幣需求函數(shù)當中，可以計算當期收入一個單位的變化，對兩個階段以后貨幣需求的影響，即：利用差分方程解的具體系數(shù)，可以得到：-Wl 0.19,1 0.72It1從而可以得到二階乘子為：注意到上述變量均是對數(shù)形式，因此實際上貨幣需求相對于兩個階段以前收入的彈性系數(shù)，這意味著收入增長1%將會導致兩個階段以后貨幣需求增加 0.098%,其彈性是比較 微弱的。定義1.1在一階線性差分方程中，下述乘子系列稱為比相對于外生

5、擾動wt的反應函數(shù)：Lj -y ij , j 0,1,(1.5)wt顯然上述反應函數(shù)是一個幾何級數(shù)，其收斂性依賴于參數(shù)1的取值。(1)當01 1時，反應函數(shù)是單調(diào)收斂的；(2)當11 0時，反應函數(shù)是震蕩收斂的；(3)當1 1時，反應函數(shù)是單調(diào)擴張的；(4)當11時，反應函數(shù)是震蕩擴張的；可以歸納描述反應函數(shù)對于參數(shù)的依賴性：當| 1| 1時，反應函數(shù)是收斂的；當| 1| 1 時，反應函數(shù)是發(fā)散的。一個特殊情形是1 1的情形，這時擾動將形成持續(xù)的單一影響， 即她的一個單位變化 將導致其后任何時間ytj的一個單位變化：yt jLj L 1, j 0,1, Wt為了分析乘子的持久作用，假設時間序列

6、yt的現(xiàn)值貼現(xiàn)系數(shù)為，則未來所有時間的yt流貼現(xiàn)到現(xiàn)在的總值為：(1.6)如果Wt發(fā)生一個單位的變化，而Ws,s t不變，那么所產(chǎn)生的對于上述貼現(xiàn)量的影響為 邊際導數(shù)：.yt j . .1(jyt j)/ wtjLj j , | 1j 0j 0Wt j 01上述分析的是外生變量的暫時擾動， 如果Wt發(fā)生一個單位的變化，而且其后的Ws,S t 也都發(fā)生一個單位的變化，這意味著變化是持久的。這時持久擾動對于 (t j)時刻的yt j的 影響乘數(shù)是：上上 / o(1.7)WtWt 1Wt j當| ll 1時，對上式取極限，并將其識為擾動所產(chǎn)生的持久影響:yt j yt 1lim (1 1jWtWt

7、1yt j)1Wt j 11(1.8)例1.3貨幣需求的長期收入彈性在例1.1中我們已經(jīng)獲得了貨幣的短期需求函數(shù),從中可以求出貨幣需求的長期收入彈性為：這說明收入增加1%最終將導致貨幣需求增加0.68%,這是收入對于貨幣需求反饋的持 久影響效果。如果換一個角度考察擾動的影響，那么我們需要分析一個單位的外生擾動對于yt以后路徑的累積影響，這時可以將這種累積影響表示為：(1.9)yt j 1j 0 wt 1由此可見，如果能夠估計出差分方程中的系數(shù)，并且了解差分方程解的結(jié)構(gòu)，則可以 對經(jīng)濟變量進行穩(wěn)定性的動態(tài)分析。另外，我們也發(fā)現(xiàn)，內(nèi)生變量對外生變量反應函數(shù)的 性質(zhì)比較敏感地依賴差分方程中的系數(shù)。&

8、#167;1.2 p階差分方程如果在方程當中允許yt依賴它的p階前期值和輸入變量，則可以得到下述 p階線性差 分方程(將常數(shù)項歸納到外生變量當中)：yt1yt 12 yt 2p yt p wt(1.10)(1.11)為了方便起見，將上述差分方程表示成為矩陣形式：F t1 vt其中:yt123yt i100yt 2, f 0i0p 1pWt00000, vt0yt p i000 i 0其實在方程(i.ii)所表示的方程系統(tǒng)當中，只有第一個方程是差分方程(1.10),而其余方程均是定義方程：yt j yt j, j 1,21, p將p階差分方程表示成為矩陣形式的好處在于，它可以進行比較方便的疊代處

9、理，同 時可以更方便地進行穩(wěn)定性分析。另外，差分方程的系數(shù)都體現(xiàn)在矩陣F的第一行上。進行向前疊代，可以得到差分方程的矩陣解為：t Ft 1 1 Ftv0 Ft 1v1F1Vti vt(1.12)利用fj：表示矩陣Ft中第i行、第j列元素，則方程系統(tǒng)(1.12)中的第一個方程可以表 示為：(1.13)需要注意，在p階差分方程的解中需要知道p個初值：(yi，y2，,yp),以及從時刻0 開始時的所有外生變量的當前和歷史數(shù)據(jù)：(W0,Wi， ,Wt)。由于差分方程的解具有時間上的平移性，因此可以將上述方程(1.12)表示為：t j Fj 1 t i F jvt Fj 1vt iFvt j i vt

10、j(1.14)類似地，表示成為單方程形式：f(j1)f(j1)vf(j1)yt jfii yt1f12yt2fi pytp(115、(j)(j 1)(|.|5)fiiWtfiiWt1fiiWtj 1Wtj利用上述表達式，可以得到p階差分方程的動態(tài)反應乘子為：Ljj fi(ij), j 0,1, Wt由此可見，動態(tài)反應乘子主要由矩陣 Fj的首個元素確定。例1.4在p階差分方程中，可以得到一次乘子為：二次乘子為：雖然可以進一步通過疊代的方法求出更高階的反應乘子，但是利用矩陣特征根表示則 更為方便，主要能夠更為方便地求出矩陣 Fj的首個位置的元素。根據(jù)定義，矩陣F的特征根是滿足下述的 值：|F Ip

11、 | 0(1.16)一般情況下，可以根據(jù)行列式的性質(zhì)，將行列式方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程。例1.5在二階差分方程當中，特征方程為：具體可以求解出兩個特征根為：1-T1 12 1 d 14 2 ,2 1< 14 2(1.17)上述特征根的表達式在討論二階線性差分方程解的穩(wěn)定性時，我們還要反復用到。距陣F的特征根與p階差分方程表達式之間的聯(lián)系可以由下述命題給出：命題1.1距陣F的特征根滿足下述方程，此方程也稱為p階線性差分方程的特征方程：證明：根據(jù)特征根的定義，可知特征根滿足：對上述行列式進行初等變化，將第 p列乘以(1/ )加到第p 1列，然后將第p 1列乘以 (1/ )加到第p 2列，依次類推，

12、可以將上述行列式方程變化為對角方程，并求出行列式值 為：這便是所求的p階線性差分方程的特征方程。END如果知道p階線性差分方程的特征方程及其特征根，不僅可以分析差分方程的動態(tài)反 應乘子，而且可以求解出差分方程解析解的動態(tài)形式。1.2.1 具有相異特征根的p階線性差分方程的通解根據(jù)線性代數(shù)的有關(guān)定理，如果一個方陣具有相異特征根，則存在非奇異矩陣T將其化為對角矩陣，且對角線元素便是特征根:F T T 1 , diag( 1, p)(1.18)這時矩陣F的乘級或者幕方矩陣可以簡單地表示為：Fj (T T 1)j T jT 1, j diag(。，；)(1.19)假設變量tij和tij分別表示矩陣T和

13、T1的第i行、第j列元素，則可以將上述方程利用矩陣形式表示為:從中可以獲得：F1(j)(tut11) 1j(t12t21) 2(3ptp1) jpcjcjcjc11c22cpp(1.19)其中：Cj3jtj1 , j 0,1,如此定義的序列具有下述約束條件(自行證明):CiC2cp 1(1.20)具有上述表達式以后，在差分方程的解:yt jf(j1) f(j1)vf11 yt 1 f12 yt 2(j)(j 1)f11wtf11wt 1f (j Df1 pyt p(1)f11 wt j 1 wt j(1.15)中可以得到動態(tài)乘子為:Ljyjf1(1j)G 1C2 2wtCp jp, j 0,1

14、,(1.21)究竟系數(shù)序列Cj取值如何，下述命題給出了它的具體表達式命題1.2如果矩陣F的特征根是相異的，則系數(shù)可以表示為:Ci(1.22)p ip(i k)k 1, k i證明：由于假設矩陣F具有相異的特征根，因此對角化的非奇異矩陣可以由特征向量 構(gòu)造。令向量ti為：ti P1,產(chǎn) i，1 , i 1,2, ,p其中i是矩陣F的第i個特征根。經(jīng)過運算可以得到：由此可知ti是矩陣F的對應特征根i的特征向量，利用每個ti做列就可以得到矩陣T 將矩陣TT 1 I p的第一列表示出來：p ,可以求解上述線性方程的解為：1t11 ,(12)( 13)( 1 p)注意到：Ci tiS1 , i 1,2,

15、 ,p，帶入上述表達式即可得到結(jié)論。END例1.6求解二階差分方程：yt 0.6yt 1 0.2yt 2 wt解：該方程的特征方程為：特征根為：11 0.6J(0.6)2 4(0.2)0.84 ,2 1 0.6 .(0.6)2 4(0.2)0.241 0.778 , c2(12)20.222此方程的動態(tài)乘子為：WtLj-j- C1 1 c2 2 0.788(0.84)j 0.222( 0.24)j , j 0,1,在上述乘子的作用過程中，絕對信教大的特征根決定了乘子的收斂或者發(fā)散過程。一般情形下，如果1是絕對值最大的特征根，則有：yt i 1lim(jA)ci(1.23)Jwt 1則動態(tài)乘子的

16、收斂或者發(fā)散是以指數(shù)速度進行。當一些特征根出現(xiàn)復數(shù)的時候，差分方程解的性質(zhì)出現(xiàn)了新的變化，擾動反應函數(shù)將出現(xiàn)一定的周期性質(zhì)。為此，我們討論二階差分方程的情形。當12 4 2 。時，特征方程具有共扼復根，可以表示為：1a bi ,2 a bi ,a 1/2, b (1/2)(124 2)1/2利用復數(shù)的三角函數(shù)或者指數(shù)表示法，可以將其寫作：1 Rcos isin ，Rexp(i ) , R a2 b2 , tan b/a這時動態(tài)乘子可以表示為：對于實系統(tǒng)的擾動分析，上述反應乘子應該是實數(shù)。由于c,和C2也是共扼復數(shù)，因此有：c1i , c2 i則有：yt iLj L 2 RJ cos( J) 2

17、 RJsin( J)(1.24)Wt如果R 1,即復數(shù)處于單位圓上，則上述動態(tài)乘子出現(xiàn)周期性變化，并且影響不會消失；如果R 1,即復數(shù)處于單位圓內(nèi)，則上述動態(tài)乘子按照周期方式進行率減，其作用慢慢消失；如果R 1,即復數(shù)處于單位圓外，則上述動態(tài)乘子按照周期方式進行擴散，其作 用將逐漸增強。例1.7求解二階差分方程：Vt 0.5yt i0.8yt 2 Wt解：該方程的特征方程為:特征根為:-0.5 f(0.5)24(0.8)0.25 0.86i ,上述共扼復數(shù)的模為：因為R 1 ,由此可知其動態(tài)乘子呈現(xiàn)收斂趨勢?？梢跃唧w計算出其震蕩的周期模式。cos( ) a/R 0.28,1.29由此可知動態(tài)乘

18、子的周期為：由此可知動態(tài)乘子的時間軌跡上，大于 4.9個時間階段便出現(xiàn)一次高峰。1.2.2 具有相異特征根的二階線性差分方程的通解針對具體的二階線性差分方程，可以討論解的性質(zhì)與參數(shù)1, 2之間的關(guān)系。a.當12 4 2 。時，參數(shù)取值處于拋物線12 4 2的下方。這時特征方程具有復特征 根，且復數(shù)的模為：因此，當02 1時，此時解系統(tǒng)是震蕩收斂的；當 2 1是震蕩維持的；當 2 1時是震蕩發(fā)散的。b.當特征根為實數(shù)時，我們分析最大特征根和最小特征的性質(zhì)。此時12 4 2 0,且當且僅當11 1時解及其動態(tài)反應乘子是穩(wěn)定的。下面我們判斷非穩(wěn)定情形如果：即：求解可知，使得不等式1 1成立的參數(shù)解為

19、：12 ,或者，211同理，使得不等式21成立的參數(shù)解為：12 ,或者，211因此當特征方程具有相異實根的時候， 穩(wěn)定性要求參數(shù)落入拋物線上的三角形區(qū)域內(nèi)。C.類似地可以說明，當特征方程具有相等實根的時候，即處于三角形內(nèi)的拋物線上時， 方程仍然具有穩(wěn)定解，同時動態(tài)反應乘子也是收斂的。1.2.3具有重復特征根的p階線性差分方程的通解在更為一般的情形下，矩陣F可能具有重復的特征根，即具有重根。此時可以利用 Jordan標準型表示差分方程的解及其動態(tài)反應乘子。下面以二階差分方程為例說明。假設二階差分方程具有重根，則可以將矩陣 F表示為：計算矩陣乘積得到：于是動態(tài)反應乘子可以表示為：§ 1.3 期和現(xiàn)值的計算如果矩陣F的所有特征根均落在單位圓