細(xì)長壓桿失穩(wěn)時最大撓度的確定

1、細(xì)長壓桿失穩(wěn)時最大撓度的確定摘要：在建立線性化撓曲線方程后，緊緊圍繞細(xì)長壓桿在不同穩(wěn)定性條件下直線平衡狀態(tài)，又考慮了壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移，確定了撓曲線的最大撓度值，推導(dǎo)得到了撓曲線方程的解析式表達(dá)式。進(jìn)而得到壓桿受到臨界 力為隨遇平衡直線狀態(tài)的充要條件。指出了工程力學(xué)教材對細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線線性化方程推導(dǎo)存在的誤區(qū)。關(guān)鍵詞：隨遇平衡；失穩(wěn)變形；線性化；撓曲線 中圖分類號：O3410引言1744年，Euler首次提出了細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形的彈性曲線問題，并用橢圓積分表示了細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程的精確 解,匕由于壓桿失穩(wěn)會導(dǎo)致整個結(jié)構(gòu)的毀壞，因此保證結(jié)構(gòu)及其桿件的穩(wěn)定在工程技術(shù)中

2、有重大意義。這就是壓桿失穩(wěn)變形理論目前應(yīng)用在許多領(lǐng)域的原因。例如，宇宙飛船的推進(jìn)器各級之間的連接桿，機器人手臂，沖裁凸模長度校核”入等都是應(yīng)用實例。由此可見，Euler的杰出貢獻(xiàn)推動了力學(xué)的發(fā)展，并使力學(xué)在許多工程領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)時其他人還在研究梁彎曲問題時，Euler提出了失穩(wěn)（側(cè)向彎曲）這個概念，不能不說是一個十分超前的貢獻(xiàn)。目前國內(nèi)許多工程力學(xué)2）教材在處理壓桿穩(wěn)定這部分內(nèi)容時，對 Euler在1744年首次提出的細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程 的精確解很少提及，主要原因是用這種精確解來計算要隨時查閱橢圓積分表，給教學(xué)帶來不便，13,o工程力學(xué)教材 J菖采用了建立線性化的細(xì)長壓桿失穩(wěn)

3、變形撓曲線方程的方法闡述細(xì)長壓桿失穩(wěn)問題。但這樣做新的問題出現(xiàn)了， 教材，37'認(rèn)為細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程中的撓度值成了不確定的常數(shù)，可以成為任意值。一些學(xué)者撰文也認(rèn)為細(xì)長壓桿失穩(wěn)本來就是其非線性力學(xué)行為造成的，用線性化理論近似處理一個原本為非線性問題是有局限的，因此線性化條件下不能確定撓曲線的撓度值回叫以上線性化的細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程不能確定撓度值的觀點本文不予認(rèn)同，本文在建立線性化撓曲線方程后，緊 緊圍繞細(xì)長壓桿在不同穩(wěn)定性條件下直線平衡狀態(tài)，又考慮了壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移，1516',確定了撓曲線的撓度值，推導(dǎo)得到了的撓曲線的解析式表達(dá)式。進(jìn)而得到壓

4、桿受到臨界力為隨遇平衡直線狀態(tài)的充要條件。指出了教材，37,對細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線線性化方程推導(dǎo)存在的誤區(qū)。1.線性化細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程的建立如圖a所示我們設(shè)兩端較支細(xì)長壓桿長為 l ,等截面，材料均勻，承受軸向壓力 F的作用，軸向壓力F嚴(yán)格作用在壓桿 截面的形心上。隨著軸向壓力F的增大，桿出現(xiàn)了失穩(wěn)現(xiàn)象，失穩(wěn)后（側(cè)向彎曲）的桿在x軸的投影長度恰好比桿本身長 l 要短，此時壓桿兩端截面形心間產(chǎn)生了軸向位移，我們設(shè)其長度為九，桿在x軸的投影長度為l 兒。圖a兩端較支細(xì)長壓桿失穩(wěn)形態(tài)（考慮軸向位移）距原點為x的任意截面的撓度為 w ,彎矩M的絕對值為Fw。若只取壓力F的絕對值，則 w為正

5、時，M為負(fù)值；w為負(fù)時，M為負(fù)時，M為正值。M與w符號相反，所以M = -Fw代入撓曲線精確微分方程得收稿日期：；修改日期：1）項目來源：甘肅機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院二0一三年教學(xué)研究項目一細(xì)長壓桿失穩(wěn)問題新探（科研處登記號01）階段性成果。2）本文所指的工程力學(xué)教材內(nèi)容主要包括理論力學(xué)（靜力學(xué)、運動學(xué)、動力學(xué)）和材料力學(xué)。d 2wFw -二0(1)1+但訐idx J匚代入上式，在上式中,EI四i與i相比很小可以省略則有1dx 1,2d w ,2 八5 k w = 0 dx2.2由式（1）省略l dw :得到式（2）的過程就是對撓曲線微分方程 線性化。dx（2）其特征根方程為r2 k2 =0r1 =

6、ikr2 = -ikhx ikxw1= e = ew1 =e,2x =eJkx 是(2)的解但它們是復(fù)值函數(shù)，將Euler 公式 ei J cos - i sin -代入上式得w1 = coskx i sin kx w2coskx - isin kx且絲二W2于是方程的通解為wAsin kx B coskx(3)由于（2）的解符合疊加原理，所以實值函數(shù)一1,w1 = w1 w2 = cos kx21.,w2 = w1 -w2 = sin kx還是（2）的解coskx 一 一，=cot kx不是常數(shù)sin kx將壓桿左端邊界條件 x = 0 , w = 0代入（3）得B = 0于是（3）式變?yōu)閣

7、 = Asin kx設(shè)k2互代入（3）式日撓曲線方程為(4)w=Asin、Fx .EI2,細(xì)長壓桿的兩種直線平衡狀態(tài)2.1穩(wěn)定的直線平衡狀態(tài)（4）可得如下關(guān)系:再假設(shè)發(fā)生前此時細(xì)長壓桿沒受力，沒有產(chǎn)生變形,F =0, w 三0, A 三0, x=l；解(5)得(5)n2 二2EIF =-2 n =0,123l2但又有F =0所以只能是n = 0(6)2.2隨遇平衡下的直線平衡狀態(tài)此時細(xì)長壓桿受最小臨界壓力Fcr并且其大小不為0,桿依然是直線狀態(tài)，（4）可得如下關(guān)系:F=Fcr, w 三 0, A 三 0, x=l,Fcrsin . l 0:EI解(7)得l n2 二2EI -八Fcr = n

8、=1,2,3(7)要使Fcr最小，只能取n =1 ci于是最終有二2EIF 二cr2(8)3.細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線方程的確定因為剛度EI是常數(shù)，由最小臨界值變形得Fcrl(9)代入撓曲線方程（4）得A 二 Fw = Asin xlFcr(10)取一階導(dǎo)數(shù)得下面我們求圖a中的兒值(11)dxdw圖b從圖a中的撓曲線取出的長為 dS的微段設(shè)沿?fù)锨€取一長為 ds的微段（圖b,該段在X軸的投影為dx于是有 l九=0（ds-dx ）（12）ds = , dx2 dw221 1 dw '2<dxJdx(13)將（13）代入（12）,同時將（11）代入（12）1J'dw '

9、212 n2F,l 2 n ' F九=一I dx= - A 工cos xdx21bldx，2lFcr'0 l F FcrA2A2 二l Fcr+ 8 l(14)無論細(xì)長桿失穩(wěn)變形成何種形狀的撓曲線，桿在x軸的投影的所有點都在桿變形后的撓曲線上現(xiàn)在確定撓曲線的最大撓度wmax =Al考慮壓桿中部邊界條件x =時,2代入撓曲線（4）存在如下關(guān)系A(chǔ) = Asin lFcr2由（15）得代將（(16).二 Fl-' d于是有sin1l . Fcr 2(15)所以最大撓度為2,21 wmax - A -2FFcr撓曲線方程為2x21w =2FFcrTJTsin 2二Fcr'

10、; F crsin 二 Fx F l Fcr(17)當(dāng)5 =Fc.，X1 ,代入（15）,將F = Fcr代入（16）式得A=0, w=0,九=0當(dāng)w = 0 , A = 0代入(15)式得F = Fcr , X = 1當(dāng)人=0 ,代入（16）得F =Fc. ci壓桿受到臨界力為隨遇平衡直線狀態(tài)對于撓曲線方程（17）充要條件為F=Fcr, x=1u w=0, A=0, 0=0,代入（17）得w = 0 ,符合壓桿右端的邊界條件綜上（17）就是線性化的細(xì)長壓桿失穩(wěn)時的撓曲線方程。4.教材對壓桿失穩(wěn)變形撓曲線線性化方程推導(dǎo)存在誤區(qū)圖c兩端較支細(xì)長壓桿失穩(wěn)形態(tài)（不考慮軸向位移）一般教材都以圖c兩端較

11、支細(xì)長壓桿失穩(wěn)形態(tài)不考慮軸向位移，建立細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線線性化方程，得到撓曲線 方程的通解為(18)w = Asin x Bcosx EIEI將左端邊界條件x =0 , w =0代入（18）得B =0 于是（18）式變?yōu)閣 = Asin(19)再考慮右端的邊界條件 x = 1 , w = 0代入（19）得(20)sin.!-l =0 ,EIA為不為零的常數(shù)（若 A = 0 , w = 0 ,不產(chǎn)生彎曲） 由（20）得n2-2EIF =一一（n =0,1,2,3 一）對應(yīng)的撓曲線為w = Asin -x ln =0時，w = 0,不發(fā)生彎曲。n =1時，壓力F為使兩端較支壓桿發(fā)生未彎變形的最

12、小力，即臨界壓力為二2EIF =cr i 2(21)臨界壓力對應(yīng)彎曲變形為半個正弦波曲線w = Asin - x l（18） （21）是文獻(xiàn)i3-71對細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線推導(dǎo)的過程，（21）就是文獻(xiàn)分析：誤區(qū)之一:對于（19）式，在x（18） （21）推導(dǎo)違背了最小臨界壓力下，壓桿依然是直的規(guī)律=1 , w=0就有三種情況：13菖推導(dǎo)得到的撓曲線方程。，8'o假設(shè)桿長為1第一種情況,A=0,第二種情況,A#0, sin 1 =01.EI第三種情況,A = 0, sin . F 1 = 0EI（18）（21）是在第二種情況下得到的，因此存按照最小臨界壓力下，桿依然是直的觀點，只有第三

13、種情況是成立的,在缺陷。（18）（21）的推導(dǎo)僅僅是從數(shù)學(xué)上單純的理解為點（1,0廬（19）上，沒有理解壓桿在直線狀態(tài)平衡的確切含義。誤區(qū)之二：（18）（21）推導(dǎo)，給人造成一種錯覺，既然在最小臨界壓力下，桿依然是直的，那又如何解釋產(chǎn)生撓曲線（21） ?事實上，（21）與（19）沒有任何關(guān)系，（19）是撓曲線方程沒有錯，（21）由（20）推出的壓力F值代入（19）而2 _EI_得，在式（20）中的求出F值是最小臨界壓力 Fcr =一I !而非（19）中的F !12誤區(qū)之三：假如桿長是1的話，我們發(fā)現(xiàn)圖C的撓曲線（撓曲線就是細(xì)長壓桿側(cè)向彎曲的形態(tài)，所以撓曲線長為1 ）在x軸投影長為1 ,這是不可

14、能的，撓曲線在 x軸投影應(yīng)該比桿長1要短！否則違反投影規(guī)律！5.線性化細(xì)長壓桿失穩(wěn)變形撓曲線存在的側(cè)向彎曲平衡形式對于sinJFM =0求得的其他狀態(tài)臨界力 ,EIFcr22.n 二 EI n =2,3變形得EIFcrl2,代入（4）得w = Asin l :; Fcr(22)取一階導(dǎo)數(shù)有dw 八 n 二 FAdx l . Fcrcosl ,FFx(23)cr進(jìn)而=Fcrsin2n 二2A n .+8 lFFcrl時,2wmax = A存在如下關(guān)系代入撓曲線（22）兀2Fl(l - 1) n由（24）得FF1-1 n 12n 二 進(jìn)而nn 二 A = Asin n二于是有sin 一于是存在如下

15、關(guān)系:(24)(25)222_2將土匚£ . A4 l Fcr 8 l代入（25）且 sin2nn F八 2、2lwmax - A -冗2nF n FFcr 二cLsin2nJIFcr(26):;x(27)2l ,n -1 n二(28)(27)表明當(dāng)£上或-F關(guān)系未確定時,F Fcrw 二sin xn 二 ln2- 2EI(28)說明Fcr =-EL(n =2,3 層示壓桿存在著穩(wěn)定的側(cè)向彎曲平衡,l2則壓桿存在不穩(wěn)定側(cè)向彎曲平衡。6結(jié)論本文采用建立線性化撓曲線方程后，并考慮壓桿失穩(wěn)后兩端截面形心產(chǎn)生軸向位移參數(shù)九，首次具體求解了細(xì)長壓桿失 F_ F ,一 二2EI穩(wěn)時最大

16、撓度，最大撓度與一嘰或 有關(guān)。(17)是(27)中n =1的情況。最小臨界力Fr =一L 與F造成的撓F Fcrl2曲線(17)是判斷壓桿是否為穩(wěn)定直線平衡的標(biāo)準(zhǔn)，在工程上運用較多，所以具有一定意義。臨界力n2 二 2EIFcr = n EI (n =2 3一盧F造成的撓曲線(27)是判斷壓桿是否為側(cè)向彎曲穩(wěn)定的平衡的標(biāo)準(zhǔn)。(28)則表小壓桿l2，存在著某種側(cè)向彎曲平衡。但無論是哪種形態(tài)的平衡，(17)與(27)都說明細(xì)長壓桿失穩(wěn)時撓度是伴隨F與Fcr同時出現(xiàn)，同時消失，區(qū)或互是否為確定的關(guān)系是壓桿存在穩(wěn)定形態(tài)平衡的判斷依據(jù)。F Fcr參考文獻(xiàn)1美W.A.納什.材料力學(xué)M趙志剛譯.北京：科學(xué)出

17、版社，2002.2李世榮，孫云，劉平.關(guān)于Euler-Bernoulli梁幾何非線性理論方程的討論J.力學(xué)與實踐2013, 35 (2)： 7780.3宋曦，趙永剛，馬連生.材料力學(xué)M.北京：科學(xué)出版社，2010.4蘇翼林.材料力學(xué)M.天津：天津大學(xué)出版社，2001.5單輝祖.材料力學(xué)問題、例題與分析方法M.北京：高等教育出版社，2006.6北京科技大學(xué)，東北大學(xué).工程力學(xué) 材料力學(xué)(第4版)M.北京：高等教育出版社，2008.7殷有泉，鄧成光.材料力學(xué)M.北京：北京大學(xué)出版社，1992.8張仲毅.細(xì)長壓桿臨界撓度確定性的簡單解釋J.力學(xué)與實踐1992, 14 ( 5): 6062.9張仲毅.對“細(xì)長壓桿臨界撓度確定性的簡單解釋”結(jié)果的改進(jìn)J.力學(xué)與實踐1996, 18 (8): 60.10張仲毅.臨界壓力下壓桿撓度的分析與討論J.力學(xué)與實踐1995, 17 (4): 7374.11薛福林.談細(xì)長壓桿穩(wěn)定性問題J.力學(xué)與實踐1995, 17 (5): 6566.12梁樞平，鄒時智.也談細(xì)長壓桿穩(wěn)定性問題J.力學(xué)與實踐1997, 19 (4): 6769.13吳曉.細(xì)長壓桿大撓度問題非