萬有引力公式r是否是質(zhì)心間距

1、萬有引力定律公式F=G彳中的r是兩物 體質(zhì)心間的距離嗎？筆者在進(jìn)行萬有引力定律的教學(xué)中,當(dāng)談到萬有引力定律公式的適用條件時(shí),不少學(xué)生會(huì)認(rèn)為,公式中的 r可以理解為任意兩個(gè)物體質(zhì)心之間的距離.這種觀點(diǎn)是怎樣產(chǎn)生的？觀點(diǎn)正確嗎？下面我們就來分析這 些問題.觀點(diǎn)提出的依據(jù)根據(jù)常規(guī)教學(xué),在學(xué)習(xí)萬有引力定律時(shí),往往要討論該定律的適用條件.筆者向?qū)W生介紹了在以下幾種情況下,可直接利用萬有引力定律的公式求解兩物體間的萬有引力：1、萬有引力定律的公式適用于計(jì)算質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力,此時(shí)萬有引力定律公式中的 r就是兩質(zhì)點(diǎn)間的距離.2、萬有引力定律的公式也適用于計(jì)算兩個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體間的相互吸引力,這種情況等效于

2、把球體的質(zhì)量集中在球心處的質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力的計(jì)算,式中的r是兩個(gè)球體球心間的距離.從這種情況也可以推出以下幾個(gè)推論：(1)質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ的兩個(gè)球體之間的萬有引力的計(jì)算.(2)質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ的兩個(gè)空心球體之間的萬有引力的計(jì)算.(3)質(zhì)量分布均勻的球殼之間的萬有引力的計(jì)算.但要注意的是兩球殼球心之間的距離必須大于等于兩球殼的半徑之和.(可以證實(shí)：球殼對(duì)處于它內(nèi)部的物體的萬有引力為零.)3、萬有引力定律的公式也可以用來計(jì)算質(zhì)量分布均勻(或質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ)的球體(或空心球體、或球殼)與球外一個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力的計(jì)算,這時(shí)的r是質(zhì)點(diǎn)到球體球心間的距離.除了上述這些特殊的物體間的萬有引力,我們可以直

3、接利用萬有引力定律,對(duì)于其他物體間的萬有引力,我們應(yīng)該如何計(jì)算呢？對(duì)于這個(gè)問題的答復(fù),不少學(xué)生都認(rèn)為：一般物體間的萬有引力的計(jì)算,可以把物體的質(zhì)量集中于一點(diǎn),即物體的質(zhì)心,然后可以直接由萬有引力定律公式進(jìn)行計(jì)算,公式中的r就是兩物體質(zhì)心之間的距離.這種觀點(diǎn)正確嗎？對(duì)觀點(diǎn)的分析CA*Q下面我們不妨舉一些例子來進(jìn)行分析討論.例1、如下圖,一長度為 L的質(zhì)量不計(jì)的輕桿兩端固定有質(zhì)量均為M的兩個(gè)小球A、B,在輕桿的垂直平分線上有一質(zhì)量為m的小球C,距O點(diǎn)的距離為do試分析C球受到AB兩球的萬有引力的合力.正確的做法是：先求出 A、B兩球分別對(duì)C球產(chǎn)生的萬有引力的大小 F1和F2,然后求出這兩個(gè)萬有引力

4、 F1和F2的合力Fo由萬有引力定律公式,有d斫以所以 F=2F1cos.=2G=2G假設(shè)根據(jù)質(zhì)心的觀點(diǎn)求解此題,把A、B兩球的質(zhì)量集中于它們的質(zhì)心即O點(diǎn),求質(zhì)心 O處的質(zhì)量為2M的質(zhì)點(diǎn)對(duì)C球的萬有引力F/,那么由萬有引力定律公式有F/=G比擬F與F/,只有L趨近于零時(shí),F/近似等于Fo而在一般情況下,F/>Fo可見在這種情況中,不能把B兩小球的質(zhì)量集中于它們的質(zhì)心來求它們對(duì)小球C的合力.對(duì)于這道例題我們也可以這樣分析：(1)假設(shè)使A、B兩小球之間的距離 L變大,那么它們又WJ、球 C的萬有引力F1、F2的大小都變小.又由于力F1、F2所夾的角度2.變大,所以F1與F2的合力F變?。坏?/p>

5、假設(shè)把 A B兩球的質(zhì)量集中于質(zhì)心,求它們對(duì)小2ifm球C的合力F/,由前面得到的F/的表達(dá)式F/=G rf3 ,容易得到F/與L的大小無關(guān),即F/不變.(2)假設(shè)改變小球C到O點(diǎn)之間的距離,使d由零變大,那么A B兩小球又WJ、球C的萬有引力F1、F2的大小Itmd都變小.又由于力 F1、F2所夾的角度2 9變小,結(jié)合前面得到的合力 F的表達(dá)式F=2G 4,容易得到：在d由零逐漸變大的過程中,合力F先大再變小,F有最大值.但是假設(shè)把A B兩球的質(zhì)量集中于2Mm質(zhì)心,求它們對(duì)小球 C的合力F/,由前面得到的F/的表達(dá)式F/=G rf3 ,容易得到F/隨d的變大一直在 變小.由上面兩點(diǎn)分析可見,

6、在該例中把物體的質(zhì)量集中于質(zhì)心來計(jì)算物體間的萬有引力與正確的方法求出物體 間的萬有引力不等.例2、如下圖,有質(zhì)量為nr半徑為R的質(zhì)量分布均勻的球體 A與用同種材料制成的半徑為 2均勻球體B, 兩球球心相距L,現(xiàn)在在球A中靠近B球一邊與A球相切的挖一個(gè)半徑為2的球形洞,三個(gè)球心在同一條連線上,求挖空后兩球間的萬有引力.此題可用填補(bǔ)法來做：設(shè) F為實(shí)心球A與B球之間的萬有引力,F1為被挖去一個(gè)球形洞后的 A球與B球之 間的萬有引力,F2為被挖去的球體在未挖去前與B球之間的萬有引力.由于實(shí)心球A與B球之間的萬有引力F應(yīng)是被挖去一個(gè)球形洞后的 A球與B球之間的萬有引力 F1與挖去的那局部球體在未挖去前

7、與B球之間的萬有引力F2之和,所以有F=F1+F2 (1)根據(jù)萬有引力定律可得1巨f=8g£? (2)F2= 64 G由式(1) (2) (3)可得F1=8 gT? - 64假設(shè)根據(jù)質(zhì)心的觀點(diǎn)求解此題,將兩球的質(zhì)量集中于質(zhì)心后,再根據(jù)萬有引力定律求兩質(zhì)點(diǎn)間的引力先求A球被挖后剩余局部質(zhì)心 C的位置.設(shè)質(zhì)心 C距A球球心O為x,那么有m x= m2所以x=11將A球被挖后的剩余局部的質(zhì)量集中于質(zhì)心C, B球的質(zhì)量集中于它的球心, 求得這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的萬有引力F1/為m 7 biX7=645上14i 8比擬F1與F1Z,有F1,F1/,可見在這種情況下,也不能把所求的兩個(gè)物體的質(zhì)量集中于質(zhì)

8、心來求它們之 間的萬有引力.例3、如下圖,一長度為 L的質(zhì)量不計(jì)的輕桿兩端固定有質(zhì)量均為M的兩個(gè)小球 A B,在輕桿上有一質(zhì)量為m的小球C,距A點(diǎn)的距離小于L2 ,試分析C球受到A B兩球的萬有引力的合力的方向.正確的做法是：先分析出 A、B兩球分別對(duì)C球產(chǎn)生的萬有引力 F1和F2的方向,然后分析出這兩個(gè)萬有引力F1和F2的合力F的方向.C球受A球的萬有引力方向沿它們的連線向左,C球受B球的萬有引力方向沿它們的連線向右,由于C球到A球的距離小于C球到B球的距離,由萬有引力定律公式容易得到 F1大于F2,所以合力F方向跟F1方向相 同,即沿A、B兩球的連線向左.此題假設(shè)根據(jù)質(zhì)心的觀點(diǎn)分析,把 A、B兩球的質(zhì)量集中于它們的質(zhì)心即O點(diǎn),那么可得到小球 C受到的合力F/的方向沿A、B兩球的連線向右.上面兩種方法中的合力 F和F/的方向是不同的.可見在這種情況中,將兩物體的質(zhì)量集中于質(zhì)心來求萬有 引力是不正確的.三、分析得到的結(jié)論綜上所述,并不是在任何情況下都可以將物體的質(zhì)量集中在它們的質(zhì)心來求它們之間的萬有引力,這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的.錯(cuò)誤的原因是萬有引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)間距離r的平方成反比,可以假想假